Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств

1. Определение, примеры и простейшие свойства линейных пространств

Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами), когда:

0) На V задана бинарная алгебраическая операция, которая называется сложением, или суммой, (то есть, " ,ÎV указанный вектор +ÎV), которая удовлетворяет условиям:

1) ",,ÎV (+)+= +(+); 2) $ ÎV, что " ÎV +=+=;

3) " ÎV $ (-) ÎV такой, что +(-)= (-)+=; 4) " ,ÎV + =+;

0’) Задана операция внешнего умножения скаляров (элементов из Р) на векторы (элементы из V) (то есть, что "lÎP, "ÎV, указанный вектор lÎV);

5) "l, m ÎP "ÎV (l×m)=l(m); 6) "l, m ÎP "ÎV (l+m)=l+m;

7) "lÎP ",ÎV l(+)=l+l; 8) "ÎV 1=.

Опр.1.2. Когда P=R, тогда V называется вещественным линейным пространством. Когда P=C, тогда V называется комплексным линейным пространством.

Примеры 1.3.

1.3.1. V2 - множество векторов плоскости с обычными операциями сложения и умножения вектора на число – действительное линейное пространство.

1.3.2. V3 - множество векторов в пространстве - действительное линейное пространство.

1.3.3. V={} и "P "lÎP l=; +=- нулевое пространство.

1.3.4. "P; Mat(m´n; P) - линейное пространство над P.

1.3.5. "P; Mat(n´1; P)=Pⁿ - столбцы длины n, Pⁿ- арифметическое пространство.

1.3.6. "P, P[x] - множество всех полиномов из коэффициентами из Р.

1.3.7. "P, P_n[x] - множество всех полиномов из коэффициентами из Р, степени которых не большие за n.

1.3.8. C[a; b] – множество непрерывных на [a; b] функций. – Действительно линейное пространство.

Св-во 1.4. Если V – линейное пространство, то <V,+> - коммутативная аддитивная группа. Из 1.4 и св-в групп следуют св-ва 1.5–1.7

Св-во 1.5. в V единственный.

Св-во 1.6. " ÎV, противоположный вектор (-) единственный.

Св-во 1.7. ",ÎV уравнение +x=имеет единственное решение x=(-)+ ..

 

Нулевой и противоположный векторы линейного пространства

Св-во 1.8. " ÎV 0=. Доказательство. (0+0)=0, 0+0=0, 0=. ■ Св-во 1.9. (-1) = – . Доказательство. 1+(-1)=0, (1+(-1)) =0, 1+(-1) =0, +(-1)… Св-во 1.10. "lÎP l=. Доказательство. По определению 1.1.2 +=, значит, l(+)=l, откуда по определению 1.1.7…

Линейно зависимые системы векторов. Критерий линейной зависимости

Опр.2.2. Подпоследовательность ,,…,(2) последовательности (1), где 1£i1<i2<…<ik£nназывается подсистемой системы векторов (1). … Опр.2.3. Пусть дана система и последовательность l1, l2, …, ln (3) скаляров… Опр.2.4. Линейная комбинация (3) называется тривиальной, когда все ее коэффициенты равные нолю.

Пример 2.8.

2.8.1. В V2 произвольная система из 2-х неколлинеарных векторов линейно независимые.

2.8.2. В V3 произвольная система из 3-х некомпланарных векторов линейно независимые.

2.8.3. В C[a; b] система векторов 1, sin²x, cos²x - линейно зависимые, так как (-1)×1+1×sin²x+1×cos²x=0.

2.8.4. В Pⁿ система векторов ₌, ₌ , … , =- линейно независимая.

Св-во 2.9. Когда система векторов удерживает , тогда она линейно зависимая.

Доказательство. 1+ 0+ … +0=.■

Св-во 2.10. Когда система векторов удерживает линейно зависимую подсистему, тогда она линейно зависимая.

Доказательство. Без потери общности можно считать, что первые s векторов системы образовывают линейно зависимую подсистему l₁+…+l_s=, где не все l_і=0. Из этого равенства очевидно, что l₁+…+l_s+ 0 + … +0=, где не все коэффициенты равные нолю, значиться, система линейно зависимая. ■

Вывод 2.11. Когда система векторов линейно независимая, тогда произвольная ее подсистема линейно независимая. Доказательство. Следует из 2.10 доказательствам от противного■

Опр.2.12. Будем говорить, что линейно выражается через (1), $ l₁, l₂,…, l_nÎR такие, что =l₁+l₂+…+l_n.

