Учебник ПО ЛОГИКЕ

А. Д. ГЕТМАНОВА

Учебник ПО ЛОГИКЕ

Москва 2000

Оглавление:

 

Глава I. Предмет и значение логики

§ 1. Мышление как предмет изучения логики

§ 2. Понятие о логической форме и логическом законе. Основные этапы развития логики и ее значение в познании

§ 3. Логика и язык

Глава II. Понятие

§ 1. Понятие как форма мышления

§ 2. Содержание и объем понятия

§ 3. Виды понятий

§ 4. Отношения между понятиями

§ 5. Определение понятий

§ 6. Деление понятий. Классификация

§ 7. Ограничение и обобщение понятий

§ 8. Операции с классами (объемами понятий)

Глава III. Суждение

§ 1. Общая характеристика суждения

§ 2. Простое суждение

§ 3. Сложное суждение и его виды

§ 4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке

§ 5. Отношения между суждениями по значениям истинности

§ б. Деление суждений по модальности

Глава IV. Основные законы (принципы) правильного мышления

§ 1. Понятие о логическом законе

§ 2. Законы логики и их материалистическое понимание

§ 3. Использование формально-логических законов в обучении

Глава У. Умозаключение

§ 1. Общее понятие об умозаключении

§ 2. Дедуктивные умозаключения

§ 3. Выводы из категорических суждений посредством их преобразования

§ 4. Простой категорический силлогизм

§ 5. Сокращенный категорический силлогизм (энтимема

§ 6. Сложные и сложносокращенные силлогизмы (полисиллогизмы, сори­ты, зпихейрема)

§ 7. Условные умозаключения

§ 8. Разделительные умозаключения

§ 9. Условно-разделительные (лемматические) умозаключения

§ 10. Непрямые (косвенные) выводы

8 11. Индуктивные умозаключения и их виды

§ 12. Виды неполной индукции

§ 13. Индуктивные методы установления причинных связей

§ 14. Дедукция и индукция в учебном процессе

§15. Умозаключение по аналогии и его виды. Использование аналогий в процессе обучения

Глава VI. Логические основы теория аргументации

§ 1. Понятие доказательства

§ 2. Прямое и непрямое (косвенное) доказательство

§ 3. Понятие опровержения

§ 4. Правила доказательного рассуждения. Логические ошибки, встречаю­щиеся в доказательстве и опровержении

§ 5. Понятие о софизмах и логических парадоксах

§ 6. Доказательство и дискуссия

Глава VII. Гипотеза

§ 1. Гипотеза как форма развития знаний

§ 2. Построение гипотезы и этапы ее развития

§ 3. Способы подтверждения гипотез

§ 4. Опровержение гипотез

§ 5. Примеры гипотез, применяющихся на уроках в школе

Глава УIII. Роль логики в процессе обучения

§ 1. Логическая структура вопроса

§ 2. К. Д. Ушинский и В. А. Сухомлинский о роли логики в процессе обу­чения в начальной школе

§ 3. Развитие логического мышления младших школьников

§ 4. Развитие логического мышления учащихся в средних и старших клас­сах на уроках литературы, математики, истории и других предметов

Глава IX. Этапы развития логики как науки я основные направления сов­ременной символической логики

§ 1. Краткие сведения из истории классической и неклассической логик

§ 2. Развитие логики в связи с проблемой обоснования математики

§ 3. Многозначные логики

§ 4. Интуиционистская логика

§ 5. Конструктивные логики

§ 6. Модальные логики

§ 7. Положительные логики

§ 8. Паранепротиворечнвая логика

 

* * *

Глава I ПРЕДМЕТ И ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ

 

Термин «логика» происходит от греческого слова logos, что значит «мысль», «слово», «разум», «закономерность», и исполь­зуется как для обозначения совокупности правил, которым под­чиняется процесс мышления, отражающий действительность, так и для обозначения науки о правилах рассуждения и тех формах, в которых оно осуществляется. Мы будем использовать термин «логика» в указанных двух смыслах. Кроме того, данный термин применяется для обозначения закономерностей объективного ми­ра («логика вещей», «логика событий»). Этот смысл термина «логика» выходит за пределы нашей книги.

Мышление изучается не только логикой, но и рядом других наук: психологией, кибернетикой, педагогикой и т. д., при этом каждая из них изучает мышление в определенном, присущем ей аспекте. Так, психология исследует мышление со стороны его побудительных мотивов, выявляет индивидуальные особенности мышленя. Кибернетику интересуют аспекты мышления, кото­рые связаны с быстрой и эффективной обработкой информации с помощью ЭВМ, взаимосвязь мышления и языка (естественного и искусственного), методы и приемы программирования, пробле­мы математического обеспечения ЭВМ и ряд других. Педагогика изучает мышление со стороны осуществления процесса познания в ходе обучения и воспитания подрастающего поколения. Физио­логию высшей нервной деятельности интересуют физиологичес­кие основы мышления: процессы возбуждения и торможения, происходящие в человеческом мозге как органе мышления.

С иных позиций изучает мышление логика. Она исследует мышление как средство познания объективного мира, те его формы и законы, в которых происходит отражение мира в про­цессе мышления. Поскольку процессы познания мира в полном объеме изучаются философией, логика является философской наукой.

Познание существует не в виде какого-то одного состояния, не как нечто статичное, а как процесс движения к объективной, полной, всесторонней истине. Процесс этот складывается из множества моментов, сторон, находящихся между собой в необ­ходимой связи.

Материалистическая диалектика, раскрывая содержание мо­ментов познания, устанавливает их взаимодействие и роль в ходе постижения истины. С позиций материалистической диалектики анализируется общественная природа познания, активный харак­тер познавательной деятельности людей. А мышление рассмат­ривается как в связи с пониманием истины (объективной, аб­солютной и относительной), так и в плане изучения методов и форм научного познания (например; рассматриваются акси­оматические методы, метод формализаций, математические ме­тоды, вероятностные методы, методы моделирования и ряд дру­гих).

Чтобы полнее выяснить значение логики как науки, необ­ходимо рассмотреть мышление как предмет изучения логики.

 

МЫШЛЕНИЕ КАК ПРЕДМЕТ ИЗУЧЕНИЯ ЛОГИКИ

Познание есть диалектический процесс отражения мира в со­знании людей. Это движение мысли от незнания к знанию, от неполного и неточного знания к… Люди познают мир не в силу врожденной любознательности. В основе познания мира… Научной теорией познания является теория отражения. Суть ее сводится к следующему. Вне нашего сознания существуют…

ПОНЯТИЕ О ЛОГИЧЕСКОЙ ФОРМЕ И ЛОГИЧЕСКОМ ЗАКОНЕ.

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ В ПОЗНАНИИ

 

Формальная логика — наука о законах и формах правильного мышления. В. С. Меськов пишет: «... предметом науки логики являются рассуждения, а сама она есть наука о рассуждениях. Задачей логики как науки является установление законов и пра­вил, которым подчиняются рассуждения»³. Рассуждения облека­ются в логическую форму и строятся в соответствии с логичес­кими законами. Выясним, что понимается под логической фор­мой и логическим законом.

Понятие логической формы

Структуру мысли, т. е. ее логическую форму, можно выра­зить при помощи символов. Выявим структуру (логическую форму) в трех следующих суждениях:… Два следующих условных суждения имеют одну и ту же форму: 1) «Если железо… Логические законы

Теоретическое и практическое значение логики

Особенно важно знание основ логики в процессе овладения новыми знаниями, в обучении, в ходе подготовки к занятию, при написании сочинения,… В настоящее время особое значение приобретает задача ра­ционального построения… Логика способствует становлению самосознания, интеллекту­альному развитию личности, помогает формированию у нее…

ЛОГИКА И ЯЗЫК

явился фундаментом в возникновении у людей сознания (в том числе мышления) и языка. Мышление неразрывно связано с язы­ком. Язык, по выражению К.… Функции естественного языка многочисленны и многогранны. Язык — средство… Язык является знаковой информационной системой, продук­том духовной деятельности человека. Накопленная информация…

Семантические категории

Суждения выражаются в форме повествовательных предложе­ний (например, «Киев — город», «Корова — млекопитающее»). В этих суждениях субъектами… К дескриптивным (описательным) терминам относятся: 1. Имена предметов — слова или словосочетания, обознача­ющие единичные (материальные или идеальные) предметы…

Глава II ПОНЯТИЕ

ПОНЯТИЕ КАК ФОРМА МЫШЛЕНИЯ

Признаки — это то, в чем предметы сходны друг с другом или отличны друг от друга. Свойства и отношения являются призна­ками. Предметы могут быть… Признаки бывают существенные и несущественные. В понятии отражается… Понятие — форма мышления, в которой отражаются сущест­венные признаки одноэлементного класса или класса однородных…

СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ ПОНЯТИЯ

 

Всякое понятие имеет содержание и объем. Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков одно­элементного класса или класса однородных предметов, отражен­ных в этом понятии. Содержанием понятия «ромб» является совокупность двух существенных признаков: «быть параллелог­раммом» и «иметь равные стороны».

Объемом понятия называют класс обобщаемых в нем пред­метов. Объективно, т. е. вне сознания человека, существуют раз­личные предметы, например животные. Под объемом понятия «животное» подразумевается множество всех животных, которые существуют сейчас, существовали ранее и будут существовать в будущем. Класс (или множество) состоит из отдельных объек­тов, которые называются его элементами. В зависимости от их числа множества делятся на конечные и бесконечные. Напри­мер, множество планет Солнечной системы конечно, а множест­во натуральных чисел бесконечно. Множество (класс) А называ­ется подмножеством (подклассом) множества (класса) В, если каждый элемент А является элементом В. Такое отношение между подмножеством А и множеством В называется отноше­нием включения класса А в класс В и записывается так:Это отношение вида и рода (например, класс «ель» входит в класс «дерево»).

Отношение принадлежности элемента а классу А записывает­ся так:(например, а — «Байкал» и А — «озеро»).

Классы А и В являются тождественными (совпадающими), еслии, что записывается как Закон обратного отношения между объемами ж содержаниями понятий

В этом законе речь идет о понятиях, находящихся в родо­видовых отношениях. Объем одного понятия может входить в объем другого понятия и составлять при этом лишь его часть. Например, объем понятия «моторная лодка» целиком входит в объем другого, более широкого по объему понятия «лодка» (составляет часть объема понятия «лодка»). При этом содержание первого понятия оказывается шире, богаче (содержит больше признаков), чем содержание второго. На основе обобщения такого рода примеров можно сформулировать следующий закон: чем шире объем у первого из двух понятий, тем уже его (первого понятия) содержание, и наоборот. Этот закон называется законом обратного отношения между объемами и содержаниями понятий. Он указыва­ет на то, что чем меньше информация о предметах, заключенная в понятии, тем шире класс предметов и неопределеннее его состав (например, «растение»), и наоборот, чем больше информация в понятии (например, «съедобное растение» или «съедобное злако­вое растение»), тем уже и определеннее круг предметов.

