Решение

По изложенной в предыдущей задаче методике находим в пределах каждой группы (каждого разряда) среднее значение и дисперсию:

1) для первой группы ( 4 разряд):

(по формуле средней арифметической простой)

2) для второй группы (5 разряд) по аналогичным формулам:

;

3) находим среднюю из групповых дисперсий, которая показывает влияние всех факторов, кроме того, который положен в основу группировки:

4) находим общее среднее значение количества деталей для всей совокупности:

5) находим межгрупповую дисперсию, которая показывает влияние только того фактора, который положен в основу группировки (в нашем случае это разряд):

6) находим общую дисперсию по правилам сложения дисперсий:

7) В таком случае эмпирический коэффициент детерминации ,

а эмпирическое корреляционное отношение ,

что позволяет сделать вывод о достаточной взаимосвязи между разрядом рабочего и количеством выпущенных деталей.

Задачі по темі

"Статистичне вивчення взаємозв’язків"

За даними таблиці, що характеризують собівартість продукції та середньомісячну заробітну плату, з’ясувати зв’язки між ними і обчислити цей зв’язок. Зробити висновок.

 

Рішення:

	х	у	ху	х*2	У	(у-У)	(у-У)2	у*2
	Середня зарплата, грн..	Собівартість, грн..
		137,6	46371,2		273,0587463	-135,458746	18349,07	18933,76
	317,4	140,4	44562,96	100742,8	265,3693194	-124,969319	15617,33	19712,16
	343,4	142,8	49037,52	117923,6	275,5695795	-132,76958	17627,76	20391,84
	367,8		57744,6	135276,8	285,1421313	-128,142131	16420,41
	320,8	133,8	42923,04	102912,6	266,7031996	-132,9032	17663,26	17902,44
	330,4	139,4	46057,76	109164,2	270,4694495	-131,069449	17179,2	19432,36
		144,6			278,1588763	-133,558876	17837,97	20909,16
	340,8			116144,6	274,5495535	-129,549554	16783,09
	325,4	130,4	42432,16	105885,2	268,507861	-138,107861	19073,78	17004,16
		141,4	46096,4		268,7432516	-127,343252	16216,3	19993,96
Разом		1412,4	475251,6		2726,271968		172768,2	199953,8
Середня	335,9	141,24	47525,16	113039,5				19995,38
	112828,81	19948,7376
	в=	8264,8	0,392318
		21066,6
	а=	140,8476823
	У=140,84+0,39х
				дисп-у	46,6464
				дисп-х	210,666
				r	0,833731207

.

Знайдене теоретичне рівняння зв’язку описує функціональну залежність у від х. У нашому прикладі побудована модель у вигляді рівняння - залежність собівартості від середньої заробітної плати. Перший із коефіцієнтів а– ордината теоретичної лінії при х = 0. У нашому прикладі а=-140,84 характеризує умовний рівень собівартості, незалежний від заробітної плати. Коефіцієнт b, який називають коефіцієнт регресії, характеризує міру зростання результативної ознаки (у) зі зростанням фактора х на одиницю виміру.

Рівняння регресії У=140,84+0,39х, тобто зі збільшенням середньої заробітної плати на 1 грн. собівартість продукції збільшується в середньому на 0,39 грн

Для узагальнюючої економічної інтерпретації лінійних і нелінійних зв’язків між показниками користуються також коефіцієнтом еластичності, який показує, на скільки процентів у середньому змінюється величина у зі зміною величини хна один процент:

Коефіцієнт еластичності.

Отже із збільшенням середньої заробітної плати на 1% собівартість в середньому збільшується на 0,93%.

Для оцінювання щільності лінійного зв’язку використовується лінійний коефіцієнт кореляції, який набуває значень у межах ±1, тому характеризує не лише щільність, а й напрям зв’язку. Додатне значення свідчить про прямий зв’язок, а від’ємне – про зворотний.

Отже зв’язок прямий та щільний.(оскільки значення r знаходиться в межах від 0,7 до 1)

Задачі по темі

"Ряди динаміки"

Задача 1.Динаміка введення у експлуатацію житлових будинків в Україні характеризується даними, наведеними у табл..

 

Рік Показник
Введення в експлуатацію житлових будинків, тис.кв.м.

