Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку , не преобразовывая их в линейные.
Пример 14. Решить задачу Коши
Решение. Разделим уравнение на
Получим уравнение Бернулли, т. к. в правую часть входит у и у', .
Решение ищем в виде:
(см. Замечание),
Подставим и в уравнение получим
Вынесем за скобки u в первой степени
Полагая, что , имеем
Запишем систему уравнений
Решая первое уравнение системы, найдем его частное решение.
Подставим во второе уравнение системы и найдем её общее решение.
Интегрируя левую часть уравнения, получаем
Интеграл, стоящий в правой части равенства, найдем с помощью формулы интегрирования по частям
Вычислим:
Окончательно получим
Умножим последнее равенство на (-1) и выразим из него функцию .
Тогда общий интеграл уравнения Бернулли имеет вид:
Воспользуемся начальными условиями у(1) = 1 и найдем .
Подставив с = 0 в общее решение уравнения, найдем его частное решение:
6. Уравнение в полных дифференциалах
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида
(27)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , то есть
(28)
Для того чтобы уравнение (27) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
(29)