Рис, 4. Система координат Гаусса для искривленной поверхности

 

В этой системе координат масштаб измерения по каждой из ее составляющих (V, U) меняется в соответствии с их кривизной, а расстояние между точками Р и Р' на поверхности сферы определяется уже на основе модификации теоремы Пифагора: (ds)2

= E(du)2+ 2 F du dv+ G (dv)2, где ds — бесконечно малое расстояние между точками Р и

Р', Е— коэффициент кривизны катета a, G — коэффициент кривизны катета b, F — коэффициент кривизны линии, соединяющей точки Р и Р' . В системе прямоугольных координат Декарта имеет место формула: (РР')2 = a2 + b2

Наряду с модификацией теоремы Пифагора К. Гауссом была доказана так называемая «великолепная теорема»: К= l/R1 • l/R2, где К— коэффициент кривизны, R2 — малый радиус окружности, касательной в точке определения кривизны пространства, R1 — большой радиус аналогичной окружности. Идея этой теоремы заключается в следующем. Для определения кривизны, например, поверхности в определенной точке из этой точки восстанавливают перпендикуляр

к данной поверхности. Эта линия называется нормальной вертикалью. Затем через данную нормальную вертикаль проводят множество плоскостей, которые пересекают данную поверхность самым различным образом. В каждой из этих плоскостей можно построить окружность с радиусом, равным одному из отрезков

на указанной выше вертикали. Эти окружности касаются поверхности в точке, где определяется ее кривизна. Среди этих окружностей всегда имеются две окружности. Одна с наименьшим радиусом, другая — с наибольшим радиусом. Радиусы этих окружностей определяют кривизну поверхности в данной точке именно совместно (произведение), а не по отдельности (рис. 5).