Частные случаи расположения прямой на плоскости.

Рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости (13):

1.Если , тогда уравнение (13) примет вид . Координаты точки удовлетворяют этому уравнению, следовательно, в этом случае прямая проходит через начало координат.

2. Если , то уравнение (13) примет вид или , то есть прямая параллельна оси ординат.

3. Если , то получим уравнение , в этом случае прямая параллельна оси абсцисс.

4. Если , то получим уравнение - это уравнение оси .

5. Если , то уравнение определяет ось .

Пусть прямая не параллельна ни одной оси и даны точки пере-сечения прямой с осями координат (рис.5):

Рис.5

Составим по этим данным уравнение прямой. Воспользуемся общим уравнением прямой на плоскости (13), в этом уравнении нужно найти коэффициенты , для этого подставим

координаты точек и в уравнение, получим:

следовательно, , подставляем найденные коэффициенты в (41), получаем или , разделим это уравнение на , получим урав-нение прямой в отрезках:

(16)

числа и показывают, какие отрезки на осях координат отсекает данная прямая.

 

Пример 3.Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на осях координат равные отрезки.

Решение.Так как прямая отсекает на осях координат равные отрезки, то , воспользуемся уравнением (16), подставим координаты точки в это уравнение, получим

, тогда , подставляем в (16), получаем

или .

 

Определение 3.Вектор, параллельный данной прямой или лежащий на этой прямой, назывется направляющим вектором прямой.

 

 

Рис.6

Пусть - направляющий вектор прямой.

 

Определение 4.Угловым коэффициентом прямой называется отношение проекции направляющего вектора на ось ординат к его проекции на ось абсцисс.

 

(17)

 

Пусть задан угловой коэффициент прямой и точка пересе-чения прямой с осью . Составим уравнение этой прямой.

 

Рис.7

 

Возьмем произвольную точку на прямой (рис.7), тогда вектор будет направляющим, следовательно, , выразив из этого соотношения , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:

 

(18)

 

Пусть задана точка через которую проходит прямая и угловой коэффициент этой прямой . Надо составить урав-нение этой прямой. Для этого воспользуемся уравнением (18), в котором требуется найти коэффициент . Подставим в уравне-ние (18) координаты точки , получим , вычитая из (18) данное равенство, получим:

(19)

 

это уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.

Если в уравнении (19) угловой коэффициент будет прини-мать всевозможные значения, то это уравнение будет опреде-лять пучок прямых с центром в точке .

Пусть задана точка , через которую проходит прямая, и направляющий вектор прямой. Составим уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением (19):

преобразовав это равенство, получим каноническое уравнение прямой:

(20)

 

Уравнение (20) можно рассматривать как пропорцию, поэтому , отсюда получаем:

(21)

 

это параметрические уравнения прямой на плоскости.

 

Пусть даны две точки , через которые проходит прямая. Составим уравнение данное прямой. Воспользуемся каноническим уравнением прямой (20), в качестве направляющего вектора возьмем вектор :

(22)

 

Оба уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

 

Определение 5.Углом между прямыми на плоскости называ-ется любой из двух смежных углов, образованных этими пря-мыми( если прямые параллельны, то угол между ними 0 или ).

Расстояние от точки до прямой (13) находится

аналогично расстоянию от точки до плоскости:

(23)