 

ВИДЫ ПОНЯТИЙ

Понятия можно классифицировать по объему и по содержа­нию. По объему понятия делятся на единичные, общие и пустые. Объем единичного понятия составляет одноэлементный класс (например, «великий… Среди общих понятий особо выделяют понятия с объемом, равным универсальному классу, т. е. классу, в который входят все…

Конкретные и абстрактные понятия

Абстрактными называются те понятия, в которых мыслится не целый предмет, а какой-либо из признаков предмета, взятый отдельно от самого предмета…  

Относительные и безотносительные понятия

Безотносительные — такие понятия, в которых мыслятся предметы, существующие самостоятельно, вне зависимости от другого предмета («дом», «человек»,…  

Положительные и отрицательные понятия

Если частица «не» или «без» («бес») слилась со словом и слово без них не употребляется (например, «ненастье», «бесчинство», «беспечность»,… Отрицательными называются те понятия, которые означают, что указанное качество…  

Собирательные и несобирательные понятия

Содержание несобирательного понятия можно отнести к каж­дому предмету данного класса, мыслимого в понятии («ручка», «река», «игрушка»). При этом… В суждениях (высказываниях) общие и единичные понятия могут употребляться как… В целях пояснения приведем следующие примеры.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ

Предметы мира находятся друг с другом во взаимосвязи и взаимообусловленности. Поэтому и понятия, отражающие предметы мира, также находятся в… Далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не име­ющие общих…  

Типы несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие

В отношении противоположности (контрарности) находятся объемы таких двух понятий, которые являются видами одного и того же рода, и притом одно из… В отношении противоречия (контрадикторности) находятся такие два понятия,… Понятия А и не-А также являются антонимами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ

Определение (или дефиниция) понятия есть логическая опера­ция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина. С помощью определения понятий мы в явной форме указыва­ем на сущность… В явном определении понятие, содержание которого надо раскрыть, называется определяемым понятием [definiendum…

Реальные и номинальные определения

определения. С помощью номинальных определений вводятся также новые термины, краткие имена… Путем номинальных определений вводятся и знаки, заменя­ющие термины. Например, «Конъюнкция обозначается знаками ^ или…

Использование определений; понятий в процессе обучения

Учитель, овладевая методикой преподавания своего предме­та, должен в первую очередь организовать работу с основными, опорными понятиями и законами,… Четкое определение понятия «культура» поможет устранить недостаток в знаниях… В целом перед учителями стоят такие задачи: добиваться от учащихся глубокого усвоения основных понятий курса,…

Правила явного определения. Ошибки, возможные в определении

чего возникают логические ошибки в определении. Типы этих логических ошибок: а) широкое определение, когда Dfd<Dfn. Такая ошибка содер­жится в следующих… б) узкое определение, когда Dfd>Dfh. Например, «Совесть — это осознание человеком ответственности перед самим собой…

Неявные определения

Контекстуальное определение позволяет выяснить содержа­ние незнакомого слова, выражающего понятие, через контекст, не прибегая к словарю для… Значения неизвестных в уравнениях даны в неявном виде. Если дано уравнение,… Индуктивные определения характеризуются тем, что определя­емый термин используется в выражении понятия, которое ему…

Определение через аксиомы

1. Никакой объект не предшествует сам себе. 2. Если х предшествует у, а у предшествует z, то х предше­ствует z. Так с помощью двух аксиом определены системы объектов вида « x предшествует у». Например, пусть объектами х, у...…

Приемы, сходные с определением понятий

Описание состоит в перечислении внешних черт предмета с це­лью нестрогого отличения его от сходных с ним предметов. Описание дает… Описания широко используются в художественной литературе (например, описание… При розыске преступников дается описание их внешности и в первую очередь особых примет, чтобы люди могли их опознать и…

Значение определений в науке и в рассуждении

Методологические требования к определению понятий и формально-логические правила определения, применяемые в единстве с конкретными знаниями,… Уточнение понятий и терминов, правильное раскрытие их содержания и объема… Без четкого однозначного определения каждого из этих тер­минов просто невозможно было бы обойтись. Приведем пример:…

ДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ

 

Деление — это логическая операция, посредством которой объем делимого понятия (множество) распределяется на ряд подмножеств с помощью избранного основания деления. Напри­мер, слоги делятся на ударные и безударные; органы чувств делят на органы зрения, слуха, обоняния, осязания и вкуса. Если с по­мощью определения понятия раскрывается его содержание, то с помощью деления понятия раскрывается его объем.

Признак, по которому производится деление объема понятия, называется основанием деления. Подмножества, на которые раз­делен объем понятия, называются членами деления. Делимое понятие — это родовое, а его члены деления — это виды данного рода, соподчиненные между собой, т. е. не пересекающиеся по своему объему (не имеющие общих членов). Приведем пример деления понятий: «В зависимости от источника энергии электро­станции делят на ГЭС, гелиоэлектростанции, геотермальные и ветровые ТЭС (к разновидностям ТЭС относят АЭС)»¹².

Объем понятия можно делить по различным основаниям деления в зависимости от цели деления, от практических задач. Но при каждом делении на некотором его уровне должно браться лишь одно основание. Так, например, мышцы в зависимости от места их расположения делят на мышцы головы, шеи, туловища, мышцы верхних конечностей и мышцы нижних конечностей. Мышцы делят по их форме и функции. В зависимости от формы мышцы делят на широкие, длинные, короткие, круговые. По функции различают мышцы — сгибатели, разгибатели, приводя­щие и отводящие мышцы, а также мышцы, вращающие внутрь и наружу.

 

Правила деления понятий

1. Соразмерность деления: объем делимого понятия должен быть равен сумме объемов членов деления. Например, высшие растения делятся на травы,… Нарушение этого правила ведет к ошибкам двух видов: а) неполное деление, когда перечисляются не все виды данного родового понятия. Ошибочными будут такие деления:…

Виды деления: по видообразующему признаку и дихотомическое деление

Можно привести массу примеров из школьных учебников, что свидетельствует о широком применении этой важной логической операции. При дихотомическом (двучленном) делении объем делимого понятия делится на два…

Классификация

Классификация является разновидностью деления понятия, представляет собой вид последовательного деления и образует развернутую систему, в которой каждый ее член (вид) делится на подвиды и т. д. От обычного деления классификация отличается относительно устойчивым характером. Если классификация науч­на, то она сохраняется весьма длительное время. Например, постоянно уточняется и дополняется классификация элементар­ных частиц, содержащая теперь уже более 200 их видов.

Для классификации обязательно выполнение всех правил, сформулированных относительно операции деления понятий.

Существует классификация по видообразующему признаку и дихотомическая. Приведем примеры классификации по видооб­разующему признаку:

а) зеркала классифицируются на плоские и сферические; сферические зеркала классифицируются на вогнутые и выпук­лые;

б) группы крови подразделяются на I, или И, или Ш, или IV;

в) классификация понятия «плод» такая (рис. 7).

Здесь мы видим сочетание двух видов классификации: по видообразующему признаку и дихотомической.

Очень важен выбор основания классификации. Разные основа­ния дают различные классификации одного и того же понятия, например понятия «рефлекс».

Классификация может производиться по существенным при­знакам (естественная) и по несущественным признакам (вспомо­гательная).

При естественной классификации, зная, к какой группе при­надлежит предмет, мы можем судить о его свойствах. Д. И. Ме­нделеев, расположив химические элементы в зависимости от их атомного веса, вскрыл закономерности в их свойствах, создав

Периодическую систему, позволившую предсказать свойства не открытых еще химических элементов.

Естественная классификация животных охватывает до 1,5 млн. видов, а классификация растений включает около 500 тыс. видов растений.

С точки зрения диалектики иногда нельзя установить резкие разграничительные линии, так как все развивается, изменяется и т. д. Каждая классификация относительна, приблизительна, она в огрубленной форме раскрывает связи между классифициру­емыми предметами. Существуют переходные формы, которые трудно отнести к той иди иной определенной группе. Иногда эта переходная группа составляет самостоятельную группу (вид). Например, при классификации наук возникают такие переходные формы, как биохимия, геохимия, физическая химия, космическая медицина, астрофизика и др.

 

Использование естественных классификаций в средней школе

В ходе изучения любого школьного предмета учащимся при­ходится иметь дело с классификацией. Проанализируем некото­рые из естественных классификаций, имеющихся в русском языке, в котором различаются части речи: самостоятельные, служебные и междометия. Самостоятельные части речи — это имя сущест­вительное, имя прилагательное, имя числительное, глагол, наре­чие, местоимение. Служебные части речи: предлоги, союзы, ча­стицы, модальные слова. Отдельную группу составляют меж­дометия. Итак, перечисляется 11 видов частей речи. В учебнике по русскому языку кроме этих 11 видов предусматриваются и переходные случаи. «Границы между отдельными разрядами слов очень подвижны: при изучении отдельных частей речи будут отмечены различные переходные случаи»¹⁶. Характеризуя осо­бенности естественной классификации, мы отмечали и наличие переходных (промежуточных) видов классифицируемых объек­тов. Хорошим средством наглядного представления классифика­ции выступают древовидные графы (или деревья). Вышеприве­денная классификация понятая «плод» была дана в форме древо­видного графа.

Примерами естественных классификаций, изучаемых в сред­ней школе, могут быть следующие: классификация зон раститель­ности, защитных окрасок животных, групп крови; геохронологи­ческая таблица временных эр (кайнозойская, мезозойская и др.) и периодов в каждой эре; классификация природных зон (тундра, тайга, лесостепь и др.); классификация направлений в литературе конца XIX — начала XX в.; видов и жанров искусства; типов ЭВМ; классификация систем нумераций; классификация нера­венств, видов плоских фигур, сферических тел (в математике); видов умозаключений, суждений, понятий (в логике) и многие другие.

Ни один школьный предмет не может обойтись без соответст­вующих классификаций. При этом и учителя, и учащиеся должны знать общие правила, соблюдение которых поможет избежать ошибок в конкретных классификациях.