Св-во 2.13. Пусть . Система линейно зависимая тогда и только тогда, когда один из ее векторов линейно выражается через остальные векторы этой системы.

Доказательство. 1) - линейно выражается через, . линейно зависимая система . 2) Наоборот. Пусть - линейно зависима. не все коэффициента равны нулю. Пусть . значит - линейно выражается через остальные. ■

Выражение одной системы векторов через другую

Св-во 3.2. Произвольная подсистема системы векторов выражается через систему. Доказательство. = 0+…+1+…+0.■ Св-во 3.3. Когда система (1) линейно выражается через (2), а (2) линейно выражается через , ,…, (3) тогда (1) линейно…

Основная теорема о линейной независимости

Т.3.11. (основная теорема о линейной независимости) Когда линейно независимая система (1) выражается через систему (2), тогда kL,т.е. в ней не может… Вывод 3.12. Когда система (1) линейно выражается через (2) и >, тогда (1) -… Вывод 3.13. Средь линейных комбинаций векторов из (2) не более линейно независимых.

Подпространства. Определение, примеры, критерий подпространства

Опр. 7.1. Пусть V линейное пространство над полем Р. Непустое подмножество UVназывают подпространством пространства V, когда U является линейным пространством относительно операций, какие указанный в V.

Теорема.7.2.(Критерий подпространства). V линейное пространство над Р. Подмножество UVявляется подпространством в V тогда и только тогда, когда выполняются 3 условия: 1) U≠Ø; 2) Для каждых и U+U;3) Для произвольного λР и для произвольного UλU. Доказательство. Когда U линейное подпространство, тогда 1), 2) и 3) очевидно выполняются. Пусть выполняются свойства 1), 2), 3). Тогда U≠Ø.

1.1.0 следует из 2). 1.1.1 выполняется, так как выполняется для произвольных элементов из V.

1.1.2 0=, значиться по 1.8 U. 1.1.3 По 1.9 (-1)= -, значит по 3) -U.

1.1.4 выполняется, так как выполняется для произвольных элементов из V. 1.1.0` следует из 3).

1.1.5-1.1.8 выполняются, так как выполняются для произвольных элементов из V и из Р.■

Эти свойства: 1) ",,ÎV (+)+= +(+); 2) $ ÎV, что " ÎV +=+=;
3) " ÎV $ (-) ÎV такой, что +(-)= (-)+=; 4) " ,ÎV + =+;

0’) Задана операция внешнего умножения скаляров (элементов из Р) на векторы (элементы из V) (то есть, что "lÎP, "ÎV, указанный вектор lÎV); 5) "l, m ÎP "ÎV (l×m)=l(m);

6) "l, m ÎP "ÎV (l+m)=l+m;

7) "lÎP ",ÎV l(+)=l+l;

8) "ÎV 1=.

Пример. V=Mat{m×n|R}, U={AV| a₁₁=0} является подпространством в V.

Пример: P[x] – линейное пространство, P_n[x] - линейное пространство, P_n[x] P[x]

Пример:

Ранг системы векторов

Доказательство. Эти подсистемы линейно независимые и, по 3.9 они выявляются одна через вторую. Таким образом, 4.1 следует из 3.14. ■ Опр. 4.2. Количество векторов в МЛНП системы (1) называется рангом системы… Св-во 4.3. Когда данные системы векторов (1) и (2) Ранги систем векторов (1) и (2) равные тогда и только тогда, когда,…

Базис линейного пространства. Определение и простейшие свойства

1) система (1) линейно независимая; 2) (условие полноты) "ÎV $l1, l2,…,lnÎP=l1+l2+ . . .+ln. Азн. 5.2. Количество векторов в базисе называется размерностью пространства V… Св-во. 5.3. Определение 5.2. корректное, то есть, что когда (2) и (1) - базисы V, тогда k=n. Доказательство. Все…

Координаты вектора в базисе. Определение и свойства

Опр. 5.10. Упорядоченная n-ка (l1;...;ln)из расписания (3) называется координатами вектора в базисе (1). Координаты вектора записывают в строчку… Св-во 5. 11. Когда вектор имеет в базисе (1) столбец координат X=,тогда… Св-во 5.12. Когда в базисе (1) вектор имеет столбец координат X= а вектор имеет столбец координат Y=, тогда +имеет в…

Матрица системы векторов. Определение и свойства.

