Методические указания. Выборка. Числовые характеристики

Методические указания. Для допуска к экзамену по предмету «Теория вероятностей и математическая статистика» необходимо выполнить контрольную работу. Номер варианта выбирается по номеру зачётной книжки. Если номер зачётной книжки заканчивается на 1 или 6, нужно выбрать вариант 1, если на 2 или 7 – вариант 2, на 3 или 8 – вариант 3, на 4 или 9 – вариант 4, на 5 или 0 – вариант 5. В конце предложены решения типовых заданий.

 

Выборка.

Числовые характеристики.”

Вариант 1.

Задача 1.

  Построить полигон и кумулятивную кривую.  

Задача 2.

Требуется: 1) построить гистограмму частот;

Задача 3.

Вариант 2.

Задача 1.

  Построить полигон и кумулятивную кривую.  

Задача 2.

Требуется: 1) построить гистограмму частот;

Задача 3.

  Вариант 3.

Задача 1.

  Построить полигон и кумулятивную кривую.  

Задача 2.

Требуется: 1) построить гистограмму частот;

Задача 3.

    Вариант 4.

Задача 1.

  Построить полигон и кумулятивную кривую.  

Задача 2.

Требуется: 1) построить гистограмму частот;

Задача 3.

  Вариант 5.

Задача 1.

    Построить полигон и кумулятивную кривую.

Задача 2.

Требуется: 1) построить гистограмму частот;

Задача 3.

    “Точечные и интервальные оценки.”

Задача 1.

Задана выборка: -1, 2, 5, 8, 10. Вычислить несмещённые оценки математического ожидания и дисперсии.

 

 

Задача 2.

  X -10 P 0,1 0,2 …   Y … В какую компанию целесообразнее вкладывать инвестиции?

Задача 3.

Имеются статистические данные за последние 20 лет: Год …   …  

Задача 1.

Задана выборка: 1, 3, 5, 7, 10. Вычислить несмещённые оценки математического ожидания и дисперсии.

Задача 2.

  X -10 P 0,1 0,2 …   Y … В какую компанию целесообразнее вкладывать инвестиции?

Задача 3.

Имеются статистические данные за последние 20 лет:   Год …   -5 …

Задача 1.

Задана выборка: -2, 2, 5, -6, 10. Вычислить несмещённые оценки математического ожидания и дисперсии.

Задача 2.

  X -10 P 0,1 0,2 …   Y … В какую компанию целесообразнее вкладывать инвестиции?

Задача 3.

Имеются статистические данные за последние 20 лет:   Год …   -5 …

Задача 1.

Задана выборка: 0, 2, 4, 8, 9. Вычислить несмещённые оценки математического ожидания и дисперсии.

Задача 2.

  X -25 P 0,1 0,2 …   Y … В какую компанию целесообразнее вкладывать инвестиции?

Задача 3.

Имеются статистические данные за последние 20 лет:   Год …   -5 …

Задача 1.

Задана выборка: -1, 2, 4, 8, 10. Вычислить несмещённые оценки математического ожидания и дисперсии.

Задача 2.

  Y P 0,1 0,2 0,05 … В какую компанию целесообразнее вкладывать инвестиции?  

Задача 3.

Имеются статистические данные за последние 20 лет:   Год …   …

Вариант 2

Анализируется выручка фирмы, работающей в сфере услуг. Имеются статистические данные, характеризующие ежедневную выручку в течение одного месяца по Приволжскому и Советскому районам (и в рублях).

 

Приволжский район:		Советский район:
Дата
01.02.2008			01.02.2008
02.02.2008			02.02.2008
03.02.2008			04.02.2008
06.02.2008			05.02.2008
07.02.2008			06.02.2008
08.02.2008			07.02.2008
09.02.2008			08.02.2008
10.02.2008			11.02.2008
12.02.2008			12.02.2008
13.02.2008			13.02.2008
14.02.2008			14.02.2008
15.02.2008			15.02.2008
16.02.2008			16.02.2008
17.02.2008			18.02.2008
19.02.2008			19.02.2008
20.02.2008			20.02.2008
21.02.2008			21.02.2008
22.02.2008			22.02.2008
24.02.2008			25.02.2008
26.02.2008			26.02.2008
27.02.2008			27.02.2008
28.02.2008			28.02.2008

 

Будем считать, что случайная величина выручка фирмы распределена по нормальному закону: , параметры и неизвестны. Субъективный прогноз аналитической группы менеджеров предполагает, что средняя дневная выручка по Кировскому району составляет не более , причём отклонение от этой суммы не превосходит , кроме того эти показатели совпадают по Кировскому и Московскому районам города. Не противоречат ли приведённые статистические данные этому прогнозу на уровне значимости ?

