Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами.

Опр. 12.5. Длиной (нормой) вектора Îε называется действительное число =.

Пример 12.6..1. В соотв. геометрическому определению длины вектора. 2. У С[a;b] =.

Св-во 12.7.В Евклидовом пространстве ε: 1) = 0 т. и только тогда, когда =; 2) = .

Доказ. 1)Если =, тогда ===0. Если , тогда >0, откда =>0.

2) ===.■

Опр. 12.8.Вектар Îε называецца нормированным , если =1.

Св-во 12.9.Когда , тогда вектор - нормированный. Доказ. ===1.■

Теорема 12.10. (Неравенство Коши-Буняковского)Îε (1). Равенство (1) имеет место тогда и только тогда, когда і - коллинеарные, то есть kÎR такой, что =k (= k). Доказ.Когда =, тогда (1) справедливо па 12.3.1 і =0. Когда па 12.1.4 і 12.3.1 (;), значи т R (-;-), (2) значит, R -2+.

. Пусть имеет место равенство. Тогда D=0. Есть такое , что квадратный трехчлен =0. (;), =0, (-λ, -λ)=0. -λ=0 і =λ. ■

Вывод 12.11.Когда , принадлежат ε {}, тогда –1≤≤1.

Доказ. З 12.11вынікае, што - ||||×|||| (,)||||×||||, это значит, –1≤≤1.■

Св-во 12.12.Когда , принадлежит ε {}, то существует единственный φ из [0,] иакой, что: . Доказ. Док-во следует 12.11 и с того, что на [0,] функция cos(x) принимает значния на [-1 , 1] по одномку разу.■

Опр . 12.13. когда , принадлежат ε {}, тогда углом между векторами і называют угол φ с промежутка [0,] такого что cos φ=, Из 12.12 следует корректность 12.13.

Вынік 12.14.=||||×||||×cos φ.Доказ. Очевидно из 12.13.■