Часто встречаются ситуации, в которых интересы игроков хотя и не совпадают, но уже не обязательно являются противоположными.
Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:
игрок А – может выбрать любую из стратегий А1, А2,…, Аm,
игрок В – любую из стратегий В1, В2,…, Вn.
При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне определенно:
если игрок А выбрал i-ю стратегию, а игрок В – k-ю стратегию, то в игре выигрыш игрока А будет равен некоторому числу , а выигрыш игрока В некоторому другому числу .
Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.
Последовательно перебирая стратегии обоих игроков можно заполнить их матрицы выигрышей. Таким образом, получим две платежные матрицы, отсюда и называние - биматричная игра.
Пример. Фирма А намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, которые контролируются более крупной фирмой В. С этой целью она проводит подготовительную работу, связанную с определенными затратами. Если фирма В разгадает, на каком рынке фирма А будет продавать свой товар, то она примет контрмеры и воспрепятствует “захвату” рынка (этот вариант означает поражение фирмы А); если нет, то фирма А одерживает победу. Предположим, что для фирмы А проникновение на первый рынок более выгодно, чем проникновение на второй, но и борьба за первый рынок требует от нее больших средств. Например, победа фирмы А на первом рынке приносит ей вдвое большую прибыль, чем победа на втором, но зато поражение на первом рынке полностью ее разоряет. Пусть для фирмы А ее победа на первом рынке оценивается в 2ед., а на втором рынке – в 1ед.; поражение фирмы А на первом рынке оценивается в 10 ед., а на втором – в-1 ед. Для фирмы В ее победа составляет соответственно 5и 1ед., а поражение -2и -1 ед.
В результате получаем биматричную игру с матрицами выигрышей
Решение. Существуют специальные методы решения биматричных игр, но мы воспользуемся способом решения матричной игры, разбив данную игру на две матричные.
1. Игра с матрицей
Решая эту игру графическим методом, найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока А (фирмы А) - { },
цену этой игры = – ,
а затем и оптимальную смешанную стратегию для игрока В - { }.
2. Игра с матрицей
Решая эту игру графическим методом, найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока В (фирмы В) - { },
цену этой игры = ,
а затем и оптимальную смешанную стратегию для игрока А - { }.
Таким образом, соответствующие смешанные стратегии игроков имеют следующий вид Р = { }, Q = { },
а средние выигрыши игроков таковы
HA = - , HВ = .
Замечание. Первые элементы полученных множеств являются координатами точки равновесия, в нашем случае это будет точка ( )
Ответ: Р ={ }, Q = { }, HA = - , HВ = .