Логічна структура, визначення

 

Граф - це складна нелінійна багатозв’язна динамічна структура, що відображає властивості і зв'язки складного об'єкта і має наступні властивості:

- на кожен елемент (вузол, вершину) може бути довільна кількість посилань;

- кожен елемент може мати зв'язок з будь-якою кількістю інших елементів;

- кожне зв'язування (ребро, дуга) може мати напрямок і вагу.

У вузлах графа утримується інформація про елементи об'єкта. Зв'язки між вузлами задаються ребрами графа. Ребра можуть мати спрямованість, показувану стрілками, тоді вони називаються орієнтованими. Коли ребра без стрілок - неорієнтовані. Граф, усі зв'язки якого орієнтовані, називається орієнтованимграфом або орграфом; граф із усіма неорієнтованими зв'язками - неорієнтованим графом; граф зі зв'язками обох типів - змішаним графом. Позначення зв'язків: неорієнтованих - (A,B), орієнтованих - <A,B>.

Приклади зображень графів дані на рис.7.5. Скобкове представлення графів: а). (<A,B>,<B,A>) та б). ((A,B),(B,A)).

Рис.7.5. Зображення графа

а) – орієнтований,

б) - неорієнтований

 

Для орієнтованого графа число ребер, що входять у вузол, називається напівступенем заходу вузла, що виходять з вузла - ступенем виходу. Кількість вхідних і вихідних ребер може бути будь-яким, у тому числі і нульовим. Граф без ребер є нуль-графом. Якщо ребрам графа відповідають деякі значення, то граф і ребра називаються зваженими. Мультиграфом називається граф, що має паралельні ребра (що з'єднують ті самі вершини), у противному випадку граф називається простим.

Шлях у графі - це послідовність вузлів, зв'язаних ребрами. Елементарним називається шлях, у якому всі ребра різні, простим називається шлях, у якому усі вершини різні. Шлях від вузла до самого себе називається циклом, а граф, що містить такі шляхи - циклічним. Два вузли графа суміжні, якщо існує шлях від одного з них до іншого. Вузол називається інцидентним до ребра, якщо він є його вершиною, тобто ребро спрямоване до цього вузла. Логічно структура графа може бути представлена матрицею суміжності або матрицею інцидентності.

Матрицею суміжності для n вузлів називається квадратна матриця adj порядку n. Елемент матриці a(i,j) дорівнює 1, якщо вузол j суміжний з вузлом i (є шлях <i,j>), і 0 - у противному випадку. Якщо граф неорієнтований, то a(і,j)=a(j,і), як наслідок, матриця суміжності буде симетрична щодо головної діагоналі.

Матриці суміжності використовуються при побудові матриць шляхів, що дають представлення про граф по довжині шляху: шлях довжиною в 1 - суміжну ділянку <A,B>, шлях довжиною 2 - (<A,B>,<B,C>), ... у n суміжних ділянок: де n - максимальна довжина, що дорівнює числу вузлів графа.

На рис. 7.7 дані шляхові матриці шляху adj1, adj2, adj3, adj4 для графа рис. 7.6.

 

Рис.7.6. Граф

	(A)(B)(C)(D)		(A)(B)(C)(D)		(A)(B)(C)(D)		(A)(B)(C)(D)
(A) (B) (C) (D)	0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0	(A) (B) (C) (D)	0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1	(A) (B) (C) (D)	1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1	(A) (B) (C) (D)	1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1

adj1 adj2 adj3 adj4

Рис.7.7. Матриці шляхів

 

На рис. 7.8 показана матриця інцидентності для графа рис. 7.5.

 

Вузли/номера зв'язків 1 2

A B -

B C D

C D -

D A C

 

Рис.7.8. Матриця інцидентності

 

Матриці інцидентності використовуються тільки для орграфів. У кожнім рядку записується упорядкована послідовність імен вузлів, з якими даний вузол зв'язаний ориєнтованими (вихідними) ребрами.