 

Проаналізуйте ряди динаміки, обчисливши:

1) ланцюгові і базові абсолютні прирости, темпи зростання і темпи приросту, коефіцієнт прискорення (уповільнення) динаміки;

2) абсолютне значення 1% приросту;

3) середній рівень ряду;

4) середній абсолютний приріст;

5) середньорічний темп зростання і приросту за 1990-2002 рр.

Зробіть висновки. Результати оформіть в табличній формі.

 

Рішення:

 

Показник	темп зростання	абсолютний приріст	темп приросту	абс.знач.1% приросту
базисні	ланцюгові	базисні	ланцюгові	базисні	ланцюгові	базисні	ланцюгові
	-	-	-	-	-	-	-	-
	0,496532	0,496532	-8784	-8784	-50,3468	-50,3468	174,47	174,47
	0,335187	0,675055	-11599	-2815	-66,4813	-32,4945	174,47	86,63
	0,318565	0,95041	-11889	-290	-68,1435	-4,95896	174,47	58,48
	0,340402	1,06855	-11508		-65,9598	6,854984	174,47	55,58
	0,348083	1,022563	-11374		-65,1917	2,256272	174,47	59,39

Абсолютний приріст — це різниця між наступним і поперед­нім, або базисним, ріннями ряду. Він показує, на скільки оди­ниць наступний рівень відрізняється від попереднього, що прийнятий за базу порівняння (швидкість зміни).

Абсолютний приріст може бути додатним (динаміка зроста­ння), від'ємним (зменшення) або нульовим (без змін).Абсолютний приріст позначається буквою ∆ («дельта»), вимі­рюється в одиницях виміру ознаки та обчислюється за фор­мулами:

— базисні абсолютні прирости;

— ланцюгові абсолютні прирости.

Коефіцієнт зростання — це відношення наступних показни­ків до попередніх, з якими їх порівнюють. Коефіцієнти зростання позначають буквою К і вимірюють у коефіцієнтах або у відсотках множенням коефіцієнта на 100%. Якщо коефіцієнт зростання певного рівня більший за оди­ницю (К>1), то це свідчить про зростання рівня, якщо К< — про зниження.

Коефіцієнти зростання обчислюються за формулами :

— базисні коефіцієнти зростання;

— ланцюгові коефіцієнти зростання.

Теліп приросту — це відношення абсолютного приросту до попереднього рівня ряду (або базисного), виражене у відсотках. Він є вимірником відносної швидкості зростання і показує, на скільки відсотків збільшився (зменшився) показник (наступний рівень) порівнянне з попереднім чи базисним. Додатне значен­ня темпу приросту свідчить про зростання рівня, а від'ємне — про зниження (темпи падіння). Позначається він буквою Т (темп).

Згідно з визначенням, темпи приросту обчислюються за формулами:

— базисні темпи приросту;

— ланцюгові темпи приросту.

Але у практиці використовують більш зручну формулу

Абсолютне значення 1% приросту — це відношення абсолют­ного приросту за певний час до темпу приросту цього самого періоду. Цей показник розкриває вагомість 1% приросту, його вираження в абсолютній величині. Він показує, що означає під­вищити або знизити рівень певного суспільного явища на один відсоток. Абсолютне значення 1% приросту вимірюється в оди­ницях рівнів ряду і обчислюється за фор­мулою

Показник абсолютного значення одного відсотка приросту можна також одержати, якщо поділити абсолютний рівень попереднього періоду на 100.

 

Середній рівень динамічного ряду характеризує середній розмір явища для всього періоду часу. Період часу — це різниця між останнім та початковим моментами (періодами).

Середній рівень інтервальпого ряду визначають за формулою середньої арифметичної простої

де у_і — показник ряду ; п — кількість показників.

Середній абсолютний приріст обчислюють за формулою се­редньої арифметичної простої з ланцюгових приростів

де п— кількість ланцюгових абсолютних приростів. Якщо відомі базисні прирости, то зручніше обчислювати за формулою

Середнійтемп зростання (К) обчислюють за формулою се­редньої геометричної:

де К₁,К₂,...,К_п — ланцюгові темпи зростання, п — кількість ланцюгових темпів зростання. Цю формулу можна спростити

де

— кінцевий базисний темп зростання.

