Вещественные типы

В отличии от порядковых типов (все целые, символьный, логи-

ческий), значения которых всегда сопоставляются с рядом целых чи-

сел и, следовательно, представляются в памяти машины абсолютно

точно, значение вещественных типов определяет число лишь с неко-

торой конечной точностью, зависящей от внутреннего формата ве-

щественного числа.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В ПАМЯТИ В некоторых об-

ластях вычислений требуются очень большие или весьма малые дейс-

твительные числа. Для получения большей точности применяют запись

чисел с плавающей точкой. Запись числа в формате с плавающей точ-

кой является весьма эффективным средством представления очень

больших и весьма малых вещественных чисел при условии, что они

содержат ограниченное число значащих цифр, и, следовательно, не

все вещественные числа могут быть представлены в памяти. Обычно

число используемых при вычислениях значащих цифр таково, что для

большинства задач ошибки округления пренебрежимо малы.

Формат для представления чисел с плавающей точкой содержит

одно или два поля фиксированной длины для знаков. Количество по-

зиций для значащих цифр различно в разных ЭВМ, но существует, тем

не менее, общий формат, приведенный на рисунке 2.5 а). В соот-

ветствии с этой записью формат вещественного числа содержит в об-

щем случае поля мантиссы, порядка и знаков мантиссы и порядка.

┌───────────┬─────────┬──────────────┬──────────┐

│ знак числа│ порядок │ знак порядка │ мантисса │

└───────────┴─────────┴──────────────┴──────────┘

а) с порядком

┌────────────┬────────────────┬──────────┐

│ знак числа │ характеристика │ мантисса │

└────────────┴────────────────┴──────────┘

б) с характеристикой

Рис. 2.5. Формат представления вещественных чисел

Однако, чаще вместо порядка используется характеристика, по-

лучающаяся прибавлением к порядку такого смещения, чтобы характе-

ристика была всегда положительный. При этом имеет место формат

представления вещественных чисел такой, как на рис 2.5 б).

Введение характеристики избавляет от необходимости выделять

один бит для знака порядка и упрощает выполнение операций сравне-

ния (<,>,<=,>=) и арифметических операций над вещественными чис-

лами. Так, при сложении или вычитании чисел с плавающей точкой

для того, чтобы выровнять операнды, требуется сдвиг влево или

вправо мантиссы числа. Сдвиг можно осуществить с помощью единс-

твенного счетчика, в который сначала заносится положительное чис-

ло, уменьшающееся затем до тех пор, пока не будет выполнено тре-

буемое число сдвигов.

Таким образом, для представления вещественных чисел в памяти

ЭВМ порядок p вещественного числа представляется в виде характе-

ристики путем добавления смещения (старшего бита порядка):

Х = 2^(n-1) + k + p, (2.1)

где n - число бит, отведенных для характеристики,

p - порядок числа,

k - поправочный коэффициент фирмы IBM, равный +1 для real

и -1 для форматов single, double, extended.

Формулы для вычисления характеристики и количество бит, не-

обходимых для ее хранения, приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

┌────────────┬─────────────────────────┬────────────────────┐

│ Тип │ Характеристика │Кол-во бит на хар-ку│

├────────────┼─────────────────────────┼────────────────────┤

│ real │ x = 2^7 + p + 1 │ 8 │

│ single │ x = 2^7 + p - 1 │ 8 │

│ double │ x = 2^10 + p - 1 │ 11 │

│ extended │ x = 2^14 + p - 1 │ 15 │

└────────────┴─────────────────────────┴────────────────────┘

Следующим компонентом представляемого в машине числа с пла-

вающей точкой является мантисса. Для увеличения количества знача-

щих цифр в представлении числа и исключения переполнения при ум-

ножении мантиссу обычно подвергают нормализации. Нормализация оз-

начает, что мантисса (назовем ее F), кроме случая, когда F=0,

должна находиться в интервале

R^(-1) <= F < 1.

Для двоичной системы счисления R=2. Тогда в связи с тем, что

2^(-1) <= F < 1, ненулевая мантисса любого хранимого числа с пла-

вающей точкой должна начинаться с двоичной единицы. В этом и за-

ключается одно из достоинств двоичной формы представления числа

с плавающей точкой. Поскольку процесс нормализации создает дробь,

первый бит которой равен 1, в структуре некоторых машин эта еди-

ница учитывается, однако не записывается в мантиссу. Эту единицу

часто называют скрытой единицей, а получающийся дополнительный

бит используют для увеличения точности представления чисел или их

диапазона.

Приведенный метод нормализации является классическим мето-

дом, при котором результат нормализации представляется в виде

правильной дроби, т.е. с единицей после точки и нулем в целой

части числа. Но нормализацию мантиссы можно выполнить по разному.

В IBM PC нормализованная мантисса содержит свой старший бит

слева от точки. Иными словами нормализованная мантисса в IBM PC

принадлежит интервалу 1 <= F < 2. В памяти машины для данных типа

real, single, double этот бит не хранится, т.е. является "скры-

тым" и используется для увеличения порядка в форматах single или

для хранения знака в формате real. Для положительных и отрица-

тельных чисел нормализованная мантисса в памяти представлена в

прямом коде.

