Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. Если А - начало вектора и В - его конец, то вектор обозначается символом . Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней (например, ). Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце (рис. 24). Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора , то мы будем говорить, что вектор приложен в точке А.

Длина вектора называется его модулем и обозначается символом . Модуль вектора обозначается . Вектор , для которого , называется единичным

Вектор называется нулевым (обозначается ), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть и два свободных вектора (рис. 26, а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор = , затем от точки А отложим вектор = , Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается (рис. 26, б). Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом.

Отложим от точки О векторы = и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм О ABC Вектор , служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов (рис. 26, в). Из рис. 26, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:

.

 

Разностью и называется третий вектор , сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если ,.

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 28). Откладываем векторы

= и = из общей точки О. Вектор , соединяющий

концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью . Действительно, по правилу сложения векторов

, или .

произведением ( или ) на , называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную и то же направление, что и вектор , если > 0, и направление, противоположное направление < 0. Так, например, 2 есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину, вдвое большую, чем вектор . В случае, когда = 0 или , произведение представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на

Линейные комбинации векторов.

Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Линейная… Если , то . И наоборот, если вектор представлен в виде линейной комбинации…

Коллинеарность и компланарность векторов.

Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения: · Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются… · Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Свойства коллинеарности

· Коллинеарность — отношение эквивалентности, то есть оно: 1. рефлексивно: 2. симметрично:

Понятие базиса. Разложение вектора по базису.

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого…   Базисом в пространстве Rn называется любая система из n-линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rn, не входящих…

Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

Обычно используется одно из следующих обозначений: , ,

Скалярное произведение векторов в декартовых координатах.

То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить,…

Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения.

1) Его модуль равен где - угол между векторами и . 2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами … 3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для…

Векторное произведение векторов в декартовых координатах.

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения.

. Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей… Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами…

Объем пирамиды. Объем параллелепипеда.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах.

Геометрические свойства скалярного произведения двух векторов: 1) Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является… 2) Два ненулевых вектора и составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение…