Мы использовали понятие базис применительно к двумерным и трехмерным векторам как систему, соответственно, двух или трех взаимно ортогональных векторов единичной длины: в случае векторов на плоскости и в случае векторов в пространстве.
Однако в качестве базиса на плоскости могут служит любые два ненулевых вектора плоскости, не лежащие на одной прямой, так как любой вектор на плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса: . Действительно, сравнивая координаты векторов в левой и правой частях последнего равенства, мы сведем задачу определения коэффициентов к решению линейной системы из двух уравнений с ненулевым главным определителем.
В качестве базиса в трехмерном пространстве могут служить любые три ненулевых вектора пространства, не лежащие в одной плоскости, так как любой вектор в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации . Коэффициенты могут быть определены как решение линейной системы из трех уравнений с ненулевым главным определителем.
Вообще, базисом в пространстве векторов называется такой минимальный набор из ненулевых векторов этого пространства, что любой вектор данного пространства может быть представлен как линейная комбинация векторов базиса. Количество векторов в базисе определяет размерность пространства.
Линейные отображения.
Линейным отображением векторного пространства в векторное пространство называется такое отображение, что для любых двух векторов и из пространства и любых двух вещественных чисел и справедливо:
.
Любое линейное отображение -мерного пространства в -мерное задается некоторой матрицей размера и наоборот, любая матрица размера задает линейное отображение -мерного пространства в -мерное.
Действительно, возьмем произвольную матрицу размера .Ее можно умножить на -мерный вектор , рассматриваемый в вида матрицы-столбца размером . Результатом умножения будет матрица-столбец размером , то есть, -мерный вектор . Имеем , где
, , .
То, что отображение, задаваемое умножением вектора на матрицу, является линейным, следует из свойств сумм и произведений матриц.
В частности, линейное отображение -мерного пространства на множество вещественных чисел (одномерное пространство) задается матрицей-строкой размера .