Середнійтемп приросту обчислюють як різницю між серед­нім темпом зростання (у %) і 100% за формулою

 

середній рівень ряду	8254,667
середній абсолютний приріст	-2274,8
середній темп зростання
середній темп приросту	-100

Задача 2. Визначити тенденцію ряду динаміки прибутку банку методом аналітичного вирівнювання, якщо є такі дані:

 

Рік
Прибуток, млн..грн.	2,4	2,8	3,5	4,8	5,1	6,8	7,2

 

Рішення:

Найбільш ефективним способом виявлення основної тенденції розвитку є аналітичне вирівнювання, яке базується на застосуванні методів математичного аналізу. При аналітичному вирівнюванні показників динамічного ряду фактичні значення їх рівнів замінюються визначеними на основі певної функції, яку називають трендовим рівнянням.

Лінійна форма тренду:

де - показники, звільнені від коливань, вирівнені за прямою;

а – початковий рівень тренда в момент або період, прийнятий за початок відрахунку часу t;

в – середній абсолютний приріст в одиницю часу.

Лінійна функція добре віддзеркалює тенденцію зміни явища при більш- менш сталих абсолютних приростах, тобто коли показники динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії.

Після встановлення типу тренду необхідно визначити значення параметрів трендового рівняння, виходячи з фактичних даних досліджуваного ряду динаміки. З цією метою використаємо метод найменших квадратів.

Згідно з умовою мінімізації суми квадратів відхилень фактичних рівнів від теоретичних, згладжених (), параметри лінійної функції визначаються розв’язанням системи двох нормальних рівнянь такого виду:

Рік	Прибуток, млн.грн.	Змінна часу t	t²	yt	Теоретичне значення,у
	2,4	-3		-7,2	2,085714
	2,8	-2		-5,6	2,942857
	3,5	-1		-3,5	3,8
	4,8				4,657143
	5,1			5,1	5,514286
	6,8			13,6	6,371429
	7,2			21,6	7,228572
Всього	32,6				32,600001

 

Систему рівнянь можна спростити, якщо відлік часу (t=0) перенести в середину ряду. У цьому випадку умовні значення t, розміщені вище середини, будуть від’ємними, а нижче - додатними. При непарній кількості показників в ряду (7), четвертий рівень вважається нульовим, і змінній t надаються значення з інтервалом одиниця: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; У кожному випадку , а система рівнянь приймає вигляд:

.

З першого рівняння знаходимо величину параметра : , а значення параметру - з другого рівняння: .

Визначимо параметри лінійного рівняння для наведеного вище:

а=	4,657143
в=	0,857143

Лінійний тренд має вигляд:

у=	4,657143+0,857143t

тобто середньорічний прибуток складав 4,657 млн.грн., з середньорічним приростом – 0,857 млн.грн. Розрахункові рівні випуску продукції в кожному місяці приведені в останній графі таблиці

 

 

Задачі по темі

"Індекси"

Задача 1.За даними таблиці про обсяги внесків іноземних інвесторів у статутні фонди СП визначити:

1) індивідуальні індекси середнього рівня внесків до СП та кількості СП;

2) загальні індекси середнього розміру внеску та кількості СП, загального потоку інвестицій у СП.

3) Розрахувати абсолютний розмір збільшення (зменшення) потоку інвестицій у СП за рахунок змін середнього розміру внеску у статутний капітал та зміни кількості СП.

Зробити перевірку. Результати проаналізувати.

№ п/п	Назва країни	Середній розмір внеску у статутний фонд СП, десяток тис.дол.	Кількість СП, одиниці
	Угорщина	4,45	1,46
	Польша	0,13	2,74
	Словакія	0,16	0,13
	Словенія	0,18	0,19
	Чехія	2,56	1,43
	Румунія	0,1	0,1
	Болгарія	0,08	0,01

 

Рішення:

№ п/п	Назва країни	Індивідуальний індекс середнього рівня внесків до СП	Індивідуальний індекс кількості СП	p0q0	p1q1	p0q1	p1q0
	Угорщина	0,328089888	0,95
	Польша	21,07692308	1,88		5151,2	244,4
	Словакія	0,8125	0,967741935	148,8			120,9
	Словенія	1,055555556	1,052631579				180,5
	Чехія	0,55859375	0,888888889
	Румунія		1,011904762
	Болгарія	0,125	0,933333333				7,5
	РАЗОМ			14101,8	10612,2	13260,4	8626,9

Індивідуальний індекс кількості одиниць характеризує відносну динаміку кількості будь-якої однорідної продукції в звітному періоді стосовно базового. Процедура розрахунку індивідуального індексу обсягу проста і формалізується в такому виді:

, де

- кількість одиниць в звітному і базовому періоді відповідно.