Вспомогательная классификация — это распределение пред­метов по группам (классам) на основании их несущественных признаков. Она применяется для более легкого отыскания предме­та (или термина). Вспомогательная классификация не дает возмо­жности судить о свойствах предметов (например, список фами­лий, расположенных по алфавиту, алфавитный каталог книг, журнальных статей). Предметные или предметно-именные указа­тели, а также справочники лекарственных препаратов, располо­женные в алфавитном порядке, представляют примеры вспомога­тельных классификаций. Вспомогательная классификация исполь­зована при составлении списка наиболее употребительных назва­ний ярких звезд, расположенных по алфавиту. Примером вспомо­гательной классификации служит любой предметный указатель.

 

ОГРАНИЧЕНИЕ И ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЙ

Предположим, мы знаем, что некто — ученый, и хотим уточ­нить наши знания о нем. Уточняем: это русский ученый, выда­ющийся русский ученый-физиолог И.… Произведенная логическая операция есть операция ограниче­ния понятия. Приведем… Мы видим, что при ограничении происходит переход от поня­тия с большим объемом к понятию с меньшим объемом, т. е. от…

ОПЕРАЦИИ С КЛАССАМИ (ОБЪЕМАМИ ПОНЯТИЙ)

 

Операции с классами — это такие логические действия, кото­рые приводят нас к образованию нового (в общем случае) класса.

Существуют следующие операции с классами: объединение, пересечение, вычитание, дополнение.

 

Объединение («сложение») классов

Объединение (или сумма) двух классов — это класс тех элемен­тов, которые принадлежат хотя бы к одному из этих двух клас­сов¹⁷: Объединение обозначается:илиОбъединение класса четных чисел с классом нечетных чисел дает класс целых чисел. Объединив класс поэтов и класс советских поэтов, получим класс поэтов.

При выражении операции объединения классов пользуются обычно союзом «или» в не исключающем смысле. Например, говоря, что некто — член волейбольной или гимнастической сек­ции, мы не исключаем того, что этот человек может быть одно­временно членом обеих секций.

В языке существует и такое употребление союза «или», при котором этот союз понимается в строго разделительном смысле,

 

например: «Данный глагол первого или второго спряжения». Соответствующая операция над классами называется симмет­рической разностью и в наиболее интересном случае иллюстриру­ется графически так, как это изображено на рис. 8. Класс, состав­ляющий симметрическую разность классов А и В, на чертеже выделен штриховкой. Симметрическая разность не содержит об­щих членов классов А и В.

При объединении могут встретиться следующие 6 случаев (рис. 9—14).

 

Пересечение («умножение») классов

Общей частью, или пересечением, двух классов называется класс тех элементов, которые содержатся в обоих данных множе­ствах, т. е. это множество (класс) элементов, общих обоим мно­жествам¹⁸. Пересечение обозначаетсяили— пустое множество. При пересечении могут встретиться следующие 6 слу­чаев (рис. 15—20, где результат пересечения заштрихован).

Например, операция пересечения классов «школьник» (А) и «футболист» (В) заключается в нахождении таких людей, кото­рые одновременно являются и школьниками, и футболистами. Это изображено на рис. 17, где общая часть классов А и В за­штрихована.

Основные законы логики классов. Законы операций объединения и пересечения

1. Законы идемпотентности.

А + А = А. А х А = А.

В школьном курсе алгебры таких законов нет. В логике первый из этих законов означает следующее. Если мы к классу «дом» прибавим класс «дом», то получим класс «дом», т. е. домов не станет в два раза больше и объем понятия «дом» останется прежним.

2. Законы коммутативности. Эти законы существуют в алгеб­ре, в арифметике, в теории множеств и в логике классов.

А + В = В+А. А В=В А.

Если мы к классу «растение» прибавим класс «животное», то получим класс «организм»; тот же самый класс получим, если мы к классу «животное» прибавим класс «растение».

3. Законы ассоциативности. Они существуют в арифметике, алгебре, теории множеств и в логике классов.

(А+В) + С = А + (В+С). (A х B) х C=A х (B х С).

4. Законы дистрибутивности.

(A+B)C=(A х С)+(B х С). (A х B) + C=(A + С) х (B+С).

5. Законы поглощения. Этих законов нет в арифметике и в школьном курсе алгебры.

А + (А х В)=А. А х (А+В)=А.

Доказательство этих законов осуществляется графическим методом. Два закона поглощения для «сложения» и «умножения» клас­сов иллюстрируются графически на рис. 21 и 22.

Промежуточный результат изображен горизонтальной штри­ховкой. В первом законе поглощения он равен А В, а во вто­ром — равен А + В. Конечный результат изображен вертикаль­ной штриховкой; он равен классу А.

 

Вычитание классов

Рассмотрим два множества (класса) А и В, из которых В может и не быть частью А. Разностью множеств (классов) А и В на­зывается множество тех элементов класса А, которые не являют­ся элементами класса В. Разность обозначается А —В.

Могут встретиться следующие пять случаев (если классы А и В не пусты и не универсальны).

1-й случай (рис. 23). Класс А включает в себя класс В. Тогда разностью А — В будет заштрихованная часть А, т. е. множество тех элементов, которые не суть В. Например, если мы из множе­ства звуков русского языка (А) вычтем множество гласных звуков (В), то получим множество согласных звуков, изображенное на чертеже в виде заштрихованного кольца.

2-й случай (рис. 24). Разностью двух перекрещивающихся классов будет заштрихованная часть А. Например, разность мно­жеств «рабочий» (А) и «рационализатор» (В) даст множество рабочих, которые не являются рационализаторами.

3-й случай (рис. 25). Если класс А полностью включен в класс В и класс В полностью включен в класс А, то эти классы (множества) равны (тождественны). Тогда разность А -В даст пустой, или нулевой, класс, т. е. класс, в котором нет ни одного элемента. Например, если мы из класса «сосна» вычтем класс «сосна», то разность А—В будет равна пустому классу.

4-й случай (рис. 26). Класс А и класс В не имеют общих элементов.

 

Тогда разность А—В=А, так как всякий элемент класса А не является элементом класса В. Например, разность класса «стол» (А) и класса «стул» (В) равна классу «стол» (А).

В результате «вычитания» классов, соответствующих поняти­ям, находящимся в отношении противоположности [«низкий дом» (А), «высокий дом» (В)] или противоречия [«одушевленный предмет» (А), «неодушевленный предмет» (В)], разность А— В также равна А (рис. 27, 28).

5-й случай (рис. 29). Если объем класса А меньше объема класса В, то в результате вычитания получим пустой класс, так как нет элементов класса А, которые не являлись бы элементами класса В. Например, разность класса «личное местоимение» (А) и «местоимение» (В) дает пустой класс.

Для операции вычитания классов справедливы следующие законы:

 

В интерпретации логических алгебр посредством классов за­письобозначает включение класса А в класс В;обозна­чает эквивалентность классов (А тогда и только тогда, когда В ).

 

Дополнение к классу А

Дополнением к классу А называется класс А" который, будучи сложенным с А, дает рассматриваемую область предметов (эту область обозначим 1), а в пересечении с классом А даетт. е. для которогоОткуда А' = 1- А, поэтому

операцию дополнения к классу А можно рассматривать как частный случай операции «вычитания» (из универсального клас­са). Если от класса целых чисел (1) отнять класс четных чисел (А), то мы получим класс нечетных чисел (т. е. А" поскольку всякое целое число четное или нечетное и нет таких четных чисел, которые были бы нечетными). Графически это можно изобразить так, что заштрихованная часть будет обозначать дополнение к А, т. е. A' (рис. 30).

Для операции дополнения кроме указанных выше установ­лены и следующие законы:

 

Задачи к теме «Понятие»

I. Определить содержание, объем, подклассы объема и элементы объема в следующих понятиях (кавычки опущены): планета Со­лнечной системы; человек, проживший 205 лет; химический эле­мент; вольтметр; факультет педагогического института; закон Ома; материк; русалка; «парад» планет Солнечной системы в 1982 г.

II. Дать логическую характеристику следующим понятиям: мо­лодежный фольклорный ансамбль; Южный полюс; небрежность; газета «Труд»; качество; несовместимость; невежливость; неор­ганическое вещество; отсутствие должной предусмотрительно­сти.

III. Определить отношения между следующими понятиями:

1. Оказание помощи больному, неоказание помощи боль­ному.

2. Каменный дом, трехэтажный дом, одноэтажный дом, недо­строенный дом.

3. Уважение к старшему, неуважение к старшему.

4. Героизм, трусость.

5. Педагогический институт, биологический факультет.

6. Мать, дочь, бабушка, внучка, сестра.

7. Населенный пункт, город, город на Днепре, столица, город Украины.

8. Спутник планеты, естественный спутник, спутник Земли, Юпитер, спутник Юпитера, Луна.

9. Пожар, молния, стихийное бедствие, явление природы.

10. Пожар, причина пожара, взрыв атомной бомбы, поджог.

IV. Дать характеристику (указать вид, состав, правильность) сле­дующих определений:

1. Дентин — особое вещество, покрывающее зубы.

2. Наружное ухо — это ушная раковина.

3. Регенерация — процесс восстановления утраченных или поврежденных частей тела.

4. Жанр — устойчивая форма художественного произведения.

5. Мировоззрение писателя — система его взглядов на окру­жающий мир.

6. Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называет­ся правильной.

7. Архаизмы — это слова, вышедшие из употребления вслед­ствие замены их новыми.

8. Рука — орган и продукт труда.

9. Ботаника — наука, изучающая растения.

10. Кость — это орган, обладающий сложным строением.

11. Печень — это крупный орган массой около 1,5 кг.

12. Фразеология — раздел науки о русском языке, изуча­ющий смысловые и структурные особенности фразеологических единиц, их типы и функционирование в речи.

13. Круглый цилиндр можно получить, вращая прямоуголь­ник вокруг одной из его сторон, поэтому круглый цилиндр называется также цилиндром вращения.

14. Окончание—это изменяемая часть слова, с помощью которой образуется определенная грамматическая форма с конкретным грамматическим значением, выражающая грамматичес­кое подчинение данного слова другому слову.

15. Путь крови от левого желудочка через артерии, капил­ляры и вены всех органов тела до правого предсердия называется большим кругом кровообращения.

16. Футуризмом называют одно из декадентских художест­венных течений XX века.

17. Безличными называются предложения, сказуемое кото­рых не допускает при себе подлежащего.

18. Прямой речью называется точно воспроизведенная речь, переданная от лица того, кто ее произнес.

19. Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое делится каждое из них.

20. Шар можно получить, вращая полукруг (или круг) вокруг его диаметра.