Опр. 6.1. V - линейное пространство над P, dimV=n, данный базис V, ,(1) и произвольная система векторов (2) . Пусть "i=++… + = (3). Матрица… Пример 6.2. V2. – базис. В этом базисе система векторов ; ; имеет матрицу A=.… Опр. 6.4. Пусть (1) и ,,…,(4) - базисы пространства V. Матрица системы векторов (4) в базисе (1) называется матрицей…

Матрица перехода от базиса к базису

Теорема 6.5. Матрица перехода от базиса к базису - невырожденная. Доказательство. (1) - базис, значит "k і А=()- матрица (4) в (1). Поскольку… Вывод.6.6. Матрицы перехода от (1) к (4) и от (4) к (1) - взаимно обратные.… Теорема 6.7. Когда А - матрица перехода от (1) к (4), и имеет в базисе (1) столбец координат , а в базисе (2) , тогда…

Подпространства. Свойства. Линейная оболочка системы векторов

Ул.7.6. Когда U и W подпространства пространства V, тогда U∩W - подпространство пространства V. Доказательство. 1. Так как U і W, U∩W ,… 2. Когда и и U∩W,тогда по 7.2.2 +U и +W,откуда+U∩W. 3. Когда U∩W і λР, тогда по 7.2.3 λU и λW, значиться λU∩W■

Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений

Св-во 7.11.5. Если в (4) поочередно каждому придавать значение единицы, а остальным нули, то получим фундаментальную систему решение.… Следствие 7.11.6. Размерность пространства решений системы (1) равна числу…

Линейные отображения. Определение, примеры, простейшие свойства

Азн.8.1. Пусть V, U -линейные пространства над P. Отображение f: V→U(1) называется линейным (гомоморфизмом линейная пространства), когда1); 2) .

Примеры: 1. V=R², U=R₁[x], f :VU:.2. Поворот плоскости кругом пункта О.

3. Нулевое отображение f : . 4. Тождественное преобразование

Св-во 8.2. Когда f :VU - линейное отображение, тогда: 1) ; 2) V ; 3) P, V . Доказательство. 1) .
2) . 3) ММИ по n. 1) n=1 – это 8.1.2.
2) n=2 . Если св-во справедливо для n, то

■

Теорема 8.3. ( Критерий линейности отображения) V, U-линейные пространства над P. Отображение f: V→U является линейным тогда и только тогда, когда P, V (2)

Доказательство. 1) Когда f - линейное, тогда (2) следует из 8.2.3. 2) Пусть исполняется (2), возьмем , тогда , значиться исполняется 8.1.1. Возьмем : (по 8.2.1), значит исполняется 8.1.2. Таким образом, f - линейное отображение.■

Теорема 8.4. V, U -линейные пространства над P. dimV=n, - произвольный базис V. Задание линейного отображения эквивалентно заданию образов элементов базиса , , . . . , . Доказательство. 1) Когда задана линейное отображение, тогда задан .

2) Пусть заданный . Надо задать линейное отображение. определяется в виде (поскольку - базис). Укажем отображение .

Докажем, что F - линейное отображение, и . Начнем доказательство из конца. , , , . Докажем, что F - линейное. Проверим 8.3. Для произвольных векторов и скаляров , , .■

Линейные отображения, их связь с подпространствами и композиция

Опр. 8.7. Пусть f: V→U - линейное отображение, тогда является подпространством в , которое обозначается . Теорема. 8.8. Гомоморфный праобраз подпространства является подпространством,… Частные случаи получаются, когда взять или . ■

Изоморфизм конечномерных векторных пространств

Пример 9.2. 1) - тождественное отображение. Биективность очевидна. Раньше показано, что линейно. 2) .Биективность очевидна. Св-во 9.3. Когда f:V→U- изоморфизм линейных просторов, тогда f -1:… . n

Изоморфизм конечномерных пространств и системы векторов

Следствие 9.9. Пусть f: V→U - изоморфизм, тогда система векторов и либо обе линейно зависимы, либо обе линейно независимы. Доказательство:… Следствие 9.10. Если f: V→U - изоморфизм, то ранги обеих систем из… Следствие 9.11.: Пусть f: V→U - линейное отображение, - базис V, f является изоморфизмом, тогда и только тогда,…

Матрица линейных отображений и ее свойства

Пример 10.2. . Покажем, что F – линейно. Линейность доказана. Построим матрицу F, соотв. (I)… Св-во 10.3. Пусть f: V→U - линейное отображение. (1) и (2) – базисы V и U, тогда f соотв. матрица А, отображение…

Линейные операторы и их матрицы

Азн. 10.6. Когда V- линейное пространство над над Р, а f: VV - линейное отображение, тогда f называется линейным оператором, эндоморфизмам пространства ли V. Множество эндоморфизмов пространства V обозначается End_P(V), или End(V).

