Частинка в прямокутній потенціальній ямі

У випадку одномірної потенціальної ями потенціальна енергія частинки U(x) набуватиме такі значення (для простоти приймаємо, що частинка рухається вздовж осі ОХ) (рис. 176):

де – ширина “ями”, а енергія відраховується від дна ями.

Рівняння Шредінгера у випадку одномірної ями запишемо у вигляді .

За умовою задачі (нескінченно високі "стінки") частинка не проникає за границі "ями", тому імовірність її виявлення за границями "ями" дорівнює нулю. На границях "ями" (при x = 0 і x = l) неперервна хвильова функція повинна перетворюватися в нуль. Отже, граничні умови мають вигляд .

В границях "ями" () рівняння Шредінгера має вигляд

, ,

де .

Загальний розв’язок цього диференціального рівняння:

.

Оскільки , то . Отже,

.

Умова виконується лише при , де n – цілі числа, тобто необхідно, щоб . Тоді

i .

Рівняння Шредінгера задовольняється лише при значеннях , що залежать від цілого числа n.

Отже, енергія частинки в потенціальній "ямі" з нескінченно високими стінками не може бути довільною, а набуває лише певних дискретних значень, тобто квантується. Квантові значення енергії називають рівнями енергії, а число n, яке визначає енергетичні рівні частинки, називають квантовим числом.

Знайдемо власні хвильові функції

.

Сталу інтегрування A визначаємо з умови нормування . Звідси . Тоді власна хвильова функція має вигляд:

,.

На рис. 177, а наведені графіки функції при , рис. 177, б – густини ймовірності знаходження частинки на різних відстанях від “стінок” ями для .

Наприклад, у квантовому стані з n = 2 частинка не може знаходитись посередині "ями" і в той же час однаково часто може перебувати в її лівій або правій частині.

 

31. Проходження частинки крізь потенціальний бар”єр. «Тунельний ефект».

32. Атом водню. Головне, азимутне і магнітне квантові числа. Спін електрона. Спінове квантове число.

Спін (англ. spin — веретено) — фундаментальна характеристика частинки (наприклад атомного ядра чи елементарної частки), яка в деякому відношенні аналогічна «власному моменту імпульсу частинки». Спін є квантовою властивістю частинок і не має аналогів у класичній фізиці. Тоді як класичний момент імпульсу виникає внаслідок обертання масивного тіла зі скінченними розмірами, спін властивий навіть частинкам, які на сьогодні вважаються точковими, і не пов’язаний із жодним обертанням мас всередині такої частки. (Спін неточкових частинок, наприклад атомних ядер чи адронів, є векторною сумою спінів та орбітального моменту імпульсу її складових. Тобто і у цьому випадку спін лише частково пов’язаний з обертальним рухом всередині частинки.)Спін може набувати лише певні (квантовані) значення:

· цілі: 0,1,2,3 ...

· напівцілі: 1/2, 3/2, ...Спін є важливою характеристокю елементарних часток.

· Головне, орбітальне і квантове число .Для атома водню поняття „власний стан атома” і „стан електрона в атомі” еквівалентні, оскільки у ньому є тільки 1 електрон. Тому квантові числа в атомі водню однозначно характеризують як стан внутрішнього руху атома, так і стан електрона.

· 1. n – головне квантове число, набуває цілих позитивних значень (n=1,2,3,…, ). Вказує на повну енергію електронів атомів: . Вказує на номер енергетичного рівня. Також головне квантове число вказує на розміри електронної хмарки і кількість підрівнів на енергетичному рівні. У випадку коли n не ціле гамільтоніан немає рішення. Власні значення для атома водню для його дискретної частини визначається наступними співвідношеннями:

· l – орбітальне квантове число. Вказує на форму електронної хмарки та механічний момент електрона навколо ядра. Із теорії Бора – електрон рухаючись по орбіті, повинен мати дискретний момент імпульса

· Орбітальне квантове число може приймати значення: l=0,1,2,3,…,n-1

·

· Квантове число l визначає розмір орбітального моменту, але не визначає напрямок орбітального моменту це є скаляр.

· . Магнітне квантове число – ml, що описує орієнтацію електронної хмарки в навколо ядерного просторі.

33. Розподіл електронів в атомі по енергетичним рівням. Принцип Паулі.

 

 

34. Аквнтові явища в твердих тілах. Утворенняенергетичних зон в кристалах

35. Склад і характеристика атомного ядра.