V. Какие способы введения понятий использованы в приведен­ных ниже примерах (сравнение, различение, описание, характери­стика, разъяснение посредством примера)?

1. «Долг перед отечеством — святыня человека. От нас, от­цов и матерей, от воспитателей, зависит, чтобы каждый наш юный гражданин дорожил этой святыней, как дорожит честный человек своим добрым именем, достоинством своей семьи» (В. А. Сухомлинский).2. Гипофиз расположен в углублении основной кости, похо­жей на турецкое седло.

3. Сердце человека четырехкамерное. В состоянии относи­тельного покоя сердце ритмично сокращается примерно 70—75 раз в минуту. Сокращение обоих предсердий длится около 0,1 секунды. Масса сердца составляет примерно 300 граммов.

4. «Воспитание без дружбы с -ребенком, без духовной об­щности с ним можно сравнить с блужданием в потемках» (В. А. Сухомлинский).

5. Кровяная сыворотка — плазма, в которой уже нет фиб­риногена.

6. Природные компоненты — это горные породы и рельеф их поверхности, вода, воздух, растительность, животный мир и по­чва.

7. «Представьте себе непроходимый экваториальный лес. Ог­ромные деревья стоят, как древние крепости, воздушные мосты из лиан, похожие на толстый кабель, соединяют верхушки дере­вьев на головокружительной высоте. Здесь растут огромные яр­кие грибы, цветы с резким запахом.

Небольшие растения-паразиты ослепительной красоты при­строились на ветвях огромного дерева; постепенно они захваты­вают сетью своих корней весь ствол и медленно душат дерево, пока оно не погибнет» («По материкам и странам». М., 1981).

8. «В 90-летнем возрасте Поль С. Брэгг был силен, подвижен, гибок и вынослив, как юноша. Он ежедневно совершал 3-—5 км пробежки, много плавал, ходил в горы, играл в теннис, танцевал, совершал длительные пешеходные походы, занимался гантелями и гирями, увлекался серфингом — катанием на специальной до­ске в волнах океанского прибоя. Его рабочий день продолжался 12 часов, он не знал болезней и усталости, всегда был полон оптимизма, бодрости и желания помочь людям», — пишет Стив Шенкман¹⁹.

9. «Самый большой чистый самородок. «Приятный незнако­мец», найденный в Мольагуле, Виктория, Австралия, в 1869 г., весил 69,92 кг чистого золота» (Книга рекордов Гиннесса, 1988). VI. Дать характеристику (указать вид, состав, правильность) сле­дующих делений и классификаций. Указать на ошибки, если они имеются.

1. Местоимения по значению делятся на личные, возвратные, притяжательные, указательные, вопросительные, относительные, определительные, отрицательные, неопределенные.

2. Второстепенные члены предложения делятся по своему грамматическому значению на дополнения, определения и обсто­ятельства.

3. Клетки бывают шаровидные, дисковидные, призматичес­кие, кубические, веретенообразные и многогранные.

4. Скелет крыла птицы состоит из одной плечевой кости, двух костей предплечья — локтевой и лучевой — и нескольких костей кисти.

5. Железы делят на железы внешней секреции и железы внут­ренней секреции.

6. Семенные растения делятся на голосемянные и покрытосе­мянные.

7. В эволюции органического мира выделяют два вида от­бора: естественный и искусственный.

8. Щелочи делят на активные и малоактивные.

9. Часы делятся на наручные, настенные, настольные, башен­ные.

10. По назначению транспорт делится так (рис. 31).

11. Лучи делятся на ультрафиолетовые, видимые и инфра­красные.

12. По механическому составу почвы подразделяются на гли­нистые, суглинистые, супесчаные, песчаные.

13. Основными структурными элементами игры являются: игровой замысел, сюжет игры или ее содержание, игровые дейст­вия, роли, правила.

14. См. рис. 32.

15. Существует несколько видов тепловых двигателей: па­ровая машина, двигатель внутреннего сгорания, паровая тур­бина, газовая турбина, реактивный двигатель.

16. Игрушки делятся на образные, технические, игрушки-за­бавы, маскарадно-елочные, спортивно-моторные, музыкальные я озвученные, театральные, дидактические, строительный мате­риал, игрушки-самоделки.

VII. 1. Обобщить и ограничить следующие понятия: река; геоме­трическая фигура; город в Крыму; мораль; студенческий отряд; европеец.

2. Правильно ли проведены ограничения: строение — комна­та; строение — беседка; населенный пункт — столица — центр столицы — центр современной столицы?

VIII 1. Произвести операции над классами А, В, С, изображен­ными на рис. 33 (объединение, пересечение, вычитание).

2. Изобразить кругами Эйлера отношение между понятиями: колхозник, хлебороб, орденоносец. Произвести операции над объемами этих понятий (объединение, пересечение, вычитание); найти дополнение к каждому из этих классов и указать его универсум.

Глава III СУЖДЕНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СУЖДЕНИЯ

Примеры суждений: «Ледоколы существуют», «Советские альпинисты совершили восхождение на Эверест», «Киев больше Тулы», «Все феодалы — эксплуататоры»,… Традиционная логика является двузначной, так как в этой логике суждение имеет… В простом атрибутивном суждении имеются субъект, пре­дикат, связка и квантор. В суждениях «Некоторые электростан­ции…

Суждение и предложение

Вопросительные предложения не содержат в своем составе суждения, так как в них ничего не утверждается и не отрицается и они не истинны и не ложны.… Побудительные предложения выражают побуждение собесед­ника (читателя и других… Дейл Карнеги в книге «Как перестать беспокоиться и начать жить» дает много интересных советов. Приведем три из них. …

ПРОСТОЕ СУЖДЕНИЕ

 

Суждения бывают простые и сложные: последние состоят из нескольких простых. Суждение «Некоторые вулканы — действу­ющие» — простое, а суждение «Прозрачный лес один чернеет, и ель сквозь иней зеленеет, и речка подо льдом блестит» — сложное.

 

Виды простых суждений

2. Суждения с отношениями. В этих суждениях говорится об отношениях между предметами. Например, «Всякий протон тя­желее электрона», «Эльбрус выше… Формула, выражающая суждение с двухместным отношени­ем, записывается как аRb… 3. Суждения существования (экзистенциальные). В них утвер­ждается или отрицается существование предметов…

Объединенная классификация простых категорических суждений по количеству и качеству

В каждом суждении имеется количественная и качественная характеристика. Поэтому в логике применяется объединенная классификация суждений по количеству и качеству, на основе которой выделяются следующие 4 типа суждений.

А — общеутвердительное суждение. Структура его: «Все S есть Р». Например, «Все люди — позвоночные».

I — частноутвердительное суждение. Структура его: «Некото­рые S есть Р». Например, «Некоторые элементарные частицы имеют положительный заряд». Условные обозначения для утвер-дительных суждений взяты от слова affirmo — утверждаю (при этом берутся две первые гласные буквы: А — для обозначения общеутвердительного и I — для обозначения частноутвердитель-ного суждения).

Е — общеотрицательное суждение. Его структура: «Ни одно S не есть Р». Пример: «Ни один дельфин не является рыбой».

О — частноотрицательное суждение. Структура его: «Некото­рые S не есть Р». Например, «Некоторые люди не являются долгожителями». Условные обозначения для отрицательных суж­дений взяты от слова nego — отрицаю.

 

Распределенность терминов в категорических суждениях

Суждение А общеутвердительное. Его структура: «Все S есть Р». Рассмотрим два случая. 1-й случай. В суждении «Все караси — рыбы» субъектом явля­ется понятие «карась», а предикатом — понятие «рыба».…

СЛОЖНОЕ СУЖДЕНИЕ И ЕГО ВИДЫ

Сложные суждения образуются из простых суждений с помо­щью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Таблицы истинности этих логических связок следующие (табл. 2, 3).

Способы отрицания суждений

Отрицающими являются следующие пары суждений: 1. А— О. «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р».

Отрицание сложных суждений

Имеем: 1)2).4) Эти формулы называются законами ле Моргана. Применив их, получим:

ВЫРАЖЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗОК (ЛОГИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ) В ЕСТЕСТВЕННОМ ЯЗЫКЕ

Конъюнкция (знак «л») выражается союзами «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато», «однако», «не только..., но и» и др. В логике высказываний… В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции… В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с…

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СУЖДЕНИЯМИ ПО ЗНАЧЕНИЯМ ИСТИННОСТИ

Суждения, как и понятия, делятся на сравнимые (имеют об­щий субъект или предикат) и несравнимые. Сравнимые суждения делятся на совместимые и… В математической логике два высказывания р и q называются несовместимыми, если… Совместимые выражают одну и ту же мысль полностью или лишь в некоторой части. Отношения совместимости:…

ДЕЛЕНИЕ СУЖДЕНИЙ ПО МОДАЛЬНОСТИ

В логике мы до сих пор рассматривали простые суждения, которые называются ассерторическими, а также сложные сужде­ния, составленные из простых. В… В этих ассерторических суждениях не установлен характер связи между субъектом… О предмете А можно просто сказать, что он имеет свойство В (это будет ассерторическое суждение). Но можно сверх того…

ПОНЯТИЕ О ЛОГИЧЕСКОМ ЗАКОНЕ

Закон мышления — это необходимая, существенная, устойчи­вая, повторяющаяся связь между мыслями. Наиболее простые и необходимые связи между мыслями вы­ражаются в основных… Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются наиболее общими, лежат в…

ЗАКОНЫ ЛОГИКИ И ИХ МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОЕ ПОНИМАНИЕ

Закон тождества

(в логике высказываний) и (в логике классов, в которой классы отождествляются с объемами понятий). Схема закона тождества:. Если в нее вместоподставляются высказывания, то… Тождество есть равенство, сходство предметов в каком-либо отношении. Например, все жидкости теплопроводны, упруги.…

Закон непротиворечия

Поэтому если предмет А обладает определенным свойством, то в суждениях об А люди должны утверждать это свойство, а не отрицать его. Если же человек,… Нельзя смешивать формально-логические противоречия с диалектическими. Закон… Древнегреческий философ и ученый Аристотель считал «са­мым достоверным из всех начал» следующее: «...невозможно, чтобы…

Закон исключенного третьего

В двузначной традиционной логике закон исключенного третьего формулируется так: «Из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а… Отрицающими являются следующие пары суждений:  

Закон достаточного основания

Формулы этого закона нет, ибо он имеет только содержатель­ный характер. Иногда в книгах для выражения этого закона дается формула а -> b, однако… В двузначной символической логике имеются парадоксы ма­териальной импликации,… В качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные суждения, цифровой матери­ал,…

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ В ОБУЧЕНИИ

Ясность и однозначность употребления понятий и символов в математике требуют особого математического языка, краткого | и точного, с правилами,… Анализируя новую задачу, учащиеся должны ввести подходя­щие обозначения. Д.… Закон тождества требует изложения материала, как устного, так и письменного, ясным и простым языком. Учебник должен…

Глава V УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ОБ УМОЗАКЛЮЧЕНИИ

Формами мышления являются понятия, суждения и умозак­лючения. Опосредованно, с помощью многообразных видов умо­заключений, мы можем получать новые… Все углерода горючи. Алмаз — углерод. Алмаз горюч.

