Определение. Степенным рядом по степеням называется ряд вида:
(40)
где - действительные числа, принадлежит некоторому интервалу.
Числа называются коэффициентами степенного ряда.
Если то получим ряд по степеням х.
(41)
1. Теорема Абеля
Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале и сходится равномерно на отрезке , где
Следствие. Если в точке степенной ряд расходится, то он расходится во всех точках , т. к.
Таким образом, всегда существует число R > 0, при котором степенной ряд сходится абсолютно для всех и расходятся для всех . В точках ряд может как сходиться, так и расходиться.
Число называется радиусом сходимости, а интервал интервалом сходимости степенного ряда.
Для нахождения интервала сходимости степенного ряда используют достаточные признаки сходимости Даламбера и Коши (см. разделы II, V). Радиус сходимости можно найти по одной из следующих формул:
Пример 23. Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда:
а) b)