Подпространства. Свойства. Линейная оболочка системы векторов
Опр. 13.1. Пусть V линейное пространство над полем Р. Непустое подмножество U
Vназывают подпространством пространства V, когда U является линейным пространством относительно операций, какие указанный в V.
Ул.7.6. Когда U и W подпространства пространства V, тогда U∩W - подпространство пространства V. Доказательство.1. Так как 
U і W, U∩W , значиться U∩W≠Ø .
2. Когда и 
и 
U∩W,тогда по 7.2.2 +U и +W,откуда+U∩W.
3. Когда U∩W і λР, тогда по 7.2.3 λU и λW, значиться λU∩W■
Итог.7.7. Когда {Ui}(iІ)линейные подпространства V, тогда U= ∩Ui- подпространство в V.
Доказательство. Аналогично 7.6. ■
Ул.7.3. Когда U подпространство линейного пространства V и dim V<∞,тогда dim U≤ dim V. Доказательство. Когда U={} утверждение очевидно. Когда U≠{}, тогда dimU=k і u1,…,ukбазис U. Тогда, по 5.4, k≤ dim V.■
Ул.7.4. Когда U подпространство в V, dim V<∞ и dim U= dim V, тогдп U=V. Доказательство.Пусть 
- базис U, тогда это n линейно независимых векторов n-мерного пространства V. Значит это базис V. 
■
Ул.7.5. Пусть размерность dim V<∞ и
в V, тогда произвольный базис подпространства U в V можно дополнить до базиса пространства V. Доказательство. Следует из теоремы (Любая линейнозависимая подсистема системы 
содержится в ее МЛНП, в частности, любой ненулевой вектор из содержится в МЛНП.) и определения базиса. ■
Азн.7.8. V- линейное пространство над Р,
,
,...,
V.Через L(,,...,)= {λ1+…+λn
|λ iP}будем обозначать линейную оболочку множества векторов{
},i=
.
Св-во 7.7. L(
,
,...,
) – подпространство V (натянутый на вектор ,,...,). Доказательство: 
.Пусть 
,тоэто подпространство. ■
Ул.7.9. L(,,...,)- наименьшая из подпространств V, что удерживает {,,...,}. [Наименьшая в том смысле, что когда U подпространство в V и {,,...,}U, тогда L(,,...,)U].
Доказательство:Пусть U удовлетворяет условию свойства, тогда 
■
Св-во 7.10.Пусть ,,...,- система векторов пространства V, содержащая хотя бы 1 ненулевой вектор, тогда если ранг этой системы векторов = r, то 
и для любой МЛНП этой системы векторов является базисом 
. Доказательство: Пусть ,,...,- МЛНП, тогда лин.завис. Любой вектор системы выражается через МЛНП, а МЛНП полна в L, значит МЛНП – базис в L. ■