Тема: Полярные координаты на плоскости
1. Уравнение прямой линии в полярных координатах имеет вид …
Решение:
Перейти от прямоугольных координат к полярным можно по формулам . Тогда уравнение прямой примет вид , или .
2. Одна из вершин треугольника находится в полюсе , две другие имеют координаты и . Тогда площадь треугольника равна …
Площадь треугольника можно вычислить по формуле , где – угол между сторонами и . Тогда .
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат дана точка . Тогда расстояние от нее до полярной оси равно …
Решение:
Расстояние от точки до полярной оси определяется длиной перпендикуляра, опущенного из нее на ось. Рассмотрим прямоугольный треугольник , где – полюс, – основание перпендикуляра. Тогда длина перпендикуляра будет равна: .
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат заданы две точки и . Тогда расстояние между ними равно …
Решение:
Точки и лежат на одной прямой и отстоят от полюса на расстояния 2 и 7 соответственно. Следовательно, длина образованного ими отрезка .
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат даны две точки и . Тогда полярные координаты середины отрезка равны …
Решение:
Точки и в полярной системе координат лежат на одной прямой. Длина отрезка равна 10. Середина отрезка лежит на луче и удалена от полюса на 3 ед. Следовательно, полярные координаты середины отрезка равны .
Тема: Полярные координаты на плоскости
Кривая в полярной системе координат задана уравнением . Тогда ее уравнение в прямоугольной системе координат имеет вид …
Решение:
Перейдем в уравнении кривой к декартовым координатам. Используя формулы взаимосвязи между полярными и декартовыми системами координат , , получим: , тогда или . Выделим в этом уравнении полный квадрат относительно : . Тогда . А это уравнение окружности с центром в точке и радиусом .