Совокупность разрядов, отведенных для представления двоичного числа, образует разрядную сетку ЭВМ. Количество разрядов в разрядной сетке называется длиной или разрядностью сетки. Обычно длина разрядной сетки совпадает с количеством разрядов ячейки ОЗУ и сумматора, составляющего основу АЛУ. В ЭВМ применяются 2 формы представления чисел – с фиксированной запятой (точкой) и с плавающей запятой (точкой). Запятая определяет границу между целой и дробной частями. Сопоставим эти формы по 2-м критериям:
1) диапазон представимых чисел
2) минимальное по модулю представимое число не = 0 (точность решения)
Сопоставление произведем на конкретном примере, когда длина разрядной сетки = 8. Сначала оценим эти характеристики для представления числа с фиксированной запятой. В этом случае для представления целой и дробной частей числа отводится строго определенное число разрядов. Пусть данном примере запятая фиксирована между 3-м и 4-м разрядами. Снизу проставлены веса разрядов.
8 7 6 5 4 3 2 1
Знак 23 22 21 20 , 2-1 2-2 2-3
Старший разряд отведен для представления знака, например, "+" кодируется 0, а "-" – 1. Тогда максимальное представимое число = 15б875(10), а диапазон представимых чисел определяется неравенством: -15,875(10) £ А(10) £ 15,875(10) . Очевидно, что минимальное по модулю представимое число А = 0,125. Рассмотрим вторую форму представления чисел в ЭВМ, в основе которой лежит экспоненциальная запись числа:
A(10) = mA(10)*10 PA (10) , где mA – мантисса числа А, РА – порядок числа А. Например, 45(10) = 0,45*102 = 4,5 * 101 = 450 * 10-1. В двоичной системе экспоненциальная запись числа имеет вид:
А(2) = mA(2) * 2PA(2). В этом случае любое число А характеризуется 2-мя числами mA и PA, которые и размещаются в пределах разрядной сетки ЭВМ. Оценим возможности этой формы представления для случая 8-разрядной сетки ЭВМ. Однако теперь в 8-ми разрядах сетки должны быть представлены 2 числа mA и PA. Причем каждый со своим знаком. Будем считать, что mA <1. Тогда максимальному по модулю представимому числу соответствует максимальное значение мантиссы 0,111(2) = 0,875(10) и максимальное значение порядка +111(2) = +7(10), то есть Аmax = 112(10). В результате получаем диапазон представимых чисел: -112(10) £ A(10) £ 112(10). Минимальное по модулю представимое число не равное 0, определяется минимальным по модулю значением мантиссы mAmin = 0,125(10)4. Min – значение порядка, равное – 7(10). В итоге получаем Amin = 0,125*2-7 = 1/1024 = 0,001.
8 7 6 5 4 3 2 1
Знак PA 22 21 20 , Знак mA,2-1 2-2 2-3
Сравнивая полученные характеристики 2-х форм представления чисел, приходим к выводу о преимуществе представления чисел с плавающей запятой. Однако реализация в ЭВМ этой формы более сложна. В современных ЭВМ представление с фиксированной запятой используется только для целых чисел, и арифметические действия над ними выполняются центральным процессором. Вещественные нецелые числа представляются в ЭВМ в форме с плавающей запятой, и арифметические действия над ними выполняются специальным процессором – сопроцессором.