ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

 

 

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

 

 

Методические указания
к самостоятельной работе по курсу

«Информатика»

для заочной формы обучения.

 

Общие сведения

В настоящих методических указаниях приведены краткие сведения по пяти темам, охватывающим в целом тему «Методы планирования и обработки экспериментов». Изложены полный и дробный факторные эксперименты. В конце каждой темы приведены вопросы для самоконтроля. В конце методических указаний дается список литературы. В доступной для студентов форме рассматривается суть метода планирования эксперимента, что позволит студентам самостоятельно изучать теоретический материал по данному курсу.

Данные методические указания предназначены для студентов заочного обучения при самостоятельном изучении теоретического материала по курсу «Методы планирования и обработки экспериментов».

ТЕМА 1. ПАРАМЕТР ОПТИМИЗАЦИИ

Краткие сведения

Виды параметров оптимизации

При традиционном, не математическом, подходе исследователь стремится как-то учесть разные аспекты, взвесить их и принять согласованное решение о… В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть… Чтобы ориентироваться в этом многообразии при выборе параметров, ввёдем некоторую классификацию. Наша задача –…

Требования к параметру оптимизации

Уметь измерять параметр оптимизации – это значит располагать подходящим прибором. В ряде случаев такого прибора может не существовать или он слишком… Ранг – это количественная оценка параметра оптимизации, но она носит условный… Другие примеры рангового подхода: определение чемпиона мира по фигурному катанию или гимнастике, дегустация вин,…

Выводы

Параметр оптимизации – это реакция (отклик) на воздействие факторов, которые определяют поведение изучаемой системы. Параметры оптимизации бывают экономическими, технико-экономическими, технико-технологическими, статистическими, психологическими и т.д.

Параметр оптимизации должен быть:

1) эффективным с точки зрения достижения цели;

2) универсальным;

3) количественным и выражаться одним числом;

4) статистически эффективным;

5) имеющим физический смысл, простым и легко вычисляемым;

6) существующим для всех различных состояний.

В тех случаях, когда возникают трудности с количественной оценкой параметров оптимизации, приходится обращаться к ранговому подходу. В ходе исследования могут меняться априорные представления об объекте исследования, что приводит к последовательному подходу при выборе па-

 

раметра оптимизации.

Из многих параметров, характеризующих объект исследования, только один, часто обобщенный, может служить параметром оптимизации. Остальные рассматриваются как ограничения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что называется параметром оптимизации?

2. Назовите виды параметров оптимизации.

3. Какие требования предъявляются к параметру оптимизации?

ТЕМА 2. ФАКТОРЫ

Краткие сведения

 

Определение фактора

Число различных состояний объекта определяется по формуле: , где N- число различных состояний;

Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента

Чтобы точно определить фактор, необходимо указать последовательность действий (операций), с помощью которых устанавливаются его конкретные значения… С операциональным определением связаны выбор размерности фактора и точность… Точность замера факторов должна быть как можно более высокой. Степень точности определяется диапазоном изменения…

Требования к совокупности факторов

Несовместимость факторов может наблюдаться на границах областей их определения. Избавиться от нее можно сокращением областей. Положение усложняется,… При планировании эксперимента важна независимость факторов, т.е. возможность…  

Области применения планирования эксперимента

 

Выводы

Итак, установлено, что факторы – это переменные во времени, соответствующие способам воздействия внешней среды на объект. Они определяют как сам объект, так и его состояние. Требования к факторам: управляемость и однозначность. Управляемость фактором – это значит установить нужное значение и поддерживать его постоянным в течении опыта или менять по заданной программе. В этом состоит особенность «активного» эксперимента. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

Факторы должны непосредственно воздействовать на объект исследования. Трудно управлять фактором, если он является функцией других переменных, но в планировании эксперимента могут участвовать сложные факторы, такие как логарифмы, соотношения и т.д. Факторы должны быть определены операционально.

Требования к совокупности факторов: совместимость и отсутствие линейной корреляции. Выбранное множество факторов должно быть достаточно полным. Если какой-либо существенный фактор пропущен, это приведёт к неправильному определению оптимальных условий или к большой ошибке опыта. Факторы могут быть количественными и качественными.

Точность фиксации факторов должна быть высокая. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов.

Выбор факторов очень ответственный этап при подготовке к планированию эксперимента. От удачного выбора факторов зависит успех оптимизации.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что называется фактором?

2. Какие требования предъявляются к факторам при планировании эксперимента?

3. Какие требования предъявляются к совокупности факторов?

4. Назовите виды факторов.