Опр. 10.7. Пусть (1) - базис V, End(V) – множество всех изоморфизмов V. fÎEnd(V), тогда матрица системы векторов в базисе (1) наз. матрицей оператора f в базисе (1).

Пр. 10.8. 1) D: :. Эндоморфизм D в базисе 1, x, x² имеет матрицу А=. 2) Эндоморфизм – поворот около пункта 0 на угол , в базисе имеет матрицу . 3) Найдем матрицу этого же эндоморфизма в базисе : ; . В итоге, эндоморфизм в базисе имеет матрицу .

Св-во 10.9. Пусть f – линейное преобразование пространства в V. (1) – базис в V, тогда каждому fÎEnd(V) соотвествует матрице - матрица f в базисе (1) и наоборот, каждой матрице А соответствует единственный линейный оператор fÎEnd(V), для которого А – его матрица в базисе (1). Доказательство: частный случай 10.3. n

Св-во 10.10. Пусть (1) – базис линейного пространства V, fÎEnd(V), - матрица линейного оператора f в базисе (1). Если вектор V в базисе (1) имеет столбец координат Х, а f(v) имеет столбец координат Y, то Y=AX. Доказательство: частный случай 10.4. n

Пример 10.11. :V₂V₂, найти (), где =. Решение 1. Поскольку ()=; ()= - , то () =()= =3()+4() =3+4( – ) = – 4+3. Решение 2. В базисе ,оператор имеет матрицу А=, а вектор имеет столбец координат Х=. () в базисе ,имеет столбец координат Y=АХ=×=. – 4+3. Какие координаты имеет вектор() в базисе
=, =+? Решение 1. Достаточно найти координаты вектора -4+3в базисе ,. Это можно сделать по определению координат вектора в базисе: –4+3= х+у, –4+3= х+у(+), –4+3= (х+у)+у. Поскольку ,- базис, , то, и . Решение 2. =Х=×=. Оператор имеет в базисе ,матрицу В=. Тады =В=×=.

Лемма 11.7. Пусть матрицы С, DÎMat(m´n,P) такие, что для произвольного столбца ХÎMat(n´1,P) СХ=DX, (3) тогда С=D. Доказательство. Когда Х=, из равенства (3) очевидно получается, что в матрицах С и D первые столбцы равные. Когда Х=, получаем равенство вторых столбцов матриц С и D. Все соответствующие столбцы матриц С и D равные, значит С=D. n

Теорема 10.13. Пусть (1) и - базисы пространства V, Т – матрица перехода от (1) к (4). fÎEnd(V),
f имеет матрицу А в (1), f имеет матрицу В в (4), тогда В = Т ^–1 А Т. Доказательство: Пусть имеет столбец координат По 10.10. n

Опр.10.14. Квадратная матрица наз. сопряженной с помощью матрицы S, если .

Следствие 10.15. А, В сопряжены тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того линейного оператора в разных базисах. Доказательство: То, что матрицы одного линейного оператора в разных базисах сопряжены, доказано в 10.13. Обратно. Пусть А, В сопряжены. Рассмотрим произвольное линейное пространство V над Р dimV=n, - произвольный базис V, тогда по 10.9. есть линейный оператор fÎEnd(V), который в этом базисе имеет матрицу А. Рассмотрим - базис, который в исходном базисе имеет матрицу S. По условию матрица S невырождена, тогда - базис V. По 10.13. f имеет матрицу. n

 

Ранг матрицы. Определение и свойства

Опр. 11.2. Пусть Если в матрице А выделить k строк и k столбцов, то на их пересечении будет стоять матрица размера Определитель этой матрицы… Опр. 11.3. Если в матрице А все миноры k-го порядка равны 0, то все миноры… Св-во 11.4. Если у матрицы А все миноры k-го порядка =0, то и у матрицы АТ все миноры k-го порядка =0. Доказательство.…

Ранг матриц и системы линейных уравнений

Т. 11.19. Теорема Кронер-Капелли: Система линейных уравнений совместна , когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы.… Т. 11.20. Структура решений систем линейных уравнений.Пусть дана система и… Следствие 11.21. Все решения системы АХ=В имеет вид Х*+ ХО ,т.е. принадлежит множеству , где V – пространство решение,…

Евклидовы пространства. Определение и свойства

2) ÎV (+;)=(;)+(;), 3) ÎR ÎV (;)=(;), 4) ÎV (;)>0 , если . Простанство V, в котором заданно скалярное достояние,… Пример 12.2.1) V2 со скалярным произведением , который изучался в курсе… Св-во 12.3. В произвольной Евклидовом пространстве: 1) Îε (;)=(;)=;

Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами.