 

Вариант 3

Анализируется выручка фирмы, работающей в сфере услуг. Имеются статистические данные, характеризующие ежедневную выручку в течение одного месяца по Приволжскому и Авиастроительному районам (и в рублях).

 

Приволжский район:		Авиастроительный район:
Дата
01.02.2008			01.02.2008
02.02.2008			02.02.2008
03.02.2008			04.02.2008
06.02.2008			05.02.2008
07.02.2008			06.02.2008
08.02.2008			07.02.2008
09.02.2008			08.02.2008
10.02.2008			11.02.2008
12.02.2008			12.02.2008
13.02.2008			13.02.2008
14.02.2008			14.02.2008
15.02.2008			15.02.2008
16.02.2008			16.02.2008
17.02.2008			18.02.2008
19.02.2008			19.02.2008
20.02.2008			20.02.2008
21.02.2008			21.02.2008
22.02.2008			22.02.2008
24.02.2008			25.02.2008
26.02.2008			26.02.2008
27.02.2008			27.02.2008
28.02.2008			28.02.2008

 

Будем считать, что случайная величина выручка фирмы распределена по нормальному закону: , параметры и неизвестны. Субъективный прогноз аналитической группы менеджеров предполагает, что средняя дневная выручка по Кировскому району составляет не более , причём отклонение от этой суммы не превосходит , кроме того эти показатели совпадают по Кировскому и Московскому районам города. Не противоречат ли приведённые статистические данные этому прогнозу на уровне значимости ?

 

Вариант 4

Анализируется выручка фирмы, работающей в сфере услуг. Имеются статистические данные, характеризующие ежедневную выручку в течение одного месяца по Советскому и Ново-Савиновскому районам (и в рублях).

 

Советский район:		Ново-Савиновский район:
Дата
01.02.2008			01.02.2008
02.02.2008			02.02.2008
04.02.2008			03.02.2008
05.02.2008			06.02.2008
06.02.2008			07.02.2008
07.02.2008			08.02.2008
08.02.2008			09.02.2008
11.02.2008			10.02.2008
12.02.2008			12.02.2008
13.02.2008			13.02.2008
14.02.2008			14.02.2008
15.02.2008			15.02.2008
16.02.2008			16.02.2008
18.02.2008			17.02.2008
19.02.2008			19.02.2008
20.02.2008			20.02.2008
21.02.2008			21.02.2008
22.02.2008			22.02.2008
25.02.2008			24.02.2008
26.02.2008			26.02.2008
27.02.2008			27.02.2008
28.02.2008			28.02.2008

 

Будем считать, что случайная величина выручка фирмы распределена по нормальному закону: , параметры и неизвестны. Субъективный прогноз аналитической группы менеджеров предполагает, что средняя дневная выручка по Кировскому району составляет не более , причём отклонение от этой суммы не превосходит , кроме того эти показатели совпадают по Кировскому и Московскому районам города. Не противоречат ли приведённые статистические данные этому прогнозу на уровне значимости ?

 

Вариант 5

Анализируется выручка фирмы, работающей в сфере услуг. Имеются статистические данные, характеризующие ежедневную выручку в течение одного месяца по Авиастроительному и Московскому районам (и в рублях).

 

Авиастроительному:		Московский район:
Дата
01.02.2008			01.02.2008
02.02.2008			02.02.2008
04.02.2008			04.02.2008
05.02.2008			05.02.2008
06.02.2008			06.02.2008
07.02.2008			07.02.2008
08.02.2008			08.02.2008
11.02.2008			11.02.2008
12.02.2008			12.02.2008
13.02.2008			13.02.2008
14.02.2008			14.02.2008
15.02.2008			15.02.2008
16.02.2008			16.02.2008
18.02.2008			18.02.2008
19.02.2008			19.02.2008
20.02.2008			20.02.2008
21.02.2008			21.02.2008
22.02.2008			22.02.2008
25.02.2008			25.02.2008
26.02.2008			26.02.2008
27.02.2008			27.02.2008
28.02.2008			28.02.2008

 

Будем считать, что случайная величина выручка фирмы распределена по нормальному закону: , параметры и неизвестны. Субъективный прогноз аналитической группы менеджеров предполагает, что средняя дневная выручка по Кировскому району составляет не более , причём отклонение от этой суммы не превосходит , кроме того эти показатели совпадают по Кировскому и Московскому районам города. Не противоречат ли приведённые статистические данные этому прогнозу на уровне значимости ?

