Данная функция является однородной степени m = 1.
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка
(15)
называется однородным, если - однородные функции одной и той же степени.
Замечание.Всякая однородная функция нулевой степени является функцией отношения её аргументов:
(16)
Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:
(17)
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
(18)
тогда
(19)
Подставляя (18) и (19) в уравнение (17), получим уравнение с разделяющимися переменными относительно и .
Пример 8. Решить уравнение
Решение.Разделив данное уравнение на произведение , получим
Выразим у'
Получили однородное уравнение. Сделаем замену:
Тогда
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Далее
Интегрируя последнее равенство, получим
Умножим последнее равенство на (-1)
Подставив вместо , получим общее решение уравнения
Пример 9. Решить уравнение
Решение.Учитывая, что x ¹ 0, разделим данное уравнение на х:
Подставим в преобразованное уравнение
Учитывая, что , тогда
Разделим переменные
Интегрируя, получим
Вернемся к старым переменным
- общий интеграл уравнения.