Під перехідним динамічним, нестаціонарним процесом або режимом в електричних колах розуміється процес переходу кола з одного усталеного стану режиму в інший

Перехідні процеси в лінійних електричних колах

Вступ

Під перехідним (динамічним, нестаціонарним) процесом або режимом в електричних колах розуміється процес переходу кола з одного усталеного стану (режиму) в інший. При сталих, або стаціонарних, режимах у колах постійного струму напруги й струми незмінні в часі, а в колах змінного струму вони являють собою періодичні функції часу. Сталі режими при заданих і незмінних параметрах кола повністю визначаються тільки джерелом енергії. Отже, джерела постійної напруги (або струму) створюють у колі постійний струм, а джерела змінної напруги (або струму) –змінний струм тієї ж частоти, що й частота джерела енергії.

Перехідні процеси виникають при будь-яких змінах режиму електричного кола: при підключенні й відключенні кола, при зміні навантаження, при виникненні аварійних режимів (коротке замикання, обрив проводу й т.д.). Зміни в електричному колі можна представити у вигляді тих або інших перемикань, названих у загальному випадку комутацією. Фізично перехідні процеси являють собою процеси переходу від енергетичного стану, що відповідає докомутаційному режиму, до енергетичного стану, що відповідає після комутаційному режиму.

Перехідні процеси зазвичай протікають швидко: тривалість їх становить десяті, соті долі секунди. Порівняно рідко тривалість перехідних процесів досягає секунд і десятків секунд. Проте вивчення перехідних процесів досить важливо, тому що це дозволяє встановити, як деформується за формою й амплітудою сигнал, виявити перевищення напруги на окремих ділянках кола, які можуть виявитися небезпечними для ізоляції установки, збільшення амплітуд струмів, які можуть у десятки разів перевищувати амплітуду струму сталого періодичного процесу, а також визначати тривалість перехідного процесу. З іншого боку, робота багатьох електротехнічних пристроїв, особливо пристроїв промислової електроніки, заснована на перехідних процесах.

У загальному випадку в електричному колі перехідні процеси можуть виникати, якщо в колі є індуктивні і ємнісні елементи, які володіють здатністю накопичувати та віддавати енергію магнітного або електричного поля. За час перехідного процесу відбувається перерозподіл енергії між реактивними (індуктивними та ємнісними) елементами кола й зовнішніми джерелами енергії, під’єднаними до кола. При цьому частина енергії безповоротно перетвориться в інші види енергії (наприклад, у теплову на активному опорі).

Після закінчення перехідного процесу встановлюється новий усталений режим, що визначається тільки зовнішніми джерелами енергії. При відмиканні зовнішніх джерел енергії перехідний процес може виникати за рахунок енергії електромагнітного поля, накопиченої до початку перехідного режиму в індуктивних й ємнісних елементах кола.

Зміни енергії магнітного й електричного полів у момент комутації не можуть відбуватися миттєво, а, отже, не можуть миттєво протікати процеси в момент перемикання. Стрибкоподібна (миттєва) зміна енергії в індуктивному і ємнісному елементі приводить до необхідності накопичення нескінченно великої потужності , що практично неможливо, тому що в реальних електричних колах нескінченно великої потужності не існує.

Таким чином, перехідні процеси не можуть протікати миттєво, оскільки неможливо миттєво змінювати енергію, накопичену в електромагнітному полі кола. Теоретично перехідні процеси закінчуються за час . Практично ж перехідні процеси протікають швидко, і їхня тривалість зазвичай становить долі секунди. Оскільки енергія магнітного й електричного полівописується виразами

; W_Е =;

то струм в індуктивності й напруга на ємності не можуть змінюватися миттєво. На цьому засновані закони комутації.

Перший закон комутації полягає в тому, що струм у вітці з індуктивним елементом у початковий момент часу після комутації має те ж значення, яке він мав безпосередньо перед комутацією, а потім із цього значення він починає плавно змінюватися. Сказане зазвичай записують у вигляді , уважаючи, що комутація відбувається миттєво в момент .

Другий закон комутації полягає в тому, що напруга на ємнісному елементі в початковий момент після комутації має те ж значення, яке воно мало безпосередньо перед комутацією, а потім із цього значення воно починає плавно змінюватися: .