ТЕМА 3. ВЫБОР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Краткие сведения

 

Основные определения

. Выбрать модель – значит выбрать вид этой функции, записать её уравнение. Тогда… Для решения этого вопроса построим сначала геометрический аналог функции отклика – поверхность отклика. Будем для…

Шаговый принцип

О свойствах поверхности отклика принимают следующие предположения. Главное – это непрерывность поверхности, её гладкость и наличие единственного… На рис.4 приводятся два случая, изображающие функции отклика для одного… Рассматривая рисунки 4 а и 4 б можно заметить, что в случае «а» нет нарушений в принятых предпосылках, т.е. здесь…

Полиномиальные модели

Модель должна хорошо предсказывать направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называется направлением градиента.… Вопрос в том, как выбрать подобласть в факторном пространстве, чтобы линейная… На следующем этапе находится линейная модель уже в другой подобласти. Цикл повторяется до тех пор, пока движение по…

Выводы

Итак, выбрана модель, которая будет систематически использоваться на первом этапе планирования эксперимента. Это алгебраический полином первой степени – линейная модель. Чтобы произвести такой выбор, понадобилось научиться изображать поверхность отклика в факторном пространстве, задаваемом прямоугольными Декартовыми координатами, по осям которых откладываются в некотором масштабе значения (уровни) факторов и значения параметра оптимизации. Поверхность отклика задана только в совместной области определения факторов. В этой области каждому возможному набору значений факторов (состоянию объекта) соответствует единственное значение параметра оптимизации. Для уменьшения размерности факторного пространства при геометрическом построении поверхности отклика можно использовать сечения.

Установлено, что математическая модель требуется для предсказания направления градиента, т.е. направления, в котором величина параметра оптимизации улучшается быстрее, чем в любом другом направлении. Такая модель позволяет избежать полного перебора состояний объекта и тем самым уменьшить количество опытов, необходимых для отыскания оптимума.

Отказ от полного перебора требует оплаты в виде предположений о свойствах поверхности отклика, которые невозможно проверить. Такие предположения выбираются по-разному. Например, можно выбрать предположения об аналитичности функции отклика и о единственности оптимума. Аналитической называется такая функция, которую можно разложить в степенной ряд в окрестностях любой точки из области её определения.

Используя эти предпосылки, можно предложить процедуру поиска оптимума, основанную на шаговом принципе. Суть принципа: проводят короткие серии опытов, по их результатам строят математическую модель, которую используют для оценки градиента, ставят новые опыты только в этом направлении. Получается циклический процесс, который заканчивается при попадании в область, близкую к оптимуму («почти стационарную» область).

Для выбора конкретной модели необходимо сформулировать конкретные требования: адекватность и простоту. Под адекватностью понимается способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью. После реализации опытов проверяется адекватность модели. Требование простоты заключается в том, что в качестве модели принимаются алгебраические полиномы, которые считаются самыми простыми. На основе накопленного исследователями опыта такие модели удовлетворяют экспериментатора. Кроме того, полином линеен относительно неизвестных коэффициентов, что упрощает обработку результатов.

После выбора класса моделей выбирают степень полинома и подобласть, в которой надо начинать эксперимент. Эти выборы связаны между собой. Однако важно, что возможен такой выбор области, при котором линейная модель окажется адекватной. Этого достаточно, чтобы оценить градиент.

Следует сказать и о задаче построения интерполяционных моделей, которые используют для предсказания откликов во всей области. Область фиксируется заранее. Необходимо последовательно повышать степень полинома, пока не найдётся адекватная модель.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что понимается под математической моделью?

2. В чем суть шагового принципа?

3. Как выбрать модель?

4. Назовите виды полиномиальных моделей.

 

ТЕМА 4. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Краткие сведения

 

Принятие решений перед планированием эксперимента

При выборе области эксперимента должны учитываться следующие ограничения. Прежде всего, необходимо оценить границы областей определения факторов.… Оптимизация начинается в условиях, когда объект уже подвергается некоторым… Выбор основного уровня.Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной информации, соответствует комбинация (или…

Полный факторный эксперимент

  4.3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2k Полный факторный эксперимент типа 2k обладает свойствами симметричности, нормировки, ортогональности, ротатабельности…

Выводы

Полный факторный эксперимент позволяет получить при минимальном количестве опытов оптимальное решение.

В полном факторном эксперименте разность между числом опытов и числом коэффициентов велика. Возникает проблема уменьшения числа опытов. Этот вопрос может быть разрешен путем применения дробного факторного эксперимента.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Какие решения принимаются перед планированием эксперимента?

2. Полный факторный эксперимент и его основные этапы.

3. Какими свойствами должен обладать полный факторный эксперимент типа 2^k?

4. Какая существует связь между полным факторным экспериментом и математической моделью?

 

ТЕМА 5. ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Краткие сведения

Дробные реплики

5.2. Минимизация числа опытов Для построения дробных планов (реплик) используют матрицы полного факторного эксперимента. Дробные планы создают…

Список литературы

1. Горев В.В. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций. – М.: Высшая школа, 2002. – 206 с.

2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1965.- 283 с.

Содержание

Общие сведения...............................................................................................
1. Тема 1.Параметр оптимизации......................................................................
2. Тема 2. Факторы..............................................................................................
3. Тема 3. Выбор математической модели.......................................................
4. Тема 4. Полный факторный эксперимент.....................................................
5. Тема 5. Дробный факторный эксперимент................................................
Список литературы.............................................................................................