Пропорциональные отрезки

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть . Говорят, что отрезки AB и СD

пропорциональны отрезкам и , если . Например, отрезки AB и CD, длины которых равны 2 и 1 см, пропорциональны отрезкам и , длины которых равны 3 см и 1.5 см.
В самом деле,

.

 

Понятие пропорциональности вводиться и для большего числа отрезков. Так, например, три отрезка AB, CD и EF пропорциональны

трём отрезкам , и , если

 

Свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:
1) катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу;
2) высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

АВ=

ВС=

2) Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

[П] Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.

Дано: АВС — данный треугольник; О — центр описанной около него окружности (рис. 30).

Доказать: О — точка пересечения серединных перпендикуляров.



Доказательство. Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны О А и ОС равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника.

Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

[А] Теорема об окружности, описанной около треугольника.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Дано: АВС — данный треугольник; О — точка пересечения серединных перпендикуляров (рис. 31).

Доказать: О — центр окружности, вписанной в АВС.

Доказательство. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, тоОА = OB — ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.

Замечание. Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от вершин треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

 

Билет №2.

Подобные треугольники

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Другими словами, два треугольника подобны, если их можно обозначить буквами ABC и A₁B₁C₁ так, что

A = A₁, B = B₁, С = С₁,

Число k, равное отношению сходственных сторон треугольника называется коэффициентом подобия.
Подобие треугольников ABC и A₁B₁C₁ обозначается так:

∆ ABC ~ ∆ A₁B₁C₁. На рисунке 1 изображены подобные треугольники.

2)