Методы синтеза пространственных операционных фильтров.

 

При рассмотрении различных математических операций, выпалняемых на когерентном оптическом процессоре, было установлено, что передаточная функция операционного фильтра в общем случае является комплексной, а в частных как действительной (в частности, действи тельной и неотрицательной), так и фазовой функцией. Вследствие этого различают амплитудный, фазовый, действительный и комплексный

фильтры. На ранних этапах разработки пространственных фильтра~ основную трудность представляла запись фазовой характеристики пере даточной функции. Обычно фазовая характеристика передаточной функции реализовывалась путем изменения толщины фоточувствительного слоя пленки, а амплитудная характеристика - путем изменения прозрачности фотографической пленки. Сочетание амплитудного и фазового фильтров давало комплексный фильтр. Однако вследствие больших трудностей, связанных с созданием достаточно сложного рельефа эмульсии на пленке, таким путем удавалось получить только фильтры с простыми передаточными функциями, преимущественно действительными. В этом заключалась одна из основных причин ограниченного применения методов оптической пространственной фильтрации для обработки информации. Положение изменилось лишь после того, как были разработаны методы синтеза комплексных пространственных фильтров с произвольными амплитудной и фазовой характеристиками.

Методы синтеза пространственных операционных фильтров с производными комплексными передаточными функциями по способу их реализации можно разделить на две группы: 1) методы, требующие оптической записи; 2) цифровые методы синтеза, основанные на использовании ЭВМ. Несмотря, на различие в способах реализации, все методы синтеза имеют общий подход к проблеме синтеза - построение действительной неотрицательной функции, однозначно связанной с передаточной функцией синтезируемого фильтра и эквивалентной (с определенной точностью) с ней по воздействию на оптический сигнал, подлежащий фильтрации. Это является следствием того, что любая регистрирующая среда реагирует только на интенсивность падающего светового поля, т. е. способна зарегистрировать распределения, описываемые только действительными неотрицательными функциями.

Метод Вандер-Люгта. При использовании метода Вандер-Люгта действительная неотрицательная функция получается путем сложения заданной комплексной передаточной функции с известной опорной комплексной функцией. В основе метода Вандер-Люгта лежит идея, согласно которой комплексный сигнал с произвольными амплитудной и фазовой характеристиками можно записать с помощью пространственно-частотной модуляции опорного сигнала с известной амплитудой и фазой.

Рис.4.6. Оптическая схема устройства для записи фильтра по методу Вандер-Люгта.

 

Оптическая схема устройства, реализующего метод Вандер-Люгта, показана на рис. 6.6. Устройство состоит из точечного источника когерентного света S, зеркал 2 и 4, светоделителей 1 и 3; оно представляет собой модификацию хорошо известного интерферометра Маха - Цендера.

Рассмотрим процесс записи комплексного фильтра по схеме, представленной на рис. 4.6. Свет от точечного источника 5 коллимируется линзой Л₁ и поступает в интерферометр. Часть плоского светового пучка с помощью светоделителя 1 и зеркала 2 направляется на входной транспарант 1, амплитудный коэффициент пропускания которого соответствует распределению А амплитуды импульсного отклика h(x,y), т.е. t = k_ih(x,y). Линза Л₂ осуществляет преобразование Фурье входного сигнала U_I⁽⁺⁾ ~ h(x,y). В результате в ее задней фокальной плоскости появится распределение амплитуд света, пропорциональное фурье – образу h(x,y), т.е. передаточной функции фильтра Н (x, h). Другая часть коллимированного светового пучка с помощью зеркала 4 и светоделителя 3 направляется в плоскость регистрации Н (спектральная плоскость) под некоторым углом g к оптической оси, который регулируется поворотом зеркала 4. Этот световой пучок, когерентный с объектным, и является опорным. Опорный пучок в плоскости регистрации фильтра Н создает распределение амплитуд с пространственной частотой n_R = sin g/l:

 

 

Так как объектный и опорный световые пучки когерентны, они интерферируют. Интенсивность результирующего светового поля

 

(4.27)

 

Если в плоскость регистрации Н поместить фотографическую пленку и зарегистировать полученную интерференционную картину на линейном участке t-Е - характеристики, то после соответствующей обработки получится транспарант с амплитудной функцией пропускания:

 

(4.28)

 

Данный транспарант может служить в качестве искомого фильтра. Таким образом, благодаря введению опорного светового пучка, требуемая комплексная передаточная функция Н (x, h) записывается с помощью пространственно-частотной модуляции опорной волны. Очевидно, что фильтр Вандер-Люгта представляет собой фурье-голограмму импульсного отклика h(х, у).

Таким образом, фильтр Вандер-Люгта имеет сложную функцию пропускания по амплитуде (4.28), один из компонентов которой содержит желаемую передаточную функцию Н (x, h). Покажем, что эту нужную компоненту можно выделить и использовать для фильтрации входных сигналов. Для этого предположим, что фильтр с амплитудным пропусканием (4.28} помещен в спектральную плоскость оптического процессора, схема которого была представлена на рис. 4.2. Допустим, что на вход процессора поступает оптический сигнал, описываемый комплексной функцией U_I(x_I,y_I). В результате фильтрации этого сигнала получим сигнал с комплексной амплитудой:

 

U_H⁽⁺⁾ (x,h) ~ t_H (x,h) U_I (x,h) = R²U_I (x,h) + | H (x,h) |² U_I (x,h) +

+ RH(x,h) U_I (x,h) exp (2pif_yh) + RH* (x,h) U_I (x,h)´

´ exp ( - 2pif_yh) (4.29)

 

В выходной плоскости оптического процессора возникает световое поле, описываемое следующим распределением комплексных амплитуд:

 

U_D (x_D,y_D) ~ F [U_H⁽⁺⁾ (x,h) ] ~ R²U_I (x_D,y_D) + U_I (x_D,y_D) * h (x_D,y_D)*

* h^* ( - x_D,y_D) + RU_I (x_D,y_D) * h(x_D,y_D + f_y) + RU_I (x_D,y_D) * h ( - x_D, - y_D + f_y) (4.30)

Структура выходного светового поля иллюстрируется рис. 4.7.