Понятие логического следования

Человек, не изучавший логику, делает эти выводы, не приме­няя сознательно фигур и правил умозаключения. Формальная логика знакомит с правилами… Логическое следствие из данных посылок есть высказывание, которое не может… Иными словами, некоторое выражение В есть логическое следствие из формулы А (где А и В — обозначения для различных по…

ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Определение дедуктивного умозаключения, данного в тради­ционной логике (т. е. Д1), — частный случай из этого определе­ния через логическое… Например, Все рыбы дышат жабрами. Все окуни — рыбы.

Понятие правила вывода

«о», то можно перейти к суждению вида «b». Это можно путем преобразований по правилув виде формулы записать так:Данная формула является законом… Логически правильно можно рассуждать о вопросах, относя­щихся к любым… Другая характерная черта логики, органически связанная с предыдущей, состоит в том, что всякий логический вывод из…

ВЫВОДЫ ИЗ КАТЕГОРИЧЕСКИХ СУЖДЕНИЙ ПОСРЕДСТВОМ ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

 

Непосредственными умозаключениями называются дедуктив­ные умозаключения, делаемые из одной посылки. К ним в тради­ционной логике относятся следующие: превращение, обращение, противопоставление предикату и умозаключения по «логичес­кому квадрату».

 

Превращение

Как уже отмечалось, по качеству связки («есть» или «не есть») категорические суждения делятся на утвердительные и отрица­тельные. Схема превращения: S есть Р.

Примеры

1. Суждение А общеутвердительное.

а) «Все параллельные прямые в геометрии Евклида суть пря­мые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек» (определение).

После обращения данное суждение переходит в такое: «Все прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, суть параллельные прямые в геометрии Евклида». Это чистое, или простое, обращение;

б) суждение А «Все ели — деревья» обращается с ограничени­ем: «Некоторые деревья есть ели».

2. Суждение Е общеотрицательное.

Так как в нем всегда и S и Р распределены, то его обращение чистое, или простое.

«Ни одна трапеция не является равносторонней фигурой». «Ни одна равносторонняя фигура не является трапецией».

3. Суждение I частноутвердительное. Два случая обращения:

а) обращение чистое, если S и Р не распределены. Например, суждение «Некоторые растения являются ядовитыми» при об­ращении дает следующее суждение: «Некоторые ядовитые ор­ганизмы являются растениями»;

б) когда объем Р меньше объема S, т. е. Р распределен, a S не распределен, как, например, в суждении «Некоторые музыкан­ты — композиторы», то при обращении имеем суждение: «Все композиторы являются музыкантами».

4. Суждение О частноотрицательное.

Применяя операцию обращения, мы не получим необходимые выводы. Так, например, из истинного частноотрицательного суж­дения «Некоторые животные не являются собаками» путем об­ращения нельзя получить истинного суждения.

 

Противопоставление предикату

Его схема: S есть Р. не-Р не есть S.

Фигуры категорического силлогизма

Примеры: 1. Все злаки (М) — растения (Р). 2. Все ужи (Р) — пресмыкающиеся (М).

Особые правила фигур

I фигура. Большая посылка должна быть общей, меньшая — утвердительной.

II фигура. Большая посылка общая и одна из посылок, а также заключение отрицательные.

III фигура. Меньшая посылка должна быть утвердительной, а заключение — частное.

IV фигура. Общеутвердительных заключений не дает.

 

Модусы категорического силлогизма

Всего правильных модусов в четырех фигурах 19. I фигура имеет следующие правильные модусы (буквы обо­значают последовательно… II фигура имеет правильные модусы: АЕЕ, АОО, ЕАЕ, ЕIО. Умозаключение 2 построено по модусу АЕЕ.

Правила категорического силлогизма

Категорические силлогизмы в мышлении встречаются весьма часто. Для того чтобы получить истинное заключение, необ­ходимо брать истинные посылки и соблюдать перечисленные ниже правила категорического силлогизма (так же как и особые правила фигур категорического силлогизма, перечисленные ра­нее).

 

I. Правила терминов

  Движение вечно. Хождение в институт — движение.

СОКРАЩЕННЫЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ (ЭНТИМЕМА)

Энтимемой, или сокращенным категорическим силлогизмом, называется силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или заключение. Термин «энтимема» в переводе с греческого языка означает «в уме», «в мыслях».… Восстановив энтимему до полного категорического силлогиз­ма, имеем:

СЛОЖНЫЕ И СЛОЖНОСОКРАЩЕННЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ (ПОЛИСИЛЛОГИЗМЫ, СОРИТЫ, ЭПИХЕЙРЕМА)

Полисиллогизмом (сложным силлогизмом) называются два или несколько простых категорических силлогизмов, связанных друг с другом таким образом, что… становится посылкой другого. Различают прогрессивные и ре­грессивные… В прогрессивном полисиллогизме заключение предшествующе­го силлогизма становится большей посылкой последующего…

Формализация эсихейрем с общими посылками

Схема эпихейремы, содержащей лишь общие и утвердитель­ные высказывания, обычно записывается следующим образом:   Все А суть С, так как А суть В.

УСЛОВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Чисто условным умозаключением называется такое опосред­ствованное умозаключение, в котором обе посылки являются условными суждениями. Условным…   Если a, то b Схема:

Условно-категорические умозаключения

Оно имеет два правильных модуса, дающих заключение, с не­обходимостью следующее из посылок.   I. Утверждающий модус (modus ponens).

РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

 

Разделительным называется умозаключение, в котором одна или несколько посылок — разделительные (дизъюнктивные) суж­дения. Существуют чисто разделительные и разделительно-кате­горические умозаключения.

В чисто разделительном умозаключении обе (или все) посыл­ки являются разделительными суждениями.

В традиционной логике принята следующая его структура:

 

S есть А, или В, или С.

А есть или А₁, или A₂.

________________________

S есть или А₁, или A₂, или В, или С.

 

В первом разделительном суждении каждое из трех простых суждений: S есть A, S есть В, S есть С — называется альтер­нативой. Из суждения «S есть А» образуются еще две альтер­нативы, которые составляют два члена новой дизъюнкции.

Например:

 

Всякая философская система есть или идеализм, или материализм.

Идеалистическая система является или объективным, или субъективным идеализмом.

________________________________________________________________________________________

Всякая философская система есть или объективный идеализм, или субъектив­ный идеализм, или материализм.

 

В разделительно-категорическом умозаключении одна посыл­ка — разделительное суждение, другая — простое категоричес­кое суждение. Этот вид умозаключения содержит два модуса.

I модус — утверждающе-отрицающий (modus ponendo tollens).

 

Данный глагол может стоять или в настоящем, или в прошедшем, или в будущем

времени.

Данный глагол стоит в настоящем времени.

_____________________________________________

Данный глагол не стоит ни в будущем, ни в прошедшем времени.

 

Заменив конкретные высказывания в посылках и заключении переменными, получим запись этого модуса (с двумя членами дизъюнкции) в терминах символической логики в виде правила вывода:

В этом модусе союз «или» употребляется в смысле строгой дизъюнкции. Формулы, соответствующие этому модусу, имеют вид:

1)

Обе эти формулы выражают законы логики.

Если в этом модусе союз «или» взят в смысле нестрогой дизъюнкции, то формулы (3) и (4), сооветствующие этому моду­су, не будут выражать закон логики.

3)Доказательство формул (1) и (3) дано в табл. 10.

Ошибки происходят из-за смешения в этом модусе соедините­льно-разделительного и строго разделительного смысла союза «или». Нельзя, например, рассуждать таким образом:

 

Учащиеся в контрольной работе по математике допускают или вычислитель­ные ошибки, или ошибки в эквивалентных преобразованиях, или ошибки в приме­нении изученных алгебраических правил.

Учащийся Сидоров допустил в контрольной работе вычислительные ошибки.

_________________________________________________________________________________________

Сидоров не допустил в работе ни ошибок в эквивалентных преобразованиях, ни ошибок в применении изученных алгебраических правил.

 

Заключение не является истинным суждением, так как Сидо­ров мог допустить все три вида ошибок.

II модус — отрицающе-утверждающий (modus tollendo ponens). Приведем пример.

 

Минеральные удобрения бывают или азотными, или фосфорными, или калий­ными.

Данное минеральное удобрение не является ни азотным, ни фосфорным.

_____________________________________________________________________

Данное минеральное удобрение является калийным.

 

Приведем второй пример. Для этого воспользуемся рас­сказом «Пестрая лента» А. Конан Дойла. Шерлок Холмс рас­сказал Уотсону: «Вначале я пришел к совершенно неправильным выводам, мой дорогой Уотсон, — и это доказывает, как опасно опираться на неточные данные. Присутствие цыган, слово «бан­да», сказанное несчастной девушкой, — всего этого было до­статочно, чтобы навести меня на ложный след. Но когда мне стало ясно, что в комнату невозможно проникнуть ни через дверь, ни через окно, что не оттуда грозит опасность обитателю этой комнаты, я сразу понял свою ошибку, и это может послу­жить мне оправданием. Как я уже говорил вам, внимание мое сразу привлекли вентилятор и шнур от звонка, висящий над кроватью. Когда обнаружилось, что звонок фальшивый, а кро­вать прикреплена к полу, у меня сразу зародилось подозрение, что шнур служит лишь мостом, соединяющим вентилятор с кроватью. Мне сразу пришла мысль о змее, а зная, как доктор любит окружать себя всевозможными индийскими тварями, я понял, что, пожалуй, напал на верный след. Именно такому хитрому, жестокому злодею, прожившему много лет на Востоке, могло прийти в голову употребить яд, который нельзя об­наружить химическим путем».