Первый, старший, бит в представлении чисел в формате с пла-

вающей точкой является знаковым, и по принятому соглашению нуль

обозначает положительное число, а единица - отрицательное.

Число бит для хранения мантиссы и порядка зависит от типа

вещественного числа. Суммарное количество байтов, диапазоны до-

пустимых значений чисел вещественных типов, а также количество

значащих цифр после запятой в представлении чисел приведены в

таблице 2.3.

Таблица 2.3

┌──────────┬──────────────────────────────┬──────────┬──────────┐

│ Тип │ Диапазон значений │ Значащие │ Размер в │

│ │ │ цифры │ байтах │

├──────────┼──────────────────────────────┼──────────┼──────────┤

│ real │ 2.9*10^(-39)...1.7*10^38 │ 11-12 │ 6 │

│ single │ 1.4*10^(-45)...3.4*10^38 │ 7-8 │ 4 │

│ double │ 4.9*10^(-324)...1.8*10^308 │ 15-16 │ 8 │

│ extended │ 3.1*10^(-4944)...1.2*10^4932 │ 19-20 │ 10 │

└──────────┴──────────────────────────────┴──────────┴──────────┘

АЛГОРИТМ ФОРМИРОВАНИЯ МАШИННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННОГО

ЧИСЛА В ПАМЯТИ ЭВМ.

Алгоритм формирования состоит из следующих пунктов:

1). Число представляется в двоичном коде.

2). Двоичное число нормализуется. При этом для чисел, больших

единицы, плавающая точка переносится влево, определяя положитель-

ный порядок. Для чисел, меньших единицы, точка переносится впра-

во, определяя отрицательный порядок.

3). По формуле из таблицы 2.2 с учетом типа вещественного числа

определяется характеристика.

4). В отведенное в памяти поле в соответствии с типом числа запи-

сываются мантисса, характеристика и знак числа. При этом необхо-

димо отметить следующее:

- для чисел типа real характеристика хранится в младшем байте па-

мяти, для чисел типа single, double, extended - в старших байтах;

- знак числа находится всегда в старшем бите старшего байта;

- мантисса всегда хранится в прямом коде;

- целая часть мантиссы (для нормализованного числа всегда 1) для

чисел типа real, single, double не хранится (является скрытой). В

числах типа extended все разряды мантиссы хранятся в памяти ЭВМ.

МАШИННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ ТИПА REAL. Формат машинного

представления данных типа REAL следующий:

мл. байт ст. байт

а: 7 0 15 8 23 16 31 24 39 32 47 40

x....x м....м м....м м....м м....м sм...м

б: 7 0 -32 -39 -24 -31 -16 -23 -8 -15 -1 -7

где а - номера разрядов памяти,

б - показатели степеней разрядов характеристики и мантиссы,

s - знаковый разряд числа,

м - нормализованная мантисса,

х - характеристика числа.

Например: 1). Десятичное число 15.375;

в двоичной системе счисления 1111.011;

результат нормализации 1.111011*2^3; р=3.

Учитывая отбрасывание неявной единицы и сдвиг порядка, полу-

чаем: s=0; х=2^7+1+3=2^7+2^2=132;

в двоичной системе счисления х=10000100; м=1110110...0;

машинное представление числа:

10000100 00000000 00000000 00000000 00000000 01110110

2). Десятичное число -0.5;

аналогичные выкладки дают: нормализованную мантиссу: 1.00...0;

машинное представление числа:

10000000 00000000 00000000 00000000 00000000 10000000

3). Десятичное число -25.75;

аналогично: нормализованная мантисса: 1.10011100...0;

машинное представление числа:

10000101 00000000 00000000 00000000 00000000 11001110

4). Число 0.0;

Машинное представление числа:

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

5). Числа верхней и нижней границ положительного диапазона

~1.7*10^38 -

11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 01111111

~2.9*10^(-35) -

00000001 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

МАШИННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ ТИПА SINGLE. Формат машинного

представления данных типа SINGLE следующий:

мл. байт ст. байт

7 0 15 8 23 22 16 31 30 24 - номера разрядов памяти

м....м м....м х м...м s х...х

-16 -23 -8 -15 0 -1 -7 7 1 - показатели степеней разрядов

мантиссы и характеристики

где s - знаковый разряд,

х - характеристика числа,

м - нормализованная мантисса.

Например: 1). Число -15.375;

в двоичной системе счисления -1111.011;

нормализованное двоичное число -1.111011*2^3; р=3.

Учитывая отбрасывание неявной единицы и сдвиг порядка, полу-

чаем: s=1; х=2^7-1+3=2^7+2^1=130;

в двоичной системе счисления х=10000010; м=1110110...0;

машинное представление числа в формате SINGLE:

00000000 00000000 01110110 11000001

2). Число -0.1875;

в двоичной системе счисления -0.0011;

нормализованное двоичное число -1.1*2^(-3); р=-3.