Таким чином, наявність вітки з індуктивністю, у колі до якого подається напруга, рівносильна розриву кола в цьому місці в момент комутації, тому що . Наявність у колі, до якого подається напруга, вітки, що містить розряджений конденсатор, рівносильна короткому замиканню в цьому місці в момент комутації, тому що .

Отже в електричному колі можливі перепади напруг на індуктивностях і струмів на ємностях.

В електричних колах тільки з резистивними елементами енергія електромагнітного поля не запасається, внаслідок чого в них перехідні процеси не виникають, тобто в таких колах стаціонарні режими встановлюються миттєво, стрибком.

У дійсності будь-який елемент кола має якийсь опір , індуктивність й ємність , тобто в реальних електротехнічних пристроях існують теплові втрати, обумовлені проходженням струму й наявністю опору , а також магнітні й електричні поля.

Перехідні процеси в реальних електротехнічних пристроях можна прискорювати або сповільнювати шляхом підбору відповідних параметрів елементів кола, а також за рахунок застосування спеціальних пристроїв.

 

1. КЛАСИЧНИЙ МЕТОД РОЗРАХУНКУ ПЕРЕХІДНИХ
ПРОЦЕСІВ

Задача дослідження перехідних процесів полягає в тому, щоб з'ясувати, за яким законом й як довго буде спостерігатися помітне відхилення струмів у вітках і напруг на ділянках кола від їхніх сталих значень. Так, наприклад, якщо в досліджуваній вітці деякого кола до комутації існував постійний струм , а в сталому режимі після комутації він став , то нас буде цікавити закон зміни перехідного струму між моментом комутації () і тим невідомим нам моментом часу , коли перехідний процес можна вважати завершеним.

При аналізі перехідних процесів в електричних колах приймають наступні припущення:

1. Рубильники включаються й розмикаються миттєво, без виникнення електричної дуги;

2. Час перехідного процесу, який теоретично триває нескінченно, обмежують умовною межею – тривалістю перехідного процесу; перехідний режим асимптотично наближається до нового режиму, що встановився;

3. Усталений режим після комутації розраховують при теоретичній умові , тобто коли після комутації минув нескінченно великий час.

Усталений режим до комутації розраховують зазвичай в припущенні, що до моменту комутації в колі закінчився попередній перехідний процес. Хоча іноді доводиться аналізувати перехідні процеси, які виникають у колі, коли попередній перехідний процес, викликаний колишніми комутаціями, ще не закінчився. Але це не змінює теоретичну постановку задачі.

Таблиця 1.1.

Зв'язок миттєвих значень напруг і струмівна елементах електричного кола

Рис. 1 Розглянемо заряд конденсатора для кола зображеного на рис.1,а. Електричний стан кола після комутації (рис.1,б)…

Вирази вільних складових загального розв’язку

Необхідно пам’ятати, що, оскільки в лінійному колі з часом вільна складова згасає, дійсна складова − коренів характеристичного рівняння, не… При дійсних коренях вільна складова перехідної функції монотонно згасає (при… Оскільки фізично коливальний процес пов'язаний з періодичним обміном енергій між магнітним полем котушки індуктивності…

Класичний метод розрахунку

Класичний метод аналізу застосовують зазвичай для аналізу процесів у нескладних електричних колах.

Алгоритм розрахунку перехідного процесу класичним методом

Порядок диференціального, отже, і характеристичного рівняння залежить від числа реактивних елементів наведеної схеми. Головні труднощі у вирішення… Для практичних цілей при аналізі перехідних процесів у будь-якій схемі… 1. Розрахувати режим до комутації (t= 0-). Визначити струми в вітках з індуктивністю й напруги на конденсаторах.…

Перехідні процеси в електричних колах з послідовно з'єднаними резисторами й котушками

У даному розділі передбачається не тільки практичне знайомство із класичним методом розрахунку перехідних процесів, але й з особливостями самих процесів у розглянутих задачах.

 

Коротке замикання в колі з резистором і котушкою

Досліджуємо електромагнітні процеси в колі, зображеної на рис. 2, що відбуваються після замикання ключа. Розрахуємо усталений режим у колі до комутації (до замикання ключа) і… .

