Свойства.

1)

2)

3) для почти всех x

4)

Пример 1:Плотность распределения случайной величины Z имеетвид . Требуется найти: a) постоянную C; b) функцию распределения Z; с) .

Решение:

a) Воспользуемся свойством (2). Имеем . Получаем С=0,5.

b) Согласно определению . Таким образом,

если , то

если x>1, то

c)

Пример 2.Найти плотность распределения с.в. , если ξ имеет равномерное распределение на отрезке [-1,1].

Решение.Обозначим функцию распределения с.в. η как G(x), а плотность распределения – g(x)=G’(x). Согласно определению . Очевидно, что при x≤0 G(x) = 0. Если x>0, то , где F(x) – функция равномерного распределения на [-1,1], т.е.

Таким образом . Переходя к производной имеем

,

где f(x)=F’(x) – плотность распределения с.в. ξ, т.е. . Так как и следовательно , то . Рассмотрим возможные варианты:

а) Если , то . Следовательно g(x)=0 при x≥4

б) если , то . Следовательно при 0<x<4

в) невозможно, чтобы

Медиана распределения Me.Для непрерывной случайной величины ξ с функцией распределения F(x) медианой распределения Me называется следующая величина: , т.е. F(Me)=0,5

Мода распределения Mo называется точка максимума плотности распределения, если она существует.

Математическое ожиданиенепрерывной случайной величины ξ с плотностью распределения p(x)

, если интеграл сходится