Матричный метод нахождения путей в графах

Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Возведем матрицу смежности в квадрат по правилам математики. Каждый элемент матрицы А² определяется по формуле

a⁽²⁾ _ik= ⁿ _j=1a_ija_jk

Слагаемое в формуле равно 1 тогда и только тогда, когда оба числа a_ij и a_jk равны 1, в противном случае оно равно 0. Поскольку из равенства a_ij = a_jk = 1следует существование пути длины 2 из вершины x_i в вершину х_k , проходящего через вершину x_j , то ( i -й, k -й) элемент матрицы А² равен числу путей длины 2, идущих из x_i в х_k .

На таблице 4.1a представлена матрица смежности графа, изображенного на рис. 4.2. Результат возведения матрицы смежности в квадрат А² показан на таблице 4.1б.

Таблица 4.1а.     X1 X2 X3 X4 X5 X6   X1   X2 A= X3   X4   X5   X6	Таблица 4.1б.     X1 X2 X3 X4 X5 X6   X1   X2 A2= X3   X4   X5   X6
Таблица 4.1в.     X1 X2 X3 X4 X5 X6   X1   X2 A3= X3   X4   X5   X6	Таблица 4.1г.     X1 X2 X3 X4 X5 X6   X1   X2 A4= X3   X4   X5   X6

Так "1", стоящая на пересечении второй строки и четвертого столбца, говорит о существовании одного пути длиной 2 из вершины х₂ к вершине х₄ . Действительно, как видим в графе на рис. 4.2, существует такой путь: a₆, a₅ . "2" в матрице A2 говорит о существовании двух путей длиной 2 от вершины х₃ к вершине х₆ : a₈, a₄ и a₁0, a₃ .

Аналогично для матрицы смежности, возведенной в третью степень A3 (таблица 4.1в), a ⁽³⁾ _ik равно числу путей длиной 3, идущих от x_i к х_k . Из четвертой строки матрицы A3 видно, что пути длиной 3 существуют: один из х₄ в х₄(a₉, a₈, a₅), один из х₄ в х₅(a₉, a₁₀, a₆) и два пути из х₄ в х₆(a₉, a₁₀, a₃ и a₉, a₈, a₄). Матрица A₄ показывает существование путей длиной 4 (таблица 4.1г).

Таким образом, если a ^р _ik является элементом матрицы A^р ,то a ^р _ik равно числу путей (не обязательно орцепей или простых орцепей) длины р, идущих от x_i к х_k .