Отрицающе-утверждающий модус (для случая двучленной разделительной посылки) в виде правила вывода в алгебре логи­ки может бытьзаписан следующим образом:

Логический союз «или» здесь может употребляться в двух смыслах: как строгая дизъюнкция (v) и как нестрогая дизъюнк­ция (v), т. е. характер дизъюнкции на необходимость заключе­ния по этому модусу не влияет.

Выводы по этому модусу выражаются четырьмя формулами, которые являются законами логики:

1) 2)

 

Можно привести относительно новую разновидность струк­туры разделительно-категорического умозаключения, построен­ного по отрицательно-утверждающему модусу. Например, в рас­сказе Агаты Кристи «Двойная улика» мистер Пуаро расследует похищение ряда драгоценностей из коллекции Хардмана (жем­чужины, рубины, изумрудное ожерелье). Подозрение могло ка­саться четверых. Вот их диалог, в котором сформулировано умозаключение:

«— Понимаю, — произнес задумчиво Пуаро. — И вы безого­ворочно ему доверяете?

— У меня не было причин для недоверия.

— Мистер Хардман, кого вы сами подозреваете из этой чет­верки?

— О, мсье Пуаро, что за вопрос! Ведь я вам уже сказал, что это мои друзья. Я ни одного из них не подозреваю или, если вам угодно, — всех в одинаковой мере.

— Не могу с вами согласиться. Я уверен, что вы кого-то из них подозреваете. Это не графиня Росакова, Это не мистер Паркер. Кто же тогда: леди Ранкорн или мистер Джонстон?»

Обязательным условием при выводах по разделительно-кате­горическому умозаключению является соблюдение правила о том, что в разделительной посылке должны быть предусмот­рены все возможные альтернативы, т. е. деление должно быть полным. Это правило для отрицающе-утверждающего модуса обязательно.

 

Пожар мог произойти или в результате небрежного обращения с огнем, или в результате поджога, или по причине неисправной электропроводки.

Данный пожар не произошел ни в результате небрежного обращения с огнем, ни по причине неисправной электропроводки.

___________________________________________________

Данный пожар произошел в результате поджога.

Заключение не достоверное, а вероятное, так как в первой разделительной посылке перечислены не все возможные причины возникновения пожара (например, в результате взрыва или в ре­зультате загорания от молнии и т. д.).

 

УСЛОВНО-РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ (ЛЕММАТИЧЕСКИЕ) УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

 

Условно-разделительное умозаключение — это такое умоза­ключение, в котором одна посылка состоит из двух или более условных суждений, а другая является разделительным суждени­ем. В зависимости от числа членов в разделительной посылке это умозаключение может быть дилеммой (если разделительная по­сылка содержит два члена), трилеммой (если разделительная посылка содержит три члена) и вообще полилеммой (число раз­делительных членов больше двух).

 

Формализация дилеммы

Дилеммы бывают двух видов: конструктивные и деструктив­ные; обе формы дилеммы в свою очередь могут быть простыми и сложными.

 

Простая конструктивная дилемма

В традиционной формальной логике простую конструктив­ную дилемму обычно представляют в виде следующей схемы:   Если А есть В, то С есть D; если Е есть F, то С есть D.

Сложная конструктивная дилемма

Этот вид дилеммы значительно чаще встречается в мышлении людей, в сознании литературных героев, исторических деятелей, поэтому мы приведем пример из… Т. Тэсс в рассказе «Поединок в море» описывает такую ситу­ацию. Танкер… Перед капитаном встала очень сложная дилемма:

Сложная деструктивная дилемма

Если А есть В, то С есть D; если Е есть F, то К есть М. С не есть D или К не есть М. ___________________________

Трилемма

  Если у больного грипп, то рекомендуется обратиться к врачу; если у больного … острое респираторное заболевание, то рекомендуется обратиться к врачу; если у больного ангина, то рекомендуется…

Сокращенные условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения

Категорический силлогизм в мышлении часто употребляется в сокращенной форме — в форме энтимемы. Сокращенными мо­гут быть не только простые категорические силлогизмы, но и условные, и разделительные, и условно-разделительные умоза­ключения, в которых может быть пропущена либо одна из посы­лок, либо заключение. Рассмотрим типы таких сокращенных умозаключений.

1. В умозаключении заключение в явном виде может не формулироваться. «Если данное тело — металл, то оно при на­ревании расширяется. Данное тело — металл». Заключение Данное тело при нагревании расширяется» не формулируетсяв явном виде, а просто подразумевается в этом условно-катего­рическом умозаключении.

В приводимом ниже разделительно-категорическом умозак­лючении также пропущено заключение. «Многоугольники делят­ся на правильные и неправильные. Данный многоугольник непра­вильный». Заключение «Данный многоугольник не является пра­вильным» опущено; оно легко может быть восстановлено.

В дилеммах и трилеммах заключение также может явно не формулироваться, а подразумеваться. Например, в приведенной ниже сложной деструктивной дилемме заключение явно не при­сутствует:

«Если соблюдать правила хранения зерна, то не произойдет его самозагорания, а если организовать хорошую охрану зернохранилища, то не произойдет умышленного поджога. Данный пожар произошел либо от самозагорания зерна, либо от умыш­ленного поджога». Заключение — «В данном зернохранилище либо не соблюдаются правила хранения зерна, либо не налажена охрана» — подразумевается, а не высказывается в явной форме.

2. В умозаключении пропущена одна из посылок. В умозак­лючениях может быть пропущена первая посылка; она может подразумеваться, если выражает известное положение, теорему, закон и т. д.

В условно-категорическом умозаключении «Сумма цифр дан­ного числа делится на 3, следовательно, данное число делится на 3» опущена первая посылка, формулирующая известную матема­тическую закономерность: «Если сумма цифр данного числа делится на 3, то все число делится на 3».

В приводимом ниже разделительно-категорическом умозак­лючении также пропущена первая посылка: «Существительное в русском языке может быть женского, мужского или среднего рода», а все умозаключение сокращенно формулируется так: «Данное существительное русского языка не является сущест­вительным ни женского рода, ни среднего рода. Следовательно, данное существительное мужского рода».

В приведенном ниже примере сложной конструктивной дилем­мы: «Если я пойду через болото, то могу попасть в трясину, а если я пойду в обход, то не успею вовремя доставить донесение. Следовательно, я могу попасть в трясину или не успею вовремя доставить донесение» — вторая посылка не формулируется, а лишь подразумевается: «Я могу идти через болото или в обход».

Можно было бы привести и другие примеры сокращенных умозаключений: чисто условных, условно-категорических, чисто разделительных, разделительно-категорических, условно-разде­лительных (дилемм, трилемм) с пропущенной первой или второй посылкой, — но предоставляем это самостоятельно сделать чи­тателю.

Итак, рассмотренные нами прямые выводы, такие, как чисто условные, чисто разделительные, условно-категорические, разде­лительно-категорические и условно-разделительные (лемматические) умозаключения, сформулированные полностью и сокра­щенные (т. е. в которых пропущена либо одна из посылок, либо заключение), широко используются в процессе научного и обы­денного мышления, в процессе обучения в школе и в вузе. Поэто­му знание правил построения этих видов умозаключений пре­достережет от логических ошибок в мышлении, поможет до­казательнее, аргументированнее строить свои рассуждения и сде­лать более эффективным обучение учащихся и студентов.

Прямые выводы кроме рассмотренных выше форм включают и такие виды:

1. Простая контрапозиция.

Правило простой контрапозиции имеет следующий вид:

Это правило читается так: «Если а имплицирует b, то отрица­ние b имплицирует отрицание а». Здесь а и b— переменные, обозначающие произвольные высказывания, или пропозицио­нальные переменные.

Пример:

1. Если данный треугольник равносторонний, то он равноугольный.

____________________________________________________________________

Если данный треугольник не равноугольный, то он не равносторонний.

 

2. Если это вещество фосфор, то оно непосредственно с водородом не сое­диняется.

_____________________________________________________________________________________

Если вещество непосредственно с водородом соединяется, то это вещество не является фосфором.

 

Заметим, что в логике высказываний

Формуланазывается законом простой контрапозиции.

2. Сложная контрапозиция.

— правило сложной контрапозиции.

Пример рассуждения по правилу сложной контрапозиции:

 

Если у меня будут деньги и я буду здорова, то я поеду домой на каникулы.

________________________________________________________________________

Если у меня были деньги и я не поехала на каникулы домой, то, следовательно, а не была здорова.

 

3. Правило импортации (конъюнктивного объединения условий). П. С. Новиков называет его правилом соединения посылок:

Это правило читается так: «Если а имплицирует, что b имп­лицирует с, то а и b имплицируют с».

В. А. Сухомлинский писал: «Если учитель стал другом ребен­ка, если эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему-то светлому, разумному, в сердце ребенка никогда не появится зло». На основании правила соединения посылок (пра­вила конъюнктивного объединения условий) мы можем это вы­сказывание В. А. Сухомлинского записать иначе, но оно будет эквивалентно прежнему его высказыванию. Заключение: «Если учитель стал другом ребенка и эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему-то светлому, разумному, то в сердце ребенка никогда не появится зло».

4. Правило экспортации (разъединения условий):

Это правило читается так: «Если а и b имплицируют с, то а имплицирует, что b имплицирует с. Правило это обратно предыдущему. Поэтому в качестве иллюстрации можно взять те же мысли В. А. Сухомлинского, только сначала прочитать наше полученное заключение, из которого можно прийти к высказыва­нию самого В. А. Сухомлинского.

 

НЕПРЯМЫЕ (КОСВЕННЫЕ) ВЫВОДЫ

 

К ним относятся: рассуждение по правилу введения имплика­ции; сведение «к абсурду»; рассуждение «от противного» (проти­воречащего).

1. Рассуждение по правилу введения импликации.

Правило вывода сформулировано так:

Данное правило читается так: «Если из посылок гамма (Г) и посылки а выводится заключение b, то из одних посылок Г выводится, что а имплицирует b». Это правило вывода имеет и другое название: «Теорема о дедукции». Здесь «Г» может быть и пустым множеством посылок.

Приведем пример рассуждения студента, поясняющий приве­денное правило. Пусть Г содержит следующие посылки: 1) «Я сдал экзамен по педагогике на «отлично»; 2) «Я сдал экзамен по логике на «отлично»; 3) «Я сдал экзамен по математике на отлично». Посылка а означает: «Я успешно выполнил всю порученную мне работу на факультете». Заключение b означает: «Я получу повышенную стипендию». То, что записано над чертой, будет содержательно прочитано так: «Если я сдал экзамены по педагогике, логике и математике на «отлично» и успешно выполнил всю порученную мне работу на факультете, то из этого последует заключение: «Я получу повышенную стипендию». То, что записано под чертой, содержательно можно прочитать так: Я сдал экзамены по педагогике, логике и математике на «отлич­но». Отсюда следует заключение: «Если я успешно выполню всю порученную мне работу на факультете, то я получу повышенную стипендию».

