Пусть последовательность функций, определенных на некотором множестве Х.
Определение. Ряд вида
(39)
членами которого являются функции называется функциональным.
Каждому значению соответствует числовой ряд Он может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если ряд сходится, точка называется точкой сходимости функционального ряда (39).
Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Сходимость функционального ряда в каждой точке называется поточечной сходимостью.
Определение. Функциональный ряд (39) называется равномерно сходящимся в области к функции , если для любого существует номер , не зависящий от , такой, что
где n-я частичная сумма ряда, сумма ряда.
Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены ряда удовлетворяют неравенствам и ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно в области .
Числовой ряд , члены которого удовлетворяют неравенствам теоремы, называется мажорантой (мажорантным рядом) для функционального ряда , а сам функциональный ряд называется в этом случае мажорируемым на множестве .Из признака Вейерштрасса следует, что условие мажорируемости ряда является достаточным для его равномерной сходимости.
Сформулируем свойства равномерно сходящихся рядов:
1. (О непрерывности суммы функционального ряда)
Если на множестве функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма непрерывна на .
2. (О почленном интегрировании)
Если функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится к функции равномерно на отрезке , то его можно почленно интегрировать на любом отрезке , и справедливо неравенство:
причем ряд сходится равномерно на отрезке .
3. (О почленном дифференцировании)
Если функциональный ряд (39) с непрерывно дифференцируемыми на отрезке членами сходится к функции , а ряд сходится равномерно на , то ряд (39) сходится равномерно на , его сумма - непрерывно дифференцируемая функция, и справедливо неравенство:
.