Пример 12.6..1. В соотв. геометрическому определению длины вектора. 2. У С[a;b] =. Св-во 12.7.В Евклидовом пространстве ε: 1) = 0 т. и только тогда, когда… Доказ. 1)Если =, тогда ===0. Если , тогда >0, откда =>0.

Геометрические теоремы в евклидовых пространствах

Теорема 12.17. (Неравенство треугольника в Евклидовом пространстве.) . Доказательство: Докажем правую часть неравенства: . Докажем правую часть неравенства: ; ; . При доказательстве два раза использовали неравенство Коши-Буняковского.■

Ортогональные векторы и ортогональный базис.

Св-во 13.2.В Евклидовом пространстве ε: 1. Нулевой вектор и только он ортогональное само сам; 2. Нулевой вектор и только он ортогональный всем векторам; 3 . Когда… 1) Когда =, то по 12.7.1 (,)=()=0; а когда ≠, то по 12.7.4 (,)>0. 2) Когда =0, то по 12.7.1 (,)=(,)=0; а…

Ортонормированный базис евклидова пространства.

Тэарэма 13.9.Базис (2) евклидового пространства εn является ортонормированным тогда и только тогда, когда ортогональное достояние произвольных… Откуда =1. Аналогично . Когда з (3)следует, что , то (2) – ортонормированный… Тэарэма 13.10.В каждой конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Ортогональные операторы. Определение, примеры, свойства

ОПР .14.1.Пусть ε – Евклидовое пространство. Лин. Преобразование f:εε наз. ортогональным, если Îε .

Приметр14.2. В Евклидовом пространстве V₂ со сколярным произведением оператор f: V₂V₂ является ортогональным.

СВ-во.14.3.Если f: εε – ортогональный оператор, тогда: 1) f сохраняет норму, т.е. ); 2) f сохроняет угол между векторами, т.е. ε{} =).

Д-во. 1) , значыцца .

2) , адкуль =.■

Св-во14.4.Ортогональный оператор явл. ортоморфизмом пр-ва, т.е. биективным, лин. отображ

Ортогональные операторы и ортогональные матрицы

ОПР .14.1.Пусть ε – Евклидовое пространство. Лин. Преобразование f:εε наз. ортогональным, если Îε .

Опр.14.5.Матрица AÎMat(n´n;R) наз. ортогональной, если . Прыклад14.6.

Лемма 14.7.Если A, BÎMat(n´n;R) і X, YÎRⁿ тады .Доказ. . Т.к , - любые, рассиотрим -столбец, у которого і-ы элемент равен 1, а все остальные 0. Так определим и трудно заметить, что. А это значит, что , значит , .■

Св-во14.8.Ортогональный оператор Евклидового пространства в ортонормированном базисе имеет ортогональную матрицу. До-во. Пусть ортанармированный базис εⁿ, f:εⁿεⁿ - ортогональный оператор и А- его матрица в этом базисе. Рассмотрим произвольные векторы Îεⁿ, которые имеют столбцы координат , соответственно в данном базисе. Тогда векторы і имеют столбцы координат і соответственно. Из ортогональности f по 14.7 следует, что , Из леммы 15.6 следует, что .■

Св-во 14.10. Оператор f ортогонален тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе ортогональна. Доказательство: Утверждение, что если f – ортогонально, следует, что А – ортогональна (по 14.8.). Обратно: пусть есть ортонормированный базис, А – ортогональная матрица, тогда есть оператор f. Пусть в этом базисе имеют столбцы координат Х и Y. Тогда имеют столбцы координат АХ и AY. Тогда ■

Ортогональные операторы, матрицы и системы векторов

Св-во 14.11: Линейный оператор в Евклидовом пр-ве ортонормирован тогда и только тогда, когда он переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис. Доказательство: Пусть fортогонален. - ортонормированный базис. - ортонормированный базис. f– ортогонален, значит сохраняет норму. . fсохраняет угол, значит векторы попарно ортогональны. Тогда они линейно независимы, значит линейное пространство образует базис. Обратно: пусть - ортонормированный базис. - ортонормированный базис. Пусть имеют столбцы координат Х и Y. Тогда имеет столбец Х в базисе . Аналогично имеет Yв том же ортонормированном базисе. Получим ■

Св-во 14.12. Композицияортогональный отображений ортогональна отображению. Доказательство: ■

Св-во 14.13. Матрица А является ортогональной тогда и только тогда, когда . Доказательство: , - ортогональная. ■

