Принятие решения в условиях риска характеризуется тем, что поведение среды имеет случайный характер, причем в этой случайности имеются закономерности стохастического типа.
Как известно из теории вероятностей, наиболее естественной числовой характеристикой случайной величины является ее математическое ожидание. Таким образом, в игре с природой ориентация на математическое ожидание выигрыша есть фактически ориентация на средний выигрыш, при многократном повторении этой игры. Однако при единичном испытании этот критерий должен быть трансформирован с учетом возможных отклонений случайной величины от ее среднего значения.
В теории вероятностей в качестве меры отклонения случайной величины от ее среднего значения обычно берется дисперсия или среднеквадратическое отклонение. При этом среднеквадратическое отклонение рассматривают как показатель риска. Тем самым получаем задачу двухкритериальной оптимизации, где в качестве критериев выступают М и .
Предпочтение альтернатив будем устанавливать по обобщенному критерию вида
q(М, ) = М – .
Пусть ) – некоторое множество альтернатив, каждая из которых характеризуется парой показателей ( ). Зафиксируем какие-то две альтернативы = ( ) и = ( ). Находим: q( )= - ,
q( )= - .
Возможны два случая:
а) Альтернативы сравнимы по Парето. Пусть, например,
Par
. Тогда и , значит, - - , т.е. q( ) q( ). Таким образом, независимо от меры несклонности принимающего решение к риску, альтернатива более предпочтительна, чем альтернатива .
б) Альтернативы несравнимы по Парето. Пусть, например, , тогда (т.е. больший ожидаемый выигрыш здесь всегда сопровождается большим риском). Условие - - равносильно тому, что λ .
Таким образом, в этом случае
, если λ ,
, если λ .
Положим = min { } – нижняя граница несклонности к риску, = max { } – верхняя граница несклонности к риску.
На основании б) для человека не склонного к риску, получаем правило.
ПРАВИЛА: а) Если у принимающего решение его субъективный показатель несклонности к риску меньше нижней границы, то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив по обобщенному критерию совпадает с ранжированием по показателю ожидаемого выигрыша (т.е. более предпочтительной будет альтернатива, для которой больше ожидаемый выигрыш).
б) Если у принимающего решение его субъективный показатель несклонности к риску больше верхней границы, то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив по обобщенному критерию совпадает с ранжированием по показателю риска ( более предпочтительной будет та альтернатива, для которой меньше риск).
Пример. Фирма может выпускать продукцию одного из следующих шести видов: зонты(З), куртки(К), плащи(П), сумки(С), туфли (Т), шляпы(Ш). Глава фирмы должен принять решение, какой из этих видов продукции выпускать в течение предстоящего летнего сезона. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето – дождливым, жарким или умеренным, и определяется по таблице. Выбор какого варианта производства будет оптимальным?
| Д | Ж | У | |
| З | |||
| К | |||
| П | |||
| С | |||
| Т | |||
| Ш |
Предположим, что вероятность дождливого, жаркого и умеренного лета равна соответственно 0,2; 0,5; 0,3. Найдем ожидаемые выигрыши, соответствующие имеющимся альтернативам:
Мз= 80
Мк= 70
Мп= 70
Мс= 50
Мт= 75
Мш= 35
Тогда используя формулу дисперсии получим:
Dз=196; Dк=336; Dп=61; Dс=84; Dт=100; Dш=231,5.
Среднеквадратические отклонения рассматриваемых случайных величин таковы:
= 14; 18,3; 7,8; 9,2; = 10; = 15,2 .
Представим рассматриваемые альтернативы точками на координатной плоскости переменных (М, ), получим рисунок, из которого находим Парето-оптимальное множество {З,П,Ш}.
M
.
0
Оптимальное решение можно найти с помощью обобщенного критерия
q(М, ) = М – .
Получим: q(З) = 58-14λ, q(С) = 56-9,2λ, q(К) = 58-18,3 λ,
q(Т) = 55-10λ, q(П) = 57-7,8λ, q(Ш) = 62,5-15,2λ.
Найдем нижнюю и верхнюю границы меры несклонности к риску.
Имеем:
= = 0,16; = 3,8;
= = 0,74.
Отсюда
= min (0.16; 3,8; 0,74) = 0,16, = mаx (0.16; 3,8; 0,74) = 3,8.
Таким образом, интервал (0, ) разбивается на три интервала: (0;0,16) – зона малой несклонности к риску (зона малой осторожности); (3,8; + ) – зона большой несклонности к риску (зона большой осторожности); [0,16; 3,8] – зона неопределенности.
Согласно правилу получаем:
1) Если для принимающего решение его мера несклонности к риску 0 λ 0,16, то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив совпадает с их ранжированием по величине ожидаемого выигрыша: Ш З≻П; при этом оптимальной будет альтернатива Ш;
2) Если для принимающего решение его мера несклонности к риску λ>3,8, то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив совпадает с их ранжированием по показателю риска:
П З≻Ш; при этом оптимальной будет альтернатива П.
Рассмотрим теперь случай, когда мера несклонности принимающего решение к риску попадает в зону неопределенности. Возьмем, например, λ=2. Тогда : q(З) = 58–14 , q(П) = 57–7,8 , q(Ш) = 62,5–15,2 = 32,1. Таким образом, в этом случае предпочтение для пары (З,Ш) определяется по величине ожидаемого выигрыша, а для пары (П, Ш ) – по величине риска.
Ответ:При λ > 3,8оптимальной будет альтернатива П; при 0 λ 0,16 – альтернатива Ш; в зоне неопределенности (например, λ=2) для пары (З,Ш) – альтернатива Ш, для пары (П,Ш) – альтернатива П.