Учитывая отбрасывание неявной единицы и сдвиг порядка, полу-

чаем: s=1; х=2^7-1-3=2^7-2^2;

в двоичной системе счисления х=01111100; м=100...0;

машинное представление числа в формате SINGLE:

00000000 00000000 01000000 10111110

3). Десятичное число 4.5;

аналогичные выкладки дают нормализованную мантиссу: 1.00100...0;

машинное представление числа:

00000000 00000000 10010000 01000000

4). Значения верхней и нижней границ чисел отрицательного

диапазона

~-3.4*10^38 - 11111111 11111111 01111111 11111111

~-.4*10^(-45) - 00000001 00000000 00000000 10000000

МАШИННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ ТИПА DOUBLE. 1 0Формат машинного

представления данных типа DOUBLE следующий:

мл.байт ст.байт

7 0 15 8 23 16 31 24 39 32 47 40 55 52 51 48 63 56

м...м м...м м...м м...м м...м м...м х..х м...м s x..x

-44 -50 -37 -43 -29 -36 -21 -28 -13 -20 -5 -12 3 0 -1 -4 10 4

где верхняя строка цифр от 0 до 63 - номера разрядов памяти;

нижняя строка цифр от -50 до -1 - показатели степеней разрядов

мантиссы; от 0 до 10 - разрядов характеристики;

s - знаковый разряд числа;

м - нормализованная мантисса;

х - характеристика числа (x=2^10-1+p, где p - порядок норма-

лизованного числа).

Например, 1). Число 15.375;

в двоичной системе счисления 1111.011;

результат нормализации 1.111011*2^3; р=3.

Учитывая отбрасывание скрытой единицы и сдвиг порядка, полу-

чаем: s=0; x=2^10-1+3=2^10+2^1=1026;

в двоичной системе счисления х=10000000010; m=1110110...0;

машинное представление числа в формате DOUBLE:

0 00000000 00000000 00000000 00000000 31

32 00000000 11000000 00101110 01000000 63

2). Десятичное число 0.0375;

в двоичной системе счисления 0.011;

результат нормализации 1.1*2^(-2); р=-2.

Учитывая отбрасывание скрытой единицы и сдвиг порядка, полу-

чаем: s=0; x=2^10-2^1-2^0=2^10-3;

в двоичной системе счисления х=01111111101; m=100...0;

машинное представление числа в формате DOUBLE:

0 00000000 00000000 00000000 00000000 31

32 00000000 00000000 11011000 00111111 63

3). Десятичное число 2.5;

аналогичные выкладки дают нормализованную мантиссу: 1.0100...0;

машинное представление числа 2.5:

00000000 00000000 00000000 00000000

00000000 00000000 00000100 01000000

4). Значения верхней и нижней границ диапазона положительных

чисел:

~1.8*10^308 - 11111111 11111111 11111111 11111111

11111111 11111111 11101111 01111111

~4.9*10^(-324) - 00000001 00000000 00000000 00000000

00000000 00000000 00000000 00000000

Символ ~ обозначает приближенное значение числа.

МАШИННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ ТИПА EXTENDED. Формат машинно-

го представления данных типа EXTENDED следующий:

мл.байт ст. байт

7 0 15 8 23 16 31 24 39 32 47 40 55 48 63 56 71 64 79 72

м..м м..м м..м м..м м..м м..м м..м м..м х..х sх..х

-56-63-48-55-40-47-32-39-24-31-16-23-8 -15 0 -7 7 0 14 8

где верхняя строка цифр - номера разрядов памяти;

нижняя строка цифр - показатели степеней разрядов мантиссы и

характеристики;

s - знаковый разряд числа;

м - нормализованная мантисса;

х - характеристика числа.

Например: 1). Число -15.375;

в двоичной системе счисления -1111.011;

после нормализации -1.111011*2^3; р=3.

Учитывая присутствие скрытой единицы и сдвиг порядка, получа-

ем: s=1; х=2^14-1+3=2^14+2^1=16386;

в двоичной системе счисления х=100000000000010; м=11110110...0

(в мантиссе единица стоящая слева от запятой не отбрасывается).

Машинное представление данного числа в формате EXTENDED:

0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 11110110 00000010 11000000

2). Число 1.0;

аналогичные выкладки дают

нормализованную мантиссу: 1.0...0;

машинное представление числа 1.0:

0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 10000000 11111111 00111111

3). Значения верхней и нижней границ диапазона положительных

чисел (символом * помечены разряды, значения которых при данной

характеристике не идентифицируются т. е. их значения не влияют на

значение мантиссы):

~1.2*10^4932 - ******** ******** 11111111 11111111 11111111

11111111 11111111 11111111 11111111 011111111

~3.1*10^4944 - ******** ******** 00000001 00000000 000000000

00000000 00000000 00000000 00000001 000000000