Если выполняется условие (29), то уравнение (27) может быть записано в виде
Тогда общий интеграл этого уравнения имеет вид
(30)
где - произвольная постоянная.
Функция может быть найдена, используя уравнения (28).
Интегрируя равенство по при фиксированном и учитывая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от , получим
(31)
Затем, дифференцируя найденную функцию по и подставляя её в равенство , найдем .
Подставим функцию в уравнение (31), получим , которая является общим интегралом уравнения (27) с точностью до произвольной постоянной.
Замечание. Для нахождения общего решения уравнения (27) можно было начать с интегрирования равенства при фиксированном . Тогда постоянная интегрирования может зависеть от .
Пример 15. Решить уравнение
Решение.
Проверим условие (29):
Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции и решение будет иметь вид:
Воспользуемся условиями (28).
Тогда
Проинтегрируем первое соотношение по х:
Затем продифференцируем по :
Так как , то получим
Отсюда
Пусть
Тогда и общий интеграл уравнения имеет вид