Рис.4.7. Структура выходного светового поля оптического процессора при использовании фильтра Вандер-Люгта.

 

Первый член выражения (4.30) соответствует изображению входного сигнала, которое образуется в центре выходной плоскости процессора. Изображение, определяемое вторым членом, также возникает в центральной области выходной плоскости и накладывается на изображение входного сигнала, соответствующее первому члену. Эти изображения не представляют интереса. Изображения, определяемые двумя последими членами (4.30), образуются на расстоянии f_y от начала координат по разные стороны от них. Изображение, соответствующее третьему члену, представляет собой свертку входного сигнала с импульсным откликом и является требуемым входным сигналом. Изображение, описываемое четвертым членом, является взаимной корреляцией входного сигнала с импульсным откликом фильтра. Как видно из рис. 4.7, эти изображения могут быть пространственно отделены от двух первых при определенном выборе угла g между опорным пучком и оптической осью. Из рассмотрения структуры выходного сигнала следует, что полное пространственное разделение изображений достигается при

 

f_y = fsin g > 3/2 a_n + a_u (4.31)

 

Следовательно, условие выбора g следующее:

 

g > arcsin [1/f (3/2 a_n + a_u)] (4.32)

 

Таким образом, при использовании фильтра Вандер-Люгта желаемый выходной сигнал-свертка входного сигнала U_I (x_I, y_I) с импульсным откликом фильтра h(х, у) наблюдается в области, ограниченной значениями | x_D | £ a_n + a_u; | y_D + f_y | £ a_n + a_u. Взаимная корреляция входного сигнала с импульсным откликом фильтра, представляющая основной интерес в задачах распознавания, наблюдается в области | x_D | £ a_n + a_u; | y_D - f_y | £ a_n + a_u .

Если имеется транспарант, соответствующий импульсному отклику фильтра, то запись фильтра по методу Вандер-Люгта не представляет сложности. Поэтому фильтры Вандер-Люгта удобно использовать в задачах согласованной фильтрации, когда импульсный отклик фильтра может быть записан на пленку в виде транспаранта. В случае фильтров , предназначенных для выполнения математических операций, более удобны цифровые методы синтеза, позволяющие сразу получить передаточную функцию фильтра.

Цифровые методы синтеза операционных фильтров с помощью ЭВМ. При машинном синтезе пространственных операционных фильтров их передаточные функции подвергаются дискретизации:

 

(4.33)

 

где Dx, Dh - шаги дискретизации, выбираемые в соответствии с требованиями теоремы отсчетов. Амплитуда A_nm, и фаза j_nm каждого отсчета квантуются с использованием ограниченного числа уровней квантования. Квантованные значения амплитуд и фаз отсчетов передаточной функции кодируются по одному из методов, рассмотренных в гл. 2, и отображаются на выходном устройстве ЭВМ в виде картины, представляющей увеличенное изображение искомого фильтра. Оптическим уменьшением этой картины до требуемых размеров и записью на носитель (например, на фотопленку) заканчивается синтез фильтра. Описанный процесс может быть реализован в реальном масштабе времени при наличии специального высокоразрешающего устройства для отображения картины фильтра и ее регистрации на оперативном носителе.

Амплитудные функции пропускания синтезированных фильтров и их воздействие на спектр входного сигнала различаются в зависимости от метода кодирования и техники исполнения. При использовании метода Ломана синтезированный фильтр имеет функцию пропускания вида

 

(4.34)

 

где в первом приближении P_nm ~ j_nm; W_nm ~ A_nm. Заметим также, что Dy = Dh = Dn. Если такой фильтр поместить в передней фокальной плоскости фурье-линзы и осветить нормально падающей плоской световой волной, то в задней фокальной плоскости линзы появится множество регулярно расположенных изображений, приближенно представляющих желаемый импульсный отклик фильтра. Наименее искаженные и наиболее яркие изображения формируются световыми пучками, дифрагированными ± 1-порядками дифракции. Эти изображения образуются в ограниченных областях, центры которых совпадают с точками ± 1/Dn,0. Если синтезированный фильтр поместить в спектральную плоскость оптического процессора, то в двух указанных областях будут наблюдаться наиболее точные и яркие изображения, представляющие свертку входного сигнала с импульсным откликом фильтра. Для отделения этих полезных изображений от других шаги дискретизации передаточной функции фильтра должны быть выбраны из условия Dn £ (a_n + a_u)^-1.

Если желаемая передаточная функция фильтра описывается только фазовой характеристикой (А = const), то фильтр может быть изготовлен в виде киноформа. Идеальный киноформ, как известно, дает один отклик, следовательно, его дифракционная эффективность может достигать 100 %. Другое важное преимущество киноформа состоит в том, что входной оптический сигнал наблюдается в центральной области выходной плоскости процессора. Недостатком киноформа является невозможность управления амплитудой проходящего сигнала.

Основное отличие синтезированных фильтров от фильтра Вандер - Люгта заключается в том, что они имеют дискретную структуру, тогда как фильтр Вандер - Люгта имеет непрерывную структуру. Вследствие этого синтезированные фильтры, как правило, дают множество откликов, расположенных в регулярной последовательности. Преимуществом машинных методов синтеза операционных фильтров является их универсальность.