Включення кола з резистором і котушкою на постійну напругу

Перехідний струм у колі, зображеного на рис. 4, представимо у вигляді . 1. До комутації струму в котушці не було, отже,

Включення кола з резистором і котушкою на синусоїдальну напругу

Рис. 6 Якщо напруга джерела кола (рис. 6) ,

Перехідні процеси в колі з послідовно включеними резисторами й

Конденсатором

Розряд конденсатора на резистор

Розглянемо перехідний процес при короткому замиканні в колі з конденсатором і резистором (рис. 8), якщо попередньо конденсатор був заряджений до… . Усталений струм через конденсатор і напруга на конденсаторі дорівнюють нулю. Для побудови характеристичного рівняння…

Включення кола з резистором і конденсатором на постійну напругу

Зі схеми, наведеної на рис. 10, випливає, що вимушена (стала) складова напруги на конденсаторі , а вільна складова дорівнює , .

Розряд конденсатора на ланцюг з резистором і котушкою

Рис. 13   Нехай у колі, зображеному на рис. 13, конденсатор був заряджений до напруги . Проведемо аналіз процесів в контурі,…

Складання характеристичного рівняння. Визначення власних частот кола

. Враховуючи те, що , одержуємо диференціальне рівняння другого порядку для… .

Аперіодичний розряд конденсатора на котушку й резистор

або , то корені характеристичного рівняння контуру дійсні, різні (), і від’ємні. У… ,

Граничний аперіодичний розряд конденсатора на котушку й резистор

При співвідношенні параметрів контуру з конденсатора, котушки й резистора , де – критичний опір резистора R, корені характеристичного рівняння контуру дійсні, рівні й від’ємні:

Періодичний (коливальний) розряд конденсатора на контур

З резистором і котушкою

При співвідношенні параметрів контуру із конденсатора, котушки й резистора , де – критичний опір кола, коре ні характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

Включення контуру з конденсатора, резистора, котушки на постійну напругу

Рис. 16

Розглянемо електромагнітні процеси, що виникають після замикання ключа в колі, зображеному на рис. 16 у припущенні, що конденсатор був попередньо не заряджений, тобто u(0_-) = 0. Характеристичне рівняння й вид його коренів будуть такими ж, як й у колі, розглянутому в п. 6.

Аперіодичний процес

Між розрядом конденсатора на резистор з котушкою й включенням на постійну напругу контуру (див. рис. 16) існує аналогія. Так само, як при розряді… дорівнює . Тобто знаки постійних інтегрування А1 й А2 на відміну від… ;

Коливальний процес

Рис. 18  

Зв'язок миттєвих значень напруг і струмів

На елементах електричного кола

Аналіз перехідних процесів проводять шляхом розв’язання диференціальних рівнянь, складених для досліджуваного електричного кола на основі законів… Рис. 1 Розглянемо заряд конденсатора для кола зображеного на рис.1,а. Електричний стан схеми після комутації (рис.1,б).…

Вирази вільних складових загального розв’язку

Необхідно пам’ятати, що, оскільки в лінійному колі з часом вільна складова згасає, дійсна складова − коренів характеристичного рівняння, не… При дійсних коренях вільна складова перехідної функції монотонно згасає (при… Оскільки фізично коливальний процес пов'язаний з періодичним обміном енергією між магнітним полем котушки…

Задача 1

Дано: На вхід кола з опором R= 1000 Ом подається напруга U=25 B. Визначити індуктивність та струм у колі, якщо відомо, що в деякий момент струм приймає значення .

Рис.2

Розв’язання:

Запишемо рівняння електричної рівноваги для заданого кола за другим законом Кірхгофа:

Розв’язок цього рівняння представимо у вигляді:

.

До комутації струму в котушці не було, отже,

.

Стала складова струму після комутації

.

Вільну складову струму, знаходимо з розв’язання однорідного диференціального рівняння першого порядку, записаного для кола за першим законом Кірхгофа:

Це рівняння описує процесс в скомутованому колі без джерел енергії (вільний процес). Оскільки джерела енергії відсутні, то вільний процесс – згасаючий.

Складемо характеристичне рівняння. Пам’ятаємо, що характеристичне рівняння складається для пошуку вільної складової перехідного струму. Для отримання характеристичне рівняння будь-якого диференційного рівняння, в даному випадку рівняння кола без джерел енергії (вільний режим), необхідно в ньому замінити на .

.

Оскільки, p – реальний, то розв’язок знаходимо у вигляді:

З початкових умов визначимо постійну інтегрування А і вільну складову струму:

або

; ;

Закон змінення струму через індуктивність має вигляд:

.

Визначимо сталу часу. Оскільки в момент часу струм приймає значення , підставимо значення у вираз для та визначимо сталу часу τ:

;

c.

