Динамические характеристики СИТ

Динамический режим характеризуется такими изменениями информативного или неинформативного параметра входного сигнала, влияющей величины, сигнала управления, помехи или структуры СИТ за время проведения измерительного эксперимента, которые влияют на результат измерения (оценку измеряемой величины).

Динамическая характеристика СИТ – это метрологическая характеристика, отражающая связь информативного параметра выходного сигнала СИТ с информативным или неинформативным параметром его входного сигнала или влияющей величиной.

При работе в динамическом режиме СИТ удобно представлять в виде динамической системы – взаимосвязанной совокупности отдельных элементов – динамических звеньев. Динамическое звено представляет собой устройство, для которого существует уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе , как показано на рис. 6.2.

Рисунок 6.2 – Динамическое звено

Такое уравнение представляется в символьном виде

где – оператор детерминированной системы, охватывающий соответствующие математические и логические операции, необходимые для осуществления преобразования в .

В общем случае уравнение динамики СИТ оказывается нелинейным. Такие СИТ называют нелинейными. В целях упрощения теории нелинейные уравнения заменяют линейными, которые приблизительно описывают динамические процессы в СИТ. Получаемая при этом точность в большинстве случаев оказывается достаточной для решения технических задач.

К линеаризованному СИТ можно применить принцип суперпозиции: реакция СИТ на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

Это позволяет, например, систему с двумя входами и и одним выходом разложить на два звена, каждое из которых имеет один вход (или ) и один выход (или ) (рис. 6.3). Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением поведения СИТ и звеньев с одним входом и одним выходом.

Рисунок 6.3 – Принцип суперпозиции сигналов

СИТ, работающие в статическом режиме, описываются статическими МХ, однако при изменении входного сигнала в таких СИТ возникает переходный процесс. Смысл переходного процесса – это согласование энергетического состояния взаимодействующих элементов СИТ с резко изменившимися входным сигналом.

Переходный процесс завершается установившимся состоянием, наступающим после последнего изменения входного сигнала, при котором затухающей частью переходного процесса можно пренебречь. В линейных системах формально переходный процесс длится бесконечно, поскольку выходной сигнал приближается к установившемуся значению асимптотически. Поэтому с практической точки зрения между переходным и установившимся режимами работы СИТ существует размытая граница. Возможность пренебрежения частью переходного процесса целиком определяется необходимой точностью результата измерения. На практике считается, что переходный процесс закончился в момент, когда отклонение выходного сигнала СИТ от установившегося значения не превышает заданного предела, например 3 %.

Для классификации ДХ СИТ существует несколько признаков (рис. 6.4).

По отношению к тем или иным параметрам входного сигнала ДХ СИТ можно разделить на основные и дополнительные. Основныехарактеристики отражают связь информативного параметра выходного сигнала устройства с изменяющейся измеряемой величиной, дополнительные – изменения выходного сигнала в зависимости от изменения влияющей величины или неинформативного параметра входного сигнала. По существу, дополнительная характеристика представляет собой динамическую функцию влияния данной влияющей величины (или неинформативного параметра).

Рисунок 6.4 – Классификация ДХ СИТ

По способу определения все ДХ делятся на теоретические, получаемые в результате математического анализа физических процессов, протекающих в СИТ, и эмпирические, определяемые в результате проведения специального измерительного эксперимента.

По принципу полноты ДХ могут быть полными и частными.

Полной ДХ называется ДХ, которая однозначно определяет изменение информативного параметра выходного сигнала устройства при любом изменении во времени информативного или неинформативного параметра входного сигнала или влияющей величины. Такая ДХ полностью описывает принятую модель динамических свойств СИТ. В зависимости от области, в которой описываются полные ДХ, они подразделяются на временные (переходная и импульсная характеристики, дифференциальное уравнение) и частотные (комплексный коэффициент передачи и совокупность амплитудно–частотной и фазочастотной характеристик).

Частной ДХ называется характеристика, представляющая собой параметр или комплекс параметров полной ДХ СИТ или определяемые по ней параметр или функцию. К частным ДХ относятся характеристики, не отражающие полностью динамические свойства СИТ, но необходимые для выполнения измерений с требуемой точностью или для контроля однородности свойств СИТ данного типа. Примерами частной ДХ являются постоянная времени, собственная частота колебаний, время установления показаний СИТ и др.

Для линейных аналоговых СИТ с сосредоточенными параметрами полными характеристиками являются:

1) переходная характеристика (ПХ);

2) импульсная характеристика (ИХ);

3) комплексная частотная характеристика (амплитудно–фазовая характеристика (АФХ), комплексный коэффициент преобразования (передачи) СИТ);

4) совокупность амплитудно–частотной характеристики (АЧХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ) (для минимально–фазовых СИТ полной характеристикой является АЧХ);

5) передаточная функция;

6) дифференциальное уравнение.

ПХ СИТ – полная временная характеристика, представляющая собой отклик СИТ на испытательный сигнал в форме единичной ступенчатой функции (рис. 6.5 а)).

а) б)

Рисунок 6.5 – Единичная функция (а), дельта–функция (б)

При таком определении размерность ПХ соответствует размерности выходного сигнала СИТ, а погрешность ее определения включает погрешность воспроизведения единичного значения входного сигнала (или статического коэффициента преобразования).

Для удобства решения задач динамики и повышения точности получаемых результатов пользуются безразмерными (приведенными) ДХ.

