Прямая на плоскости.

Положение прямой на плоскости будет определено, если задать единичный вектор , перпендикулярный прямой и выходя-щий из начала координат, и расстояние то начала координат до прямой - , (рис.4). Возьмем на прямой произволь-ную точку .

Рис.4

 

Когда точка движется по прямой, то ее радиус-вектор меня-ется так, что все время связан условием: , оно выполняется для всех точек прямой, то есть это равенство выражает общее свойство точек прямой и только их. По свойству скалярного произведения

, следовательно,

 

(11)

 

Это нормальное уравнение прямой в векторной форме. Так как , подставляем в уравнение (11) и полу-чим нормальное уравнение прямой в координатной форме:

 

(12)

 

Утверждение 2.Любое уравнение первой степени с двумя пере-менными определяет прямую на плоскости.

Доказательство. Рассмотрим линейное уравнение первой сте-пени с двумя переменными

(13)

 

Коэффициенты и будем рассматривать как проекции на оси координат некоторого постоянного вектора , а и - как проекции радиус-вектора точки . Запишем это урав-нение в векторной форме:

(14)

 

Рассмотрим три случая:

1. пусть , разделим (14) на, получим

, где , обозначим , тогда уравнение (14) примет вид

2. пусть , разделим (13) на , получим

, где .

3. пусть , разделим (13) на или , тогда получим

или

Каждое из полученных в трех случаях уравнений вида (11). То есть уравнение вида (13) можно привести к уравнению (11), а это значит, что уравнение (13) определяет прямую на плоскости.

Уравнение (13) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Определение 2.Любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой, называется вектором нормали.

 

Векторов нормали для прямой бесконечно много, все они колли-неарны между собой, коэффициенты при переменных в общем уравнении прямой – это координаты одного из векторов норма-ли, то есть - один из векторов нормали.

Чтобы привести общее уравнение прямой на плоскости к нормальному уравнению, нужно воспользоваться нормирую-щим множителем:

(15)

знак берется противоположным знаку ( если , то знак берется произвольно). Умножаем уравнение (13) на нормирую-

щий множитель, получим: или , где

 

верхние знаки берутся, если нижние – в противополож-ном случае.