Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений

Опр. 7.11.4.Фундаментальной системой решений однородной системы наз. базис пространства ее решений (как подпространство в P_n).

Св-во 7.11.5. Если в (4) поочередно каждому придавать значение единицы, а остальным нули, то получим фундаментальную систему решение. Доказательство. Перепишем (4) в виде . Заметим, что - решение (1), если взять . Столбец – если взять . Столбец – если взять . Все решения системы (1), т.е. векторы из V, линейно выражаются ч/з ,, …, , т.е. эта система векторов полна. Рассмотрим в этих столбцах последние (n–r) элементов легко увидеть, что эти столбцы лин. независимы, т.е. они составляют базис V. ■

Следствие 7.11.6. Размерность пространства решений системы (1) равна числу свободных переменных. Доказательство: доказано в 7.11.5. ■