Приведенная ПХ находится с помощью ступенчатого испытательного сигнала (произвольного уровня) путем деления мгновенных значений выходного сигнала СИТ на его установившееся значение

Установившееся значение при единичном ступенчатом испытательном сигнале соответствует и численно равно значению статического коэффициента преобразования , поэтому для этого случая выражение без учета размерности можно записать как

ИХ СИТ – полная временная характеристика, представляющая собой отклик СИТ на испытательный сигнал в форме дельта–функции причем . (рис. 6.5 б)).

Следует отметить, что дельта–функция физически нереализуема, поскольку невозможно получить на практике импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды. Поэтому на практике ее заменяют импульсом ограниченной площади с длительностью, достаточно малой для пренебрежения погрешностью, возникающей в результате такой замены.

Приведенная ИХ находится при помощи импульсного стандартного сигнала (произвольной амплитуды) путем деления мгновенных значений выходного сигнала СИТ на значение интеграла от него

Таким образом, размерность приведенной ИХ соответствует размерности частоты.

Значение при испытательном сигнале в виде дельта–функции численно равно значению статического коэффициента преобразования , поэтому без учета размерности выражение для можно записать в виде

Поскольку для линейных СИТ справедлив принцип суперпозиции, а дельта–функция связана с единичной функцией соотношениями

; ,

то для нулевых начальных условий справедлива следующая связь между приведенными импульсной и переходной характеристиками

; .

Комплексная частотная характеристика (АФХ, комплексный коэффициент преобразования (передачи)) СИТ – характеристика, представляющая собой зависящее от круговой частоты отношение преобразования Фурье выходного сигнала линейного СИТ к преобразованию Фурье его входного сигнала при нулевых начальных условиях

где – преобразование Фурье отклика СИТ на испытательный сигнал ;

– преобразование Фурье сигнала .

Приведенная комплексная частотная характеристика (частотная характеристика) СИТ – это ДХ СИТ, представляющая собой его АФХ, отнесенную к статическому коэффициенту преобразования СИТ

Нетрудно заметить, что АФХ имеет размерность статического коэффициента преобразования СИТ, а приведенная комплексная частотная характеристика безразмерна.

Если в качестве входного сигнала СИТ взять дельта–функцию, то его выходным сигналом будет импульсная характеристика. Отсюда следует связь между приведенной комплексной частотной характеристикой и приведенной ИХ. Комплексная частотная характеристика представляет собой преобразование Фурье приведенной ИХ СИТ

. (*)

Справедливо и обратное преобразование Фурье

Приведенная комплексная частотная характеристика как функция комплексного аргумента может быть представлена в алгебраической, показательной и тригонометрической форме

где – действительная (вещественная) часть (ВЧХ);

– мнимая часть (МЧХ);

– модуль (амплитуда) (АЧХ);

– фаза (аргумент) (ФЧХ).

Нормируемыми для СИТ являются АЧХ и ФЧХ.

Приведенная АЧХ – это характеристика, представляющая собой зависимость от частоты гармонических испытательных сигналов (рис. 6.6) амплитуды установившихся откликов на указанные сигналы, отнесенной к амплитуде испытательных сигналов и статическому коэффициенту преобразования

где – амплитуда отклика на испытательный сигнал : , – начальные фазы отклика и испытательного сигнала;

– амплитуда испытательного сигнала.

Рисунок 6.6 – Гармонический испытательный сигнал

Значение статического коэффициента преобразования СИТ определяется как отношение амплитуд установившихся откликов к амплитудам гармонических испытательных сигналов на нулевой частоте

Приведенная АЧХ может быть также определена как модуль приведенной комплексной частотной характеристики

ФЧХ – это частная ДХ СИТ, представляющая собой зависящую от частоты гармонического испытательного сигнала разность фаз между установившимся откликом СИТ и указанным сигналом

ФЧХ может быть определена как аргумент комплексной частотной характеристики

Между приведенной АЧХ и ФЧХ существует взаимосвязь, выраженная соотношением

Для минимально–фазовых СИТ взаимосвязь между приведенной АЧХ и ФЧХ определяется преобразованием Гильберта

Для практических расчетов более удобно следующее выражение ФЧХ минимально–фазового СИТ через АЧХ:

где .

ВЧХ имеет вид

МЧХ определяется выражением

Приведенная АФЧХ определяется как годограф (след движения конца) вектора , построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

Передаточная функция СИТ – полная ДХ СИТ, представляющая собой отношение преобразований Лапласа (при нулевых начальных условиях) его отклика и вызвавшего этот отклик испытательного сигнала

где – преобразование Лапласа отклика СИТ на испытательный сигнал ;

– преобразование Лапласа сигнала ;

– оператор Лапласа.

Приведенная передаточная функция СИТ определяется как отношение передаточной функции к статическому коэффициенту преобразования

Приведенная передаточная функция СИТ представляет собой преобразование Лапласа его приведенной импульсной характеристики

. (**)

Справедливо и обратное преобразование Лапласа

, .

Из выражений (*) и (**) видна взаимосвязь приведенной комплексной частотной характеристики и приведенной передаточной функции СИТ. Выражение для приведенной передаточной функции легко получить из выражения для приведенной комплексной частотной характеристики путем формальной замены оператора вращения на оператор Лапласа и наоборот.

Дифференциальным уравнением СИТ называется зависимость производных по времени выходного сигнала СИТ от производных его входного сигнала

где , – постоянные коэффициенты,

причем для реальных СИТ должно выполняться условие .

Следует отметить, что отношение коэффициентов равно статическому коэффициенту преобразования СИТ.

Заменяя оператор в этом выражении на оператор вращения или оператор Лапласа , можно получить выражение для комплексной частотной характеристики или передаточной функции СИТ

; .