Следствие 14.14. Оперделитель ортогональной матрицы равен 1 или –1. Доказательство: Возьмем (*). ■

Сумма линейных операторов и ее свойства

Опр. 15.1. Путь f₁ і f₂ линейные операторы V, тогда их суммой называют отображение

V V(2)

Св-во 16.2.Сумма линейных операторов является линейным оператором. Док-во. Используем теорему о критерии линейности: V P (в первой и последней равенствах использовали определение 16.1, а во второй - теорему 8.3). ■

Св-во15.3.Когда линейные операторы f₁ и f₂ имеют в базисе (1) матрицы A₁ и A₂, тогда линейный оператор f₁+ f₂ мои в этом базисе матрицу A₁+ A₂. Док-во. Пусть произвольный вектор , векторы имеют в базисе (1) соответствующие столбцы координат . Х,. Тогда ; . По определению 15.1 . Отсюда следует, что . Из замечания о единственности матрицы линейного оператора следует, что– матрица линейного оператора в базисе (1).■

Св-во.15.4.Множество End(V) с операцией сложения лин. операторов явл. аддитивной(+/-), коммутативной группой. Доказательство: 1) Докажем ассоциативность операции сложения (1).: V ÎEnd(V)Так как – произвольный, доказали равенство отображений: . 2) Докажем коммутативность сложения операторов: V End(V) , значыцца, .

3) Очевидно, что нулевое отображение VVпринадлежит End(V) и является нейтральным относительно сложения элементов в End(V): V ÎEnd(V). Отсюда следует . 4) Докажем, что для произвольного fÎEnd(V)отображение (–f):VVявляется линейным оператором, и что . VP

Значит, End(V). V, , из чего следует, что .■

Св-во. 15.5.Когда dim(V)=n, тогда End(V) и Mat(n n;P) являются изоморфными аддитивными группами.

Доказательство. В свойства 11.4 доказали, что когда фиксированный базис (1) в V, то сущнствует биективное отображение F: Mat(n´n;P)End(V). Из свойства 15.3 следует , что "A₁,A₂Î Mat(n´n;P) F(A₁+A₂)= F(A₁)+F(A₂), таким образом, F - изоморфизм аддитивных групп End(V) і Mat(n´n;P).■

Умножение линейного оператора на скаляр

Орп. 15.6.V – лин. пространство над P, fÎEnd(V), P. Произведением скаляра на эндоморфизм f называется отображение :VV:.

Св-во 15.7 ÎEnd(V).До-во. ÎVP
значит, fÎEnd(V). ■

Св-во 15.8. 1) P, fÎEnd(V) ; 2) P, fÎEnd(V) ;

3) P, f₁, f₂ÎEnd(V) ; 4) fÎEnd(V) 1× f = f.

Доказ.1) V , значит, .

2) ,

откуда . 3) значит . 4). ■

Св-во 15.9.End(V) является линейным пространством над P. Доказательство. Свойства 1)-4) определения 1.1 доказана в 15.4, а свойства 5)-8) этого определения рассматривались в 15.8. ■

Св-во 15.10.Калі эндамарфізм fÎEnd(V) мае ў базісе (1) матрыцу А, тады эндамарфізм f мае ў базісе (1) матрыцу А. Доказ.Когда произвольный вектор и векторы f(), (f)() имеют в базисе (1)столбцы координат соответственно Х, Y, , тогда по определению 16.6, значит, А – матрица (f) в базисе (1).■

Т. 15.11.Если dim(V)=n, тогда лин. пространство End(V) і Mat(n´n;P) изоморфное. Доказ. Рассмотрим ту же биекцию F: Mat(n´n;P)End(V), что и в 15.5. То, что F сохраняет сложение, доказана в 15.5. То, что P, AÎEnd(V) , следует из 16.8 и замечания о единственности матрицы оператора в базисе.■

Вывод. 15.12.Калі dim(V)=n, тады dim (End(V))=n². Доказ.Очевидно, что dim(Mat(n´n;P))=n², а так как изоморфные пространства имеют равные измеримости, тогда dim(End(V))= n².■

 

 

Кольцо эндоморфизмов линейного пространства

Св-во.16.14.Калі dim(V)=n, End(V) і маюць у базісе (1)адпаведныя матрыцы тады мае ў базісе (1) матрыцу . Доказ.Когда произвольный вектор и вектор і… Св-во.16.15.End(V) относительно операций сложения операторов и композиции… . Значит .

