Активный раздаточный материал

Математика 1 ФОЕНП

Кредит 1-ый семестр

Лекция № 9. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. 2012-2013 уч.г.

Определение. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция, у которой =N и ЕÌR.

Она обозначается символом , где , или короче, . Число , зависящее от n, называется n –ым членом последовательности. Расставив значения последовательности по порядку номеров, получаем, что последовательность можно отождествить со счётным набором действительных чисел, т. е.

.

Примеры:а) Последовательность являет ся постоянной и состоит из равных чисел (единиц): ; б) . Для неё в) г) .

Определение. Число а, называется пределом последовательности , если для любого числа найдётся число , что все числа , у которых , удовлетворяют неравенству .

Соответствующее обозначение .

.

Геометрически определение предела последовательности означает следующее: для сколь угодно малой -окрестности числа анайдется такой номер N, что все члены последовательности с большими, чем N, номерами попадают в эту окрестность, вне окрестности оказывается лишь конечное число начальных членов последовательности (рис. 9.2). Это все или некоторые из членов.

x₁ x₂ x_N+1 a x_N+2 x_N x₃

Определение. Число А называется пределом функции при , если . (Обозначается ).

Первый замечательный предел .

Пример..

Второй замечательный предел

.

Здесь е»2,718282… – иррациональное число.

Пример. Вычислим предел