2. Правило сведения к абсурду. Это правило иначе называется правилом введения отрицания.

Правило читается так: «Если из посылок Г и посылки а выво­дится противоречие, т. е. b и не-b, то из одних Г выводится не-а». Метод сведения к абсурду широко применяется в мышлении, как научном, так и в полемическом и в обыденном.

В классической двузначной логике метод сведения к абсурду выражается в виде формулы:— противоречие или ложь.

Эта формула говорит о том, что суждение а надо отрицать (считать ложным), если из а вытекает противоречие.

Определение отрицания посредством сведения к абсурду, про­тиворечию широко используется не только в классической, но и в неклассических логиках: в многозначных, конструктивных и интуиционистской.

3. Правило непрямого вывода — рассуждение «от противно­го» (противоречащего). Доказательство «от противного» приме­няется тогда, когда нет аргументов для прямого доказательства. Методом «от противного» нередко доказываются математичес­кие теоремы.

Суть рассуждения «от противного» подробно будет показана в теме «Доказательство», в разделе «Косвенное доказательство».

Итак, мы рассмотрели правила прямых и непрямых (косвен­ных) выводов и убедились, что они широко применяются в мыш­лении. При этом было показано, как та или иная форма прямого или косвенного вывода наполняется конкретным содержанием, взятым из областей педагогики, математики, физики, этики и других областей науки и обыденного мышления, а также из опыта преподавания в средней школе.

ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ И ИХ ВИДЫ

Логическая природа индукции

В определении индукции в логике выявляются два подхода. 1. В традиционной (не в математической) логике индукцией назы­вается умозаключение от знания… Общее в природе и обществе не существует самостоятельно, до и вне отдельного,… Полной индукцией называется такое умозаключение, в кото­ром общее заключение о всех элементах класса предметов…

Математическая индукция

Математическая индукция используется при выведении ряда формул арифметической и геометрической прогрессии, формул бинома Ньютона и др.  

ВИДЫ НЕПОЛНОЙ ИНДУКЦИИ

Неполная индукция применяется в тех случаях, когда мы, во-первых, не можем рассмотреть все элементы интересующего нас класса явлений; во-вторых,… По способам обоснования заключения неполная индукция делится на три вида.  

II вид. Индукция через анализ и отбор фактов

С древности на основании многолетних наблюдений люди заметили, что серебро очищает питьевую воду. Соли серебра добавляли в составы, которыми лечили…  

Понятие вероятности

Субъективная вероятность позволяет анализировать особен­ности субъективной, познавательной деятельности людей в усло­виях неопределенности.… Условия повышения степени вероятности выводов посред­ством индукции через… 1) количество исследованных экземпляров данного класса должно быть достаточно большим. Например, репрезентатив­ным…

III вид. Научная индукция

Причиной излечивания этих болезней при длительном голода­нии является изумительная саморегуляция организма во время полного лечебного голода, когда… Применение научной индукции позволило сформулировать научные законы, например… Научная индукция опирается не столько на большое число исследованных фактов, сколько на всесторонность их анализа и…

ИНДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ УСТАНОВЛЕНИЯ ПРИЧИННЫХ СВЯЗЕЙ

 

Понятие причины и следствия

Причинная связь является всеобщей, так как все явления, даже случайные, имеют свою причину. Случайные явления подчиняют­ся статистическим… Причинная связь является необходимой, ибо при наличии причины действие…  

Методы установления причинной связи

Метод сходства. Допустим, требуется выяснить причину ка­кого-то явления а. Исходя из определения причины как явления или совокупности явлений,… Таблица 11 Случаи появления события а Предшествующие обстоятельства Наблюдаемое явление …

ДЕДУКЦИЯ И ИНДУКЦИЯ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

Как в любом процессе мышления (научного или обыденного), так и в процессе обучения дедукция и индукция взаимосвязаны. «Индукция и дедукция связаны… В процессе обучения индуктивный и дедуктивный методы используются в единстве.… Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам фор­мулирует общее суждение, выражающее какое-то правило, закон,…

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО АНАЛОГИИ И ЕГО ВИДЫ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛОГИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

Термин «аналогия» означает сходство двух предметов22 (или двух групп предметов) в каких-либо свойствах или отношениях. Умозаключение по аналогии —… Аналогия — умозаключение о принадлежности предмету определенного признака (т.… Посредством аналогии осуществляется перенос информации с одного предмета (модели) на другой (прототип). Посылки…

Строгая аналогия

Предмет А обладает признаками а, b, с, d, e. Предмет В обладает признаками а, b, с, d. Из совокупности признаков а, b, с, d необходимо следует е.

Нестрогая аналогия

Примерами нестрогой аналогии являются, в частности, следу­ющие: испытание модели корабля в бассейне и заключение о том, что настоящий корабль будет… Для повышения степени вероятности заключений по нестро­гой аналогии следует… 1) число общих признаков должно быть возможно большим;

Ложная аналогия

Подобную ошибку совершали в XIX в. сторонники вульгар­ного материализма Л. Бюхнер, К. Фохт и Я. Молешотт, которые, проводя аналогию между печенью и… Обобщим сказанное о строгой, нестрогой и ложной аналоги­ях. Если Р (а)=1, т.… Итак, рассмотрены три вида аналогии в зависимости от хара­ктера выводного знания, т. е. по степени достоверности…

Использование аналогий в процессе обучения

На уроках истории учащиеся встретятся с применением ис­торических параллелей и аналогий. В науке встречается много аналогий: одни из них дают… Ложные аналогии нередко встречаются в мышлении. Напри­мер, некоторые считают,… На уроках физики используются в основном строгие анало­гии, дающие истинное заключение. Известно, что единство…

ПОНЯТИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Доказательство и аргументация тесно связаны, но не тождест­венны. Аргументация — способ рассуждения, включающий доказате­льство и опровержение,… Форма аргументации и форма доказательства также не со­впадают полностью. Форма аргументации, так же как и форма…

ПРЯМОЕ И НЕПРЯМОЕ (КОСВЕННОЕ) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательства по форме делятся на прямые и непрямые (косвенные). Прямое доказательство идет от рассмотрения ар­гументов к доказательству тезиса, т.… Широко используется прямое доказательство в статистичес­ких отчетах, в… А к нам идет угрюмая зима:

ПОНЯТИЕ ОПРОВЕРЖЕНИЯ

Опровержение — логическая операция установления ложно­сти или необоснованности ранее выдвинутого тезиса. Опровержение должно показать, что: 1) неправильно постро­ено само… Суждение, которое надо опровергнуть, называется тезисом опровержения. Суждения, с помощью которых опровергается тезис,…

II. Критика аргументов

Ложность аргументов не означает ложности тезиса: тезис может оставаться истинным. Нельзя достоверно умозаключать от отрицания основания

III. Выявление несостоятельности демонстрации

Обнаружив ошибки в ходе демонстрации, мы опровергаем ее ход, но не опровергаем сам тезис. Доказательство же истинности тезиса обязан дать тот, кто… Часто все перечисленные способы опровержения тезиса, ар­гументов, хода…  

ПРАВИЛА ДОКАЗАТЕЛЬНОГО РАССУЖДЕНИЯ.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОШИБКИ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ И ОПРОВЕРЖЕНИИ

Если будет нарушено хотя бы одно из перечисленных ниже правил, то могут произойти ошибки, относящиеся к доказыва­емому тезису, аргументам или к… I. Правила, относящиеся к тезису 1. Тезис должен быть логически определенным, ясным и точ­ным.

Ошибки, совершаемые относительно доказываемого тезиса

2. «Довод к человеку». Ошибка состоит в подмене доказатель­ства самого тезиса ссылками на личные качества того, кто выдви­нул этот тезис. Например,… В научных работах иногда вместо конкретного анализа ма­териала, изучения… Разновидностью «довода к человеку» является ошибка, назы­ваемая «довод к публике», состоящая в попытке повлиять на…

II. Правила по отношению к аргументам

1. Аргументы, приводимые для доказательства тезиса, долж­ны быть истинными.

2. Аргументы должны быть достаточным основанием для доказательства тезиса.

3. Аргументы должны быть суждениями, истинность которых доказана самостоятельно, независимо от тезиса.

 

Ошибки в основаниях (аргументах) доказательства

2. «Предвосхищение оснований». Эта ошибка совершается тог­да, когда тезис опирается на недоказанные аргументы, последние же не доказывают тезис, а… 3. «Порочный круг». Ошибка состоит в том, что тезис обосно­вывается…  

III. Правила к форме обоснования тезиса (демонстрации) и ошибки в форме доказательства

Тезис должен быть заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений или полученным в соответствии с правилами косвенного доказательства.

 

Ошибки в форме доказательства

В качестве примера логической ошибки мнимого следования Б. А. Воронцов-Вельяминов в своем учебнике «Астрономия» указал на широко распространенное… 2. От сказанного с условием к сказанному безусловно. Ар­гумент, истинный… Нарушение правил умозаключений (дедуктивных, индуктивных, по аналогии)

ПОНЯТИЕ О СОФИЗМАХ И ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСАХ

Непреднамеренная ошибка, допущенная человеком в мышле­нии, называется паралогизмом. Преднамеренная ошибка (как уже не раз отмечалось), совершаемая с… Математические софизмы собраны в целом ряде книг9. Так, Ф. Ф. Нагибин… 5=1. Желая доказать, что 5=1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим…

Понятие о логических парадоксах

Парадокс «куча». Разница между кучей и не кучей — не в одной песчинке. Пусть у нас есть куча (например, песка). Начинаем от нее брать каждый раз по… Парадокс «лысый» аналогичен парадоксу «куча», т. е. разница между лысым и не…  

Парадоксы теории множеств

Примерами таких парадоксов являются «каталог всех нормальных каталогов», «мэр города», «генерал и брадобрей» и др. Парадокс «мэр города» состоит в следующем: каждый мэр города живет или в своем… Парадокс «генерал и брадобрей» состоит в следующем: каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого солдата.…

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ДИСКУССИЯ

Роль доказательства в научном познании и дискуссиях сводит­ся к подбору достаточных оснований (аргументов) и к показу того, что из них с логической… Правила ведения дискуссии можно показать на примере про­ведения диспута.… Диспуты могут быть спланированы заранее или возникать экспромтом (в походе, после просмотра кинофильма и т. д.). В…

