Состоятельной называют такую точечную статистическую оценку, которая при n стрем к бесконечн стремится по вероятности к оцениваемому параметру. В частности, если дисперсия несмещенной оценки при n стр к беск стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.
Рассмотрим оценку θn числового параметра θ, определенную при n = 1, 2, … Оценка θnназывается состоятельной, если она сходится по вероятности к значению оцениваемого параметра θ при безграничном возрастании объема выборки. Выразим сказанное более подробно. Статистика θn является состоятельной оценкой параметра θ тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε справедливо предельное соотношение
Пример 3. Из закона больших чисел следует, что θn = является состоятельной оценкой θ = М(Х) (в приведенной выше теореме Чебышёва предполагалось существование дисперсии D(X); однако, как доказал А.Я. Хинчин [6], достаточно выполнения более слабого условия – существования математического ожидания М(Х)).
Пример 4. Все указанные выше оценки параметров нормального распределения являются состоятельными.
Вообще, все (за редчайшими исключениями) оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются состоятельными.
Пример 5. Так, согласно теореме В.И. Гливенко, эмпирическая функция распределенияFn(x) является состоятельной оценкой функции распределения результатов наблюденийF(x)
Несмещенной называют такую точечную статистическую оценку Q*математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру: M(Q*)=Q
Второе важное свойство оценок – несмещенность. Несмещенная оценка θn – это оценка параметра θ, математическое ожидание которой равно значению оцениваемого параметра: М(θn) = θ.
Пример 6. Из приведенных выше результатов следует, что и являются несмещенными оценками параметров m и σ2 нормального распределения. Поскольку М( ) = М(m**) = m, то выборочная медиана и полусумма крайних членов вариационного ряда m** - также несмещенные оценки математического ожидания mнормального распределения. Однако
поэтому оценки s2 и (σ2)** не являются состоятельными оценками дисперсии σ2нормального распределения.
Оценки, для которых соотношение М(θn) = θ неверно, называются смещенными. При этом разность между математическим ожиданием оценки θn и оцениваемым параметром θ, т.е. М(θn) – θ, называется смещением оценки.
Пример 7. Для оценки s2, как следует из сказанного выше, смещение равно
М(s2) - σ2 = - σ2/n.
Смещение оценки s2 стремится к 0 при n → ∞.
Оценка, для которой смещение стремится к 0, когда объем выборки стремится к бесконечности, называется асимптотически несмещенной. В примере 7 показано, что оценка s2 является асимптотически несмещенной.
Практически все оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются либо несмещенными, либо асимптотически несмещенными. Для несмещенных оценок показателем точности оценки служит дисперсия – чем дисперсия меньше, тем оценка лучше. Для смещенных оценок показателем точности служит математическое ожидание квадрата оценки М(θn – θ)2. Как следует из основных свойств математического ожидания и дисперсии,
(3)
т.е. математическое ожидание квадрата ошибки складывается из дисперсии оценки и квадрата ее смещения.
Для подавляющего большинства оценок параметров, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений, дисперсия имеет порядок 1/n, а смещение – не более чем 1/n, где n – объем выборки. Для таких оценок при больших n второе слагаемое в правой части (3) пренебрежимо мало по сравнению с первым, и для них справедливо приближенное равенство
(4)
где с – число, определяемое методом вычисления оценок θn и истинным значением оцениваемого параметра θ.
Эффективной называют такую точечную статистическую оценку, которая при фиксированном n имеет наименьшую дисперсию.
С дисперсией оценки связано третье важное свойство метода оценивания –эффективность. Эффективная оценка – это несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок данного параметра.
Доказано [11], что и являются эффективными оценками параметров m и σ2нормального распределения. В то же время для выборочной медианы справедливо предельное соотношение
Другими словами, эффективность выборочной медианы, т.е. отношение дисперсии эффективной оценки параметра m к дисперсии несмещенной оценки этого параметра при больших n близка к 0,637. Именно из-за сравнительно низкой эффективности выборочной медианы в качестве оценки математического ожидания нормального распределения обычно используют выборочное среднее арифметическое.
Понятие эффективности вводится для несмещенных оценок, для которых М(θn) = θ для всех возможных значений параметра θ. Если не требовать несмещенности, то можно указать оценки, при некоторых θ имеющие меньшую дисперсию и средний квадрат ошибки, чем эффективные.
Пример 8. Рассмотрим «оценку» математического ожидания m1 ≡ 0. Тогда D(m1) = 0, т.е. всегда меньше дисперсии D( ) эффективной оценки . Математическое ожидание среднего квадрата ошибки dn(m1) = m2, т.е. при имеем dn(m1) < dn( ). Ясно, однако, что статистику m1 ≡ 0 бессмысленно рассматривать в качестве оценки математического ожидания m.
Пример 9. Более интересный пример рассмотрен американским математиком Дж. Ходжесом:
Ясно, что Tn – состоятельная, асимптотически несмещенная оценка математического ожидания m, при этом, как нетрудно вычислить,
Последняя формула показывает, что при m ≠ 0 оценка Tn не хуже (при сравнении по среднему квадрату ошибки dn), а при m = 0 – в четыре раза лучше.
Подавляющее большинство оценок θn, используемых в вероятностно-статистических методах, являются асимптотически нормальными, т.е. для них справедливы предельные соотношения:
для любого х, где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Это означает, что для больших объемов выборок (практически - несколько десятков или сотен наблюдений) распределения оценок полностью описываются их математическими ожиданиями и дисперсиями, а качество оценок – значениями средних квадратов ошибок dn(θn).