Аналогічно до індексу обсягу одиниць можна інтерпретувати індивідуальні індекси середнього рівня внесків до СП

_,

Загальний індекс кількість СП: ,

Так, визначений зведений індекс кількості СП свідчить, що в звітному періоді загальний потік інвестицій зменшився під впливом змін кількості СП на 6% або склав 94,03% від базового періоду . В абсолютному виразі за рахунок зміни кількості СП (13260,4–14101,8), загальний потік інвестицій зменшився на 841,4 тис. гривень.

 

Загальний індекс середнього розміру внеску: ,

Індекс показує зниження середнього розміру внеску в середньому на 20% або він дорівнюється 80,02%. Економічний зміст цього індексу зрозумілий: він показує, як змінився рівень середнього розміру внеску у звітному періоді. Такий підхід до розрахунку індексу дає можливість підрахувати той ефект, який маємо від зниження середнього розміру внеску в абсолютному вимірі. Дійсно, загальний потік інвестицій у СП в звітному періоді 10612,2 тис. гривень за фактичними даними; при тій же кількості СП, але за середнім розмірі внеску базисного періоду складає 13260,4 тис.грн. Тобто, економія склала 2648,2 тис.грн. (10612,2-13260,4).

 

загальний індекс середнього розміру внеску	загальний індекс кількості СП
0,800292601	0,940333858
загальний індекс потоку інвестицій у СП
0,752542229

 

Загальний індекс потоку інвестицій у СП:

Перевірка:

 

Задача 2.За даними таблиці, які характеризують виробництво деталі А обчислити:

1) індекс трудомісткості:

2) фіксованого складу;

3) змінного складу;

4) структурних зрушень;

5) визначити взаємозв’язок між обчисленими величинами.

Поясніть економічний зміст здобутих індексів.

Цехи	Трудоміскість, людиногодин	Обсяг виготовленої продукції, тис.шт.
базовий	звітний	базовий	звітний
	2,3	2,2	100,3
	2,7	2,9	70,4
	3,1			117,3

 

Рішення:

 

Цехи	Трудоміскість, людиногодин	Обсяг виготовленої продукції, тис.шт.	t0q1	t1q1	t0q0
базовий	звітний	базовий	звітний
	2,3	2,2	100,3		278,3	266,2	230,69
	2,7	2,9	70,4		205,2	220,4	190,08
	3,1			117,3	363,63	351,9	297,6
Разом	266,7	314,3	847,13	838,5	718,37
			Загальний індекс трудомісткості	101,0292
змін	p1q1	p0q0	838,5	718,37	2,667833	0,990452
	q1	q0	314,3	266,7	2,693551
структ	p0q1	p0q0	847,13	718,37	2,695291	1,000646
	q1	q0	314,3	266,7	2,693551
фікс	p1q1	p0q1	838,5	847,13	2,667833	0,989813
	q1	q1	314,3	314,3	2,695291
		перевірка	0,990452

 

Індекс змінного складу характеризує відносну зміну середнього рівня в цілому за рахунок обох факторів:

Індекс фіксованого складу характеризує зміну середнього рівня за рахунок лише значень ознаки, тобто варіант, не незмінної структури сукупності:

Індекс структурних зрушень характеризує зміну середнього рівня за рахунок змін, що відбулися у структурі сукупності.

 

Між індексами середніх величин існує такий взаємозв’язок:

 

Задача 3.Роздрібний товарообіг торгівельної організації у 2000 році склав 14607,0 тис.грн., а у 2001 році – 43821,7 тис. Грн.. За 2000 рік ціни зросли у 1,1 рази.

Визначіть

1) індекси товарообігу, індекс кількості проданого товару та індекс цін.

2) зменшення (збільшення) обсягу товарообігу за рахунок зміни цін та кількості проданих товарів.

3) перевірте правильність виконання розрахунків індексів.

 

Рішення.

Загальний індекс товарообігу:

Загальний індекс цін:

Виходячи із системи індексів загальний індекс товарообігу дорівнює загальний індекс цін помножить на загальний індекс кількості проданого товару: І_q= 2,73

Перевірка:

 

абс.різн.	3983,791