Матрица системы векторов. Определение и свойства.
Пример 6.0. Рассмотрим пространство V2 и ее привычный базис 
,
. Векторы 
=+2, 
=3+4 - неколлинеарные, значит они линейно независимые и образовывают базис V2. Вектор v=2+6- столбец координат X=
в базисе ,.. Найдем его координаты y1, y2 в базисе,.. По определению y1+y2=
, откуда y1(+2)+y2(3+4)= 2+6,или (y1+3y2)+(2y1+4y2)= 2+6.Поскольку ,- базис, значит 
, из чего следует, что 
, откуда получаем ответ: Y=
.
Опр. 6.1. V - линейное пространство над P, dimV=n, данный базис V, 
,(1) и произвольная система векторов 
(2) . Пусть "i
=
+
+… +
= 
(3). Матрица А=(
)n´m называется матрицей системы векторов (2) в базисе (1). Внимание! Матрица системы векторов записывается по столбцам.
Пример 6.2. V2. 
– базис. В этом базисе система векторов 
; 
; 
имеет матрицу A=
. Система векторов в этом базисе моей матрицу
, а система векторов 
; 
- матрицу T=
. Св-во 6.3. Матрица базиса относительно себя единичная.
Опр. 6.4. Пусть (1) и 
,
,…,
(4) - базисы пространства V. Матрица системы векторов (4) в базисе (1) называется матрицей перехода к новому базису. (Матрицей перехода ли от (1) к (4), матрицей преобразования ли координат.)
Теорема 6.5. Матрица перехода от базиса к базису - невырожденная. Доказательство. (1) - базис, значит "k 
і А=()
- матрица (4) в (1). Поскольку (4) – базис "j=
. Когда В=(
), тогда 
. Получили 
но (1) - базис, значит, когда i=j , тогда 
, а когда i≠j , j, тогда 
. Со второй стороны, 
, значит, 
, A×B=Еn. (5) – единичная матрица. Следует, что А и В - невырожденные и взаимно-обратные.■
Вывод.6.6. Матрицы перехода от (1) к (4) и от (4) к (1) - взаимно обратные. Доказательство. Сохраним обозначения док-ва 6.5. А – матрица перехода от (1) к (4), В – матрица перехода от (4) к (1). Из того, что A×B=Еn (5) – единичная матрица, значит, что В=А–1, А=В–1.■
|
, значит, 
, и C=A×Y. ■
имеет в базисе (1) столбец координат 
, а в базисе (2) 
, тогда C=A×Y. Доказательство. Сохраним обозначения теоремы 6.5. Пусть 
и эти векторы имеют столбцы координат C, Y.