Решение уравнения (20) будем искать в виде произведения двух функций от
Подставим у и у' в уравнение (20):
(22)
Сгруппируем слагаемые с в первой степени (можно с u):
Выберем функцию такой, чтобы множитель с обращался в .
Таким образом, получим систему
Решая первое уравнение системы (уравнение с разделяющимися переменными относительно и , найдем искомую функцию .
Так как одна из неизвестных функций и может быть выбрана произвольно, то в качестве возьмем любое частное (ненулевое) решение уравнения , а в качестве возьмем общее решение второго уравнения системы , в которое, прежде чем решать его, подставим найденную функцию .
Общее решение уравнения (20) запишем в виде , подставив найденные функции.
Замечание. Если в уравнении (22) сначала вынести общий множитель u в первой степени, то искомые функции найдем в обратном порядке, вначале , а потом .
Пример 12. Решить задачу Коши
Решение. Данное уравнение линейно относительно у и у' .
Решение ищем в виде
Подставим у и у' в уравнение
Вынесем в первой степени за скобки
Полагаем , тогда
Таким образом, получим систему
Решаем первое уравнение системы, Это уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируя полученное уравнение, имеем
(постоянную интегрирования при нахождении не вводим, т.к. достаточно найти любое (ненулевое) частное решение уравнения ).
Далее
Подставим во второе уравнение системы и найдем :
Интегрируя, получим общее решение второго уравнения системы:
Таким образом, общее решение данного линейного уравнения имеет вид:
Найдем частное решение уравнения. Используя начальное условие найдем с.
Подставив и в общее решение линейного уравнения, получим
Тогда частное решение линейного уравнения при имеет вид:
Пример 13. Решить задачу Коши
Решение. Данное уравнение нелинейно относительно и .
Преобразуем уравнение, воспользовавшись там, что :
Полученное уравнение линейно относительно и .
Решение будем искать в виде
Тогда
Подставим и в уравнение
Вначале решаем первое уравнение системы
- частное решение первого уравнения системы.
Подставим во второе уравнение системы :
Вычислим отдельно каждый интеграл:
б)
Подставляя решение этих двух интегралов в , получим
Тогда, общее решение линейного дифференциального уравнения (23) имеет вид:
Воспользуемся начальными условиями и найдем .
Тогда частное решение линейного уравнения (23) при имеет вид:
5. Уравнение Бернулли
Определение. Уравнение вида
(24)
называется уравнением Бернулли, где и - непрерывные функции от , , .
Замечание. При получается линейное уравнение первого порядка относительно и , а при получается уравнение с разделяющимися переменными.
Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим образом:
Разделим все члены уравнения (24) на
(25)
Сделаем замену:
Тогда
Подставим в уравнение (25) вместо
Умножим полученное уравнение на :
(26)