Линейные алгебры

Прыклад 16.17.1) С над R. 2) Mat(n´n:P). 3) P[x]. Св-во.16.18.Если V – линейное пространство над Р, то End(V) – лінейная алгебра…

Инвариантные подпространства. Собственные векторы. Простейшие свойства

Азн.16.1. fÎEnd(V). Подпространство U пространства V называется инвариантной относительно f (или f - инвариантной), когда ÎU ÎU (1)

Прыклад 16.2.1. V=V₂, pr_x – проекция на ось Ox. U₁=RR} - инвариантная относительно pr_x подпространство, так как R, U₁. U₂=RR} - также инвариантные относительно pr_x подпространство, так как R, R U₂. R U₂.

16.2.2. V=V₃, f – поворот вокруг оси Oz на угол . f- инвариантными являются U_zіU_xoy - просторо векторов плоскости xOy.

16.2.3. Для оператора D деференцирования пространства P[x] для произвольного натурального n пространства

P_n[x] является D-инвариантными.

16.2.4. Для произвольного fÎEnd(V) подпространства і V являются f - инвариантными. Они называются тривиальными.

Св-во 16.3 Когда fÎEnd(V), U₁ и U₂ f - инвариантные подпространства, тогда U₁U₂ также f- инвариантное подпространство. Доказ. Рассмотрим U₁U_2. То U₁ откуда следует, что ÎU₁. Аналогично, ÎU₂, ■

Азн. 16.4.Ненулевой вектор ÎV называется собственным вектором оператора fÎEnd(V), когда существует ÎP такой, что f. При этом говорят, что - собственная значимость линейного оператора f, которое соответствует вектору .

Прыклад 16.5.У линейного оператора pr_x линейного пространства V₂ вектор является собственным из собственной значимостью 1, поскольку . Т.к. , вектор - собственный, которому соответствует собственная значимость 0.

Св-во 16.6.Когда - собственный вектор линейного оператора fÎEnd(V), которому соответствует собственная значимость ÎP, тогда для произвольного ÎP{0} вектор также является собственным вектором оператора f, которому также соответствует собственная значимость . Доказ. По условию . Тогда очевидно, что і .■

Вынік 16.7Когда - собственный вектор линейного оператора fÎEnd(V), которому соответствует собственная значимость , тогда подпространство P={ÎP} является f-инвариантной и каждый ненулевой вектор этого пространства является собственным вектором этого пространства является собственным вектором f, которому соответствует собственная значимость . Доказ. Следует из 17.6 и того, что f.■

Азн. 16.8 Пусть (3) -базис пространства V, fÎEnd(V) і А=– матрица оператора f в базисе (3).Характеристическим полиномам матрицы А, а также характеристическим полиномамfназывается полином

(4).

Характеристические многочлены и собственные числа

(4). Св-во 16.9 Характеристические многочлены сопряжены, матриы равны. Доказ. Пусть… ■

Диагональные матрицы линейных операторов

Св-во 16.14. Пусть dimV=n. Линейный оператор f имеет в некотором базисе диагональную матрицу тогда и только тогда, когда это базис из собственных векторов. Доказательство: Пусть -базис из собственных векторов,-собственные значения, тогда .Обратно. Пустьв базисе оператор f имеет матрицу ■

Св-во 16.15. Собственные векторы линейного оператора, которые соотвествуют попарно неравным соотв. значениям, линейнонезависимы. Доказательство: ММИ по k – число векторов. , попарно различны, то она линейно независима. .Равенство (*) умножим на и прибавим к последнему равенству.

По посылке - лин. независимые. . Все коэффициенты в (*) равны нулю. Значит система векторов линейно независима. ■

Т. 16.16. Пусть и линейный операторf имеет n попарно неравных собственных значений, тогда существует базис, в котором оператор f имеет диаональную матрицу. Доказательство: Если -попарно неравные собственные значения f, то соотв. собственным векторам , которые по 16.15. линейно независимы. n линейно независимых векторов линейного пространства составляет базис из собственных векторов оператора f, тогда по 16.14. f в этом базисе диагональна. ■

Следствие 16.17. Пусть и имеет n попарно неравных собственных значений, тогда существует матрица - диагональная. Доказательство: Рассмотрим V, dimV=n. Фиксируем в нем произвольный базис .Тогда существует линейный оператор , который в этом базисе имеет операцию А. Собственное значение А и f совпадают, значит f имеет n попарно неравных собственных значений, тогда по 16.16. существует новый базис ,в котором матрица В оператора f диагональна. Возьмем T – матрицу перехода от старого базиса к новому. диагональная. ■

 

 

Самосопряженные операторы, их свойства, матрицы, собственные векторы, примеры.

Опр. 17.1. ε – Евклидово пространство. Оператор fÎEnd(ε) наз. Самосопряженным , если Îε .

