В целях изучения стажа рабочих одного из цехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:
Таблица 3.1
| Стаж рабочих, лет | Число рабочих, чел |
| До 5 От 5 до 10 От 10 до 15 От 15 до 20 От 20 до 25 Свыше 25 | |
| Итого |
На основании этих данных вычислите:
Средний стаж рабочих цеха.
Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.
Коэффициент вариации.
С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.
С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.
Сделайте выводы.
Решение:
Для вычисления средней величины в каждой группе определяем серединное значение (середину интервала), после чего определяем средний стаж рабочих цеха по формуле средней арифметической взвешенной.
В закрытом интервале серединное значение определяем как полусумму верхней и нижней границ, открытые интервалы приравниваются к рядом стоящим. Кроме того, для расчёта дисперсии последовательно определяем отклонение каждой группы от средней, квадрат отклонения и произведение квадрата отклонения на число работников в группе. Расчёт производим в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Расчет среднего квадратического отклонения
| Стаж рабочих, лет | Число рабочих, чел. f | х | xf | ( )2 | ( )2 f | |
| До 5 | 2,5 | 12,5 | -13,25 | 175,563 | 877,813 | |
| 5-10 | 7,5 | -8,25 | 68,0625 | 680,625 | ||
| 10-15 | 12,5 | 437,5 | -3,25 | 10,5625 | 369,688 | |
| 15-20 | 17,5 | 437,5 | 1,75 | 3,0625 | 76,5625 | |
| 20-25 | 22,5 | 337,5 | 6,75 | 45,5625 | 683,438 | |
| св. 25 | 27,5 | 11,75 | 138,063 | 1380,63 | ||
| Итого: | - | - | - | 4068,75 |
Определим средний стаж рабочих цеха:
= = = 15,75 лет.
Определим среднее квадратическое отклонение:
σ = = 6,379 лет.
Дисперсия признака σ2 = = 40,688 лет.
Определим коэффициент вариации
V = %
Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.
Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения определяется по формуле:
Δх = t
При = 3μ и p = w 3μ степень вероятности повышается до 0,997.
Таким образом:
t = 3
σ2= 40,688 - дисперсия признака;
n = 15,75 - средний стаж рабочих цеха;
- это 10%-ная механическая выборка.
Δх = t
Доверительные интервалы для средней будут равны:
– Δх + Δх .
=15,75 лет. 4,574 года. или 15,75-4,57 15,75+4,57
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж рабочих цеха находится в пределах от 11,18 дней до 20,32 дней.
Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.
Средняя ошибки для выборочной доли при бесповторном способе отбора рассчитывается по формуле:
Δw = t .
При = 3μ и p = w 3μ степень вероятности повышается до 0,997.
Таким образом:
t = 3;
n = 100 - численность рабочих цеха;
- это 10%-ная механическая выборка;
Определим w - удельный вес числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.
25+35=0,6 или 60%,
т.е. доля рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет – 60%.
Δw = t или 13,9%.
Доверительные интервалы для доли будут равны:
p = w Δw .
p = 60% 13,9%, тогда 60% – 13,9% p 60% + 13,9%.
Доля числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет будет находиться в пределах от 46,1 до 73,9% при вероятности 0,997.