Величину індуктивності знаходимо з характеристичного рівняння:

Гн.

Струму у колі змінюється за законом:

Задача 2

Дано: U=30 B R= 1 Ом R1=2 Ом L=2 Гн t1=2 c   Визначити:

Рис. 3

Розв’язання:

Для визначення закону зміни струму через індуктивність необхідно провести аналіз перехідного процесу в колі (рис. 3) для двох випадків:

– ключ розімкнений ;

– ключ замкнений .

I.

Диференційне рівняння для даного електричного кола (після першої комутації) за ІІ законом Кірхгофа має вигляд

Розв’язок цього рівняння знаходимо у вигляді: .

Проведемо розрахунок усталеного режиму до комутації (t=0-).

Проведемо розрахунок усталеного режиму після комутації (t→∞).

Визначимо вільні складові перехідних функцій. Вільний процес являє собою умовний процес, який протікає при відсутності джерел енергії за рахунок накопиченої до комутації енергії на реактивних елементах. Рівняння енергетичного балансу в колі, яке описує вільний процес (рис. 4, а), являє собою однорідне диференційне рівняння:

.

Існують два способи одержання характеристичного рівняння та визначення його коренів.

Перший спосіб полягає у виконання заміни на p у однорідному диференційному рівнянні. У нашому випадку, для використання заміни, рівняння необхідно іще раз про диференціювати:

Отже, корені будемо шукати як

та .

Другий спосіб називається методом “вхідного опору”. Для цього в після комутаційній схемі вилучаємо всі джерела енергії (вільний режим) та заміняємо jω на р (отримали операторну схему заміщення). Розриваємо коло у точках а­­–б (рис. 4, б) та записуємо вираз для вхідного опору відносно точок розриву.

а) б)

Рис. 4

 

Порівнюючи вирази характеристичного рівняння та його корені, отримані двома способами, приходимо до висновку, що вони ідентичні.

Отже, вільна складова струму

.

Визначимо постійну інтегрування А. Для цього знайдемо значення струму у момент комутації (t=0), застосувавши у даному випадку І закон комутації:

.

Запишемо вираз перехідного струму для першого випадку: .

Для момент комутації (t=0):

Перехідний струм через індуктивність:

.

 

 

II. t₁≤ t ≤ ∞

Після замикання ключа змінюється опір схеми. Диференційне рівняння для новоутвореного електричного кола (після другої комутації) за ІІ законом Кірхгофа має вигляд

Усталена складова перехідного струму до комутації (t=-0):

.

В момент другої комутації (t=t₁) через індуктивність протікає струм

Проведемо розрахунок усталеного режиму після комутації (t→∞).

Однорідне диференційне рівняння, для визначення вільної складової струму, має вигляд:

.

Електричне коло, якому відповідає дане рівняння зображене на рис. 5, а.

На рис. 5, б зображена операторна схема заміщення для одержання характеристичного рівняння та визначення його коренів p.

 

 

а) б) Рис. 5

Отже, вільна складова струму

 

Перехідний струм після другої комутації:

.

Визначимо постійну інтегрування А Для момент комутації (t=0):

Перехідний струм через індуктивність у випадку замикання ключа:

.

 

Рис. 6

 

Задача 3

Дано: U=24 B R1=100 Ом R2=200 Ом C=50 мкФ Визначити: –?

Рис. 7

Розв’язання:

До комутації (t=0-) коло було розімкнене, отже струм не протікав і ємність – розряджена:

Згідно з другим законом комутації: , отже у початковий момент часу (t=0) опір закорочений, і в колі протікає струм

Пам’ятаємо, що перехідна функція складається з двох складових: вимушеної та вільної.

Вимушену складову знаходимо з розрахунку усталеного режиму після комутації.

Після комутації струм протікає до моменту повного заряду ємності, після чого ємність струму не пропускає і:

Складемо характеристичне рівняння скориставшись методом вхідного опору. Такому рівнянню відповідає вираз вхідного опору, для після комутаційної схеми без джерел енергії, прирівняний нулю:

Рис. 8.

Запишемо загальні вирази для перехідних величин та визначимо постійні інтегрування згідно нульових умов:

Отже, кінцевими виразами перехідних функції є:

Перевірку правильності проведення розрахунків здійснюємо за законами Кірхгофа.

Визначимо час t₁. Оскільки

.