Пример17.2. 1. Очевидно, что тождественный оператор является самосопряженным. 2. В V2 рассмотрим оператор Pr x проектирования на ось Ox. Очевидно, что . Тогда , і . Таким образом, доказали, что Pr_x - самосопряженный оператор.

Св-во17.3. Когда f - самосопряженный оператор пространства ε, UÌε -является f-инвариантным подпространством, тогда ортогональное дополнение к U Uε ÎU является f-инвариантным подпространством.Доказательство. Сначала докажем, что U- подпространство в ε. U,R, U , значит, U. По критерию подпространства следует, что U- подпространство в ε. Т.к. U, . Из самосопряженности оператора f следует, что , значит ÎUі Uявляется f-инвариантным подпространством.n

Св-во 17.4.Если линейный операторf–самосопряженный оператор пространства ε,А–его матрица в ортонормированном базисе, тогда А=А^Т (1).Матрицы, которые удовлетворяют равенству (1) называются симметричными. Доказательство. Фиксируем произвольный ортонормированный базис в ε. Пусть в этом базисе f мои матрицу А, произвольные векторы и имеют столбцы координат X и Y. Тогда векторы и имеют столбцы координат AX и AY. По свойству 14.7 =(AX)^TY =X ^TA ^TY, і =X ^TAY. С самосопряженности f следует, что X ^TA ^TY=X ^TAY. Так как X и Y - произвольные столбцы, из последнего равенства по лемме 15.6 следует, что A^T=A.n

Св-во17.5. Когда и - собственные векторы самосопряженного оператора f, которым соответствуют неровные реальные собственные значимости і , тогда векторы и взаимообратные.

Доказательство. Так как f – самосопряженный оператор, , , . По условию , значит, .n

Собственные числа самосопряженных операторов

Лемма 17.6. У любого линейного оператора вещественного пространства есть инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Доказательство: . Фиксируем произвольный базис. Оператор f в нем имеет матрицу . Рассматриваем этот многочлен как многочлен с комплексными коэффициентами. По основной теореме алгебры этот многочлен имеет корень . Если , то он соответствует некоторому и - пространство инвариантно относительно f. . Пусть . Рассмотрим систему линейных уравнений над полем комплексных чисел т.к. справа – действительная матрица, то . Рассмотрим векторы и , которые в этом же базисе, где брали матрицу А, имеют столбцы координат Х и Y, тогда АХ и АY – столбцы координат и в этом же базисе. . Рассмотрим линейную оболочку

- подпространство инвариантное относительно f. . ■

Свойство 17.7. Все собственные числа самосопряженного оператора - вещественные. Доказательство. От противоположного. Пусть f собственное число , где . Из доказательства леммы 17.6 следует,
что Г ненулевые векторы и : . ; ; ; . Но , получили противоречие. n

Теорема 17.8. f – самосопряженный оператор , тогда существует ортонормированный базис из собственных векторов f. Доказательство: ММИ по n. Если n=1, верно, т.к. любое линейное преобразование одномерного пространства есть умножение на скаляр. Пусть верно для n+1. . Возьмем произвольное собственное значение , которое соответствует . Известно, что - одномерное собственное пространство f. Рассмотрим по посылке индукции. - ортонормированный базис из собственных векторов f. Покажем, что разлагается в сумму векторов и вектора . - базис . Покажем это: разлагается по базису разлагается по . Значит система линейно независима и она является ортонормированным базисом из собственных векторов f. n

Св-во 17.9. Для любой симметричной матрицы А существует ортогональная матрица Т такая, что - диагональная. Доказательство: Пусть . Рассмотрим . Фиксируем в нем . Рассмотрим оператор f, который в этом базисе имеет матрицу А. Базис ортонормированный. Матрица симметричная, значит линейный оператор самосопряжен (по 17.4.). По 17.8. существует ортонормированный базис из собствееных векторов оператора f, в котором оператор f имеет матрицу . Возьмем матрицу Т перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов. Т.к. оба базиса ортонормированных, то Т – ортагональная. n

Квадратичные формы. Матрицы замены

Свойство 18.2. Если отождествить действительное число и матрицу , тогда F () =(2), где, , где - коэффициенты квадратичной формы, матрица А… Пример 18.3. Квадратичная форма имеет матрицу A = . Квадратычная форма имеет матрицу A = .

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы существует замена, которая приводит форму к каноническому виду, причем ее можно выбрать так, что матрица… Пример 18.10., , , . Пронормируем векторы и и получим векторы , которые имеют…