Суммирование погрешностей

 

Погрешность измерения, как правило, вызывается разнообразными одновременно действующими причинами и поэтому может состоять из большого числа составляющих. Рассмотрим, как из этих составляющих , считаемых независимыми, формируется результирующая погрешность

.

Каждую из составляющих можно рассматривать как случайную величину, имеющую свой закон распределения. Очевидно, что закон распределения результирующей погрешности является композицией распределений составляющих . При этом математическое ожидание и дисперсия распределения результирующей погрешности являются суммами соответственно математических ожиданий и дисперсий составляющих :

; .

Известно, что каждая из составляющих включает в себя две компоненты – случайную и систематическую . Из вероятностного представления погрешности следует, что поскольку и , то

; .

Таким образом, при формировании результирующей погрешности систематические составляющие суммируются арифметически.

Случайные погрешности характеризуются своими границами . Границы случайной компоненты результирующей погрешности будут равны

.

Если известны не СКО случайных погрешностей, а их границы, то

.

Таким образом, границы суммарной погрешности будут определяться выражением

.

Значение доверительного коэффициента зависит от доверительной вероятности и вида суммарного распределения случайных составляющих погрешности , который зависит от числа случайных составляющих и законов их распределения.

 

Таблица 8.5 – Значения доверительного коэффициента для доверительной вероятности и вида суммарного распределения случайных составляющих погрешности

Законы распределения
Известны	для композиции законов распределения	для нормального закона
Нормальные	для нормального закона
Неизвестны (считаются равномерными)	для композиции равномерных законов распределения	для нормального закона

 

Для независимо от законов распределения , их композиция близка к нормальному закону, поэтому . Композиция нормальных законов распределения для любого также является нормальным распределением, поэтому

.

При неизвестном законе распределения считают, что любое значение погрешности на доверительном интервале равновероятно, поэтому закон распределения всех принимается равномерным. Для равномерного закона для , поэтому для

.

При доверительный коэффициент определяется для композиции равновероятных законов распределения, для которой при равных

.

При композиция дает треугольное распределение, при – параболическое распределение и т.д.

 

Таблица 8.6 – Значения коэффициентов для композиции равномерных законов

 

	0,9	0,95	0,99	0,9973
	1,675	1,901	2,204	2,332
	1,661	1,937	2,379	2,598
	1,658	1,94	2,445	2,73
(нормальный)	1,64	1,96	2,58

 

Если неизвестные законы распределения заданы границами , то при

,

где зависимость коэффициента от числа слагаемых и соотношения между погрешностями табулировано.

Лекция 9
Неопределенность измерений