Если неотрицательная, интегрируемая функция на промежутке монотонно убывает, и члены ряда имеют вид то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Пример 18. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд
Решение. Исследование данного ряда начнем с необходимого
признака сходимости:
Таким образом, при данный ряд расходится, т.к. нарушается необходимое условие сходимости.
Пусть . Рассмотрим
Функция монотонно убывает на промежутке . Найдем несобственный интеграл.
При