Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления используется конечное число

R уникальных символов. Величину R часто называют основанием сис-

темы счисления. В позиционной системе количество представляется

как самими символами, так и их позицией в записи числа.

Система счисления с основанием десять, или десятичная систе-

ма является позиционной. Рассмотрим, например, число 1303. Его

можно представить в виде:

1*10^3 + 3*10^2 + 0*10^1 + 3*10^0.

(Здесь и далее символ ^ используется как знак операции воз-

ведения в степень).

В позиционной системе могут быть представлены и дробные

числа. Например, одна четвертая записывается в виде 0.25, что

интерпретируется как

2*10^(-1) + 5*10^(-2).

Другой пример позиционной системы счисления - двоичная сис-

тема. Двоичное число 11001.101 представляет то же самое количест-

во, что и десятичное число 26.625. Разложение данного двоичного

числа в соответствии с его позиционным представлением следующее:

1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^(-1) + 0*2^(-2) + 1*2^(-3)=

16 + 8 + 1 + 0.5 + 0.125 = 26.625.

Наиболее часто встречаются системы счисления имеющие основа-

ние 2,8,10 и 16, которые обычно называют двоичной, восьмеричной,

десятичной и шестнадцатеричной системами, соответственно. Вся вы-

числительная техника работает в двоичной системе счисления, так

как базовые элементы вычислительной техники имеют два устойчивых

состояния. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы используются

для удобства работы с большими двоичными числами.

1.3.3. Изображение чисел в позиционной системе счисления

Изображение чисел в любой позиционной системе счисления с

натуральным основанием R (R >1) базируется на представлении их в

виде произведения целочисленной степени m основания R на полином

от этого основания :

n

Ar = R^m * СУММА (a[i]*R^(-i)) , (1.1)

i=1

где: a[i] { 0,1,..., R-1 } - цифры R - ичной системы счисления ;

n - количество разрядов (разрядность), используемых для

представления числа;

R - основание системы счисления;

m {..., -2, -1, 0,+1,+2,...} - порядок числа;

R^(-i) - позиционный вес i - того разряда числа.

Так в десятичной (R=10) системе для представления чисел ис-

пользуются цифры a=(0,1,...9); в двоичной (R=2) - a=(0,1), в

шестнадцатеричной (R=16), a=(0,1....9,A,B,C,D,E,F) где прописные

латинские буквы A..F эквивалентны соответственно числам 10..15 в

десятичной системе. Например,

1) 815=10^3*(8*10^(-1)+1*10^(-2)+5*10(-3))=8*10^2+1*10^1+5*10^0;

2) 8.15=10^1*(8*10^(-1)+1*10^(-2)+5*10^(-3))=

8*10^0+1*10^(-1)+5*10^(-2);

3) 0.0815= 10^(-1)*(8*10^(-1)+1*10^(-2)+5*10^(-3))=

8*10^(-2)+1*10^(-3)+5*10^(-4);