 

Решение типовых примеров

Типовые примеры к практическому занятию № 1.

Задача 1.

  Построить полигон и кумулятвную кривую.  

Задача 3.

Требуется: 1) построить гистограмму частот;

Задача 3.

  Решение.Для оценки риска вычислим дисперсию случайной величины :

Типовые примеры к практическому занятию № 2.

Задача 1.

  Решение.Несмещёнными оценками математического ожидания и дисперсии являются… ,

Задача 2.

  Y P 0,1 0,2 0,05 … В какую компанию целесообразнее вкладывать инвестиции? Решение.Для того чтобы оценить средний ожидаемый размер дивидендов, вычислим математические ожидания случайных величин…

Задача 3.

Имеются статистические данные за последние 20 лет: Год …   …  

Типовой пример к практическому занятию № 3.

Анализируется выручка фирмы, работающей в сфере услуг. Имеются статистические данные, характеризующие ежедневную выручку в течение одного месяца по Кировскому и Московскому районам (и в рублях).

Кировский район:		Московский район:
Дата
01.02.2008			01.02.2008
02.02.2008			02.02.2008
03.02.2008			04.02.2008
06.02.2008			05.02.2008
07.02.2008			06.02.2008
08.02.2008			07.02.2008
09.02.2008			08.02.2008
10.02.2008			11.02.2008
12.02.2008			12.02.2008
13.02.2008			13.02.2008
14.02.2008			14.02.2008
15.02.2008			15.02.2008
16.02.2008			16.02.2008
17.02.2008			18.02.2008
19.02.2008			19.02.2008
20.02.2008			20.02.2008
21.02.2008			21.02.2008
22.02.2008			22.02.2008
24.02.2008			25.02.2008
26.02.2008			26.02.2008
27.02.2008			27.02.2008
28.02.2008			28.02.2008

Будем считать, что случайная величина выручка фирмы распределена по нормальному закону: , параметры и неизвестны. Субъективный прогноз аналитической группы менеджеров предполагает, что средняя дневная выручка по Кировскому району составляет не более , причём отклонение от этой суммы не превосходит , кроме того эти показатели совпадают по Кировскому и Московскому районам города. Не противоречат ли приведённые статистические данные этому прогнозу на уровне значимости ?

 

Решение.Вычислимвыборочные характеристики по Кировскому и Московскому районам:

;

;

;

;

здесь (количество наблюдений).

1)Проверим гипотезу о том, что среднее значение выручки по Кировскому району составляет :

.

При этом в качестве альтернативной выберем гипотезу:

.

Вычислим статистику:

.

Из таблицы распределения Стьюдента определим критическую точку . Так как , то нет оснований для отклонения гипотезы на уровне значимости , то есть можно считать, что среднее значение выручки составляет не более 6100 руб.

 

2)Теперь проверим утверждение о том, что разброс значений выручки от своего среднего значения не превышает руб. Для этого рассмотрим гипотезу

и альтернативную гипотезу

.

Вычислим статистику

.

Из таблицы распределения определим критическую точку: . Так как , то нет оснований для отклонения гипотезы на уровне значимости .

 

3)Рассмотрим гипотезу о совпадении средней выручки по двум районам. Вычислим статистику

.

При справедливости гипотезы построенная статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Из таблицы распределения Стьюдента определим критическую точку . Так как , то гипотеза о совпадении средней выручки по двум районам отвергается.

4)Так как , то для проверки гипотезы о совпадении средних стандартных отклонений вычислим статистику:

.

При справедливости гипотезы построенная статистика имеет распределение Фишера с и степенями свободы. Из таблицы распределения Фишера определим критическую точку . Так как , то гипотеза о совпадении средних стандартных отклонений также отклоняется.