Б. Риман обобщил метод построения геометрии Гаусса с двух измерений на произвольное число измерений. Здесь речь идет об абстрактных математических построениях без привычных евклидовых треугольников, окружностей и подобного рода фигур геометрии Евклида. Вместо абстрактного понятия Гаусса о бесконечно малом масштабе измерения, но интуитивно представляемого
Б. Риман ввел более «прозаическое» в математическом смысле понятие индекса обозначений.
Индекс обозначений в геометрии Б. Римана позволяет в пространстве с произвольным числом измерений описать положение каждой точки этого пространства, не прибегая к наглядным представлениям. Следовательно, понятие пространства значительно расширило свое содержание. Можно говорить, например, о социальном пространстве и т. д. Предположим, что нам необходимо исследовать пространство поколений некоего гражданина S, имевшего детей. Если использовать индексы обозначений, тогда возможна следующая геометрия Римана (рис. 6).