Евклидовы пространства. Определение и свойства
Опр. 12.1.V- линейное пространство над R. Скалярным произведением V называется отображение (· ; ·) :V´V
R, которое удовлетворяет следующим условиям: 1) 
ÎV (
;
)=(;) (условие симметричности),
2) 
ÎV (+;
)=(;)+(;), 3) 
ÎR ÎV (;)=(;), 4) 
ÎV (;)>0 , если 
. Простанство V, в котором заданно скалярное достояние, называется Евклидовым пространством. Если dim RV=n, тогда записывают V=εn.
Пример 12.2.1) V2 со скалярным произведением , который изучался в курсе геометрии: когда =
+
, =
+
(;)=+является Евклидовым пространством. 2) С[a;b]- множество неразрывных на [a;b] функций. Если f, gÎС[a;b], обозначим (f, g)=
. Проверьте, что на С[a;b] заданное скалярное произведение, таким образом, С[a;b]- евклидово пространство.
Св-во 12.3. В произвольной Евклидовом пространстве: 1) Îε (;)=(;)=;
2) Îε (;+)=(;)+(;); 3) Îε ÎR (;)=(;);
4) 
Îε, 
ÎR (
;)=
(
;);
5) 
Îε 
ÎR (;
)=
(;
).
Доказ.1) (;)=(;0)=0(;)=0 2) (;+)=(+;)=(;)+(;)=(;)+(;)
3) (;)=(;)=(;)=(;). 4) ММІ па п. п=1 (
;)=
(;) па 12.1.3.
п=2 (+
;)=(;)+(;)=(;)+( ;). Если справедливо для п, рассмотрим п+1. (
= 
)+(
;) = (;)+(;) = 
(;).
5) (;)=(;)=(;) =(;)= (;).■
Св-во 12.4. Пусть Е- Евклидово пространство, U – его линейное подпространство, тогда U со скалярным произведением, определенным на Е, явл. Евклидовым пространством.
Доказательство. Очевидно из определения 12.1. ■