Глава VII ГИПОТЕЗА

 

ГИПОТЕЗА КАК ФОРМА РАЗВИТИЯ ЗНАНИЙ

В науке, обыденном мышлении мы идем от незнания к зна­нию, от неполного знания к более полному; нам приходится выдвигать и затем обосновывать… Гипотеза — это научно обоснованное предположение о при­чинах или взаимосвязях… Научно обоснованные предположения (гипотезы) надо отли­чать от плодов беспочвенной фантазии в науке. В письме,…

Виды гипотез

Общая гипотеза — это научно обоснованное предположение о причинах, законах и взаимосвязях природных и общественных явлений, а также закономерностях… Частная гипотеза — это научно обоснованное предположе­ние о причинах,… Частные гипотезы создаются для выяснения причин возник­новения закономерностей у некоторого подмножества элементов…

ПОСТРОЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ И ЭТАПЫ ЕЕ РАЗВИТИЯ

Гипотезы строятся тогда, когда возникает потребность объяс­нить ряд новых фактов, которые не укладываются в рамки известных ранее научных теорий или… Следующей задачей является синтез фактов и формулировка гипотезы. Гипотеза не… В процессе построения и подтверждения гипотеза проходит несколько этапов (разные авторы приводят 2, 3, 4 или 5…

СПОСОБЫ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ ГИПОТЕЗ

1. Самый действенный способ подтверждения гипотезы — обнаружение предполагаемого объекта, явления или свойства, которое служит причиной… Примерами могут служить открытие планеты Нептун, об­наружение ряда островов в… 2. Основной способ подтверждения гипотез — выведение сле­дствий и их верификация.

ОПРОВЕРЖЕНИЕ ГИПОТЕЗ

Опровержение гипотез осуществляется путем опровержения (фальсификации) их следствий. При этом может обнаружиться, что многие или все необходимые… Опровержение гипотез происходит в форме отрицающего мо­дуса (modus tollens)… Структура опровержения гипотезы такова:

ПРИМЕРЫ ГИПОТЕЗ, ПРИМЕНЯЮЩИХСЯ НА УРОКАХ В ШКОЛЕ

 

Велика роль гипотезы в познании. Законы науки и теории до их подтверждения прошли стадию гипотезы. Поэтому учитель, излагая естественно-научные теории, должен показать и стадии, предшествовавшие доказательству теории. Ученые неоднократно подчеркивали огромную роль гипотез. М. В. Ломоносов писал, что гипотезы представляют единственный путь, которым вели­чайшие люди дошли до открытия самых важных истин.

Рассказывая о роли гипотезы в познании, учителя физики и химии смогут привлечь большой и интересный материал из этих наук. Мы проиллюстрируем способ ознакомления учащихся при изучении этих дисциплин в школе лишь некоторыми приме­рами как классических, так и современных гипотез.

На уроках физики учитель будет рассказывать о К. Э. Циол­ковском — основоположнике теории космических полетов. В 1903 г. К. Э. Циолковский опубликовал свою замечательную работу «Исследование мировых пространств реактивными при­борами», которая, по словам академика С. П. Королева, опреде­лила его жизненный и научный путь. В этой работе К. Э. Циол­ковский сформулировал гипотезу: «Центробежная сила уравнове­шивает тяжесть и сводит ее к нулю» — таков путь к космическим полетам. «Вычисления могли указать мне и те скорости, которые необходимы для освобождения от земной тяжести и достижения планет»⁹ (обратим внимание на то, что в качестве фактов К. Э. Циолковский использует результаты математических рас­четов). «Почти вся энергия Солнца пропадает в настоящее время бесполезно для человечества, ибо Земля получает в два (точнее, в 2,23) миллиарда раз меньше, чем испускает Солнце.

Что странного в идее воспользоваться этой энергией! Что странного в мысли овладеть и окружающим земной шар бес­предельным пространством...»¹⁰

На уроках физики учитель приведет научные сведения об успехах в освоении космоса в мирных целях, а также о гелиоэлек­тростанциях, которые, по предположению ученых, смогут кон­курировать с тепловыми и атомными электростанциями.

Учитель также познакомит учащихся с теорией естественной радиоактивности. За открытие радиоактивности (естественных радиоактивных элементов полония и радия) А. Беккерель, П. Кюри и М. Склодовская-Кюри награждены в 1903 г. Нобе­левской премией. После четырех лет упорного труда, перерабо­тав вручную на старом складе более тонны урановой руды, Марии Кюри удалось выделить чистый хлорид радия. Позднее, в 1911 г., за получение металлического радия (совместно с Дебьеном) Мария Кюри получила Нобелевскую премию по химии. Она единственная в мире женщина, дважды удостоенная Нобе­левской премии. Мария Кюри пишет, что изучение физических свойств радиоактивных веществ еще не вполне закончено и что, хотя некоторые главные положения уже установлены, большая часть выводов еще носит гадательный характер. Исследования разных ученых, изучающих эти вещества, постоянно сходятся и расходятся. Эти высказывания М. Кюри свидетельствуют о ги­потезах («гадательный характер») и о появлении конкурирующих гипотез, когда мнения ученых зачастую расходились.

В настоящее время выдвигается целый ряд гипотез относите­льно возможности создания единой теории, которая описывала бы все физические явления, включая явления микромира, мак­ромира и мегамира. Но это дело будущего.

Много примеров выдвижения и подтверждения гипотез дает и история химии. Классический пример — блестящее подтверж­дение периодического закона и Периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева, следствием которого явилось предсказание существования еще не открытых тогда элементов, а также того, что значения атомных весов урана, тория, берил­лия, индия и ряда других химических элементов должны быть существенно иными. Впоследствии эти предсказания получили эмпирическое подтверждение. Д. И. Менделееву принадлежат и другие гипотезы: о химической энергии, о пределе химических соединений, о строении кремнеземистых соединений и т. п.

Следует обратить внимание учащихся и на большое количест­во гипотез, которые присутствуют в науках, изучающих организ­мы. Ч. Дарвин в своих исследованиях о происхождении видов опирался на гипотезы, выдвигаемые на основе обобщения значи­тельного числа фактов, полученных им во время 5-летнего путе­шествия на корабле «Бигль».

Карл Линней прошел пешком почти 7000 км по северу Скан­динавии, изучая этот край и собирая фактический материал для построения гипотез и своей искусственной классификации расте­ний. Он посетил многие страны Европы, просмотрел гербарии многих ученых-ботаников, его ученики побывали в Канаде, Егип­те, Китае, Испании, Лапландии и оттуда присылали ему собран­ные растения. Друзья Линнея из различных стран присылали ему семена и высушенные растения. Таков огромный материал, кото­рый послужил Линнею для его систематизации.

Знакомясь с работами И. П. Павлова, учащийся «увидит, как мало-помалу расширялся и исправлялся наш фактический мате­риал, как постепенно складывались наши представления о разных сторонах предмета и как, наконец, перед нами все более и более слагалась общая картина высшей нервной деятельности»¹¹.

Интересны работы Л. Пастера по проблемам болезней вина, в результате которых он пришел к созданию биохимической теории брожения. Одним из следствий этой теории была разработка процесса, названного позже пастеризацией. Огромное практическое значение имело также исследование Пастером болезни шелковичных червей. В результате этой болезни в бедственном положении оказались более 3,5 тыс. владельцев недвижимого имущества шелководческих департаментов Франции. Почти пять лет посвятил Л. Пастер трудным экспериментальным исследованиям и потерял на этом свое здоровье, но тем не менее считал, что был счастлив, так как принес пользу своей стране, изыскивая способы предотвращения страшной нищеты: «...дело чести ученого перед лицом несчастья пожертвовать всем ради попытки помочь от него избавиться. Поэтому, может быть, я дал молодым ученым благотворный пример длительных усилий в разрешении трудной и неблагодарной зада­чи»¹².

На занятиях по биологии кроме этих классических примеров превращения гипотез в теории в результате их подтверждения учитель должен показать и современные биологические гипотезы.

Следует обратить внимание учащихся на то, что многие из них построены на стыке ряда наук. Очень важной является гипотеза о возможности получения значительных урожаев на солончаках, составляющих примерно ²/₃ общей площади культивируемых земель. Поэтому встает общая проблема мирового значения: как превратить пустынные солончаковые земли в сельскохозяйствен­ные угодья? Среди многих других гипотез выдвигается предложе­ние культивировать на этих землях галовиты — растения, устой­чивые к соли. С появлением средств генной инженерии количест­во таких предложений будет увеличиваться и можно предвидеть значительные успехи в целенаправленном изменении многих представителей животных и растений.

Итак, наука развивается посредством выдвижения гипотез. Однако гипотеза имеет и практическое значение.

В юриспруденции и в юридической практике роль гипотез, называемых там версиями, невозможно преувеличить. Любое расследование преступления требует выдвижения всех возмож­ных версий, объясняющих преступление, и их проверки.

В педагогической науке, особенно в методике преподавания математики, физики, химии и других предметов, а также в методи­ке начального обучения, также выдвигаются свои гипотезы о пу­тях более эффективного процесса обучения и воспитания, прово­дятся эксперименты в школах для подтверждения этих гипотез.

В результате приведенных примеров, иллюстрирующих гипо­тезы, используемые в школе на уроках физики, химии, биологии, истории (как классические, так и современные), в практике обуче­ния и воспитания, можно с уверенностью считать, что гипотеза является формой развития знания во всех науках, а также во всех других (а не только научных) отраслях знаний.

 

Глава VIII РОЛЬ ЛОГИКИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

 

Так как вопросы ставятся не только для решения новых проблем и задач, стоящих перед наукой и практикой, но и в процессе овладевания уже добытыми знаниями, в педагогической работе, в ходе обучения и воспитания школьников и студентов, в процессе полемики, дискуссий, диспутов, рассмотрение роли логики в процес­се обучения мы начинаем именно с логической структуры вопросов.

 

ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ВОПРОСА

Вопрос в познании играет особенно большую роль, так как все познание мира начинается с вопроса, с постановки проблемы.Проблемы перед познанием, в… Термины «проблема», «вопрос», «проблемная ситуация» обо­значают… Педагог В. А. Сухомлинский значительную роль в процессе обучения, в ходе развития логического мышления школьников…

Виды вопросов

Например: «Верно ли, что И. С. Васильев успешно защитил кандидатскую диссертацию?»; «Надо ли сдавать вступительный экзамен по иностранному языку на… Уточняющие вопросы могут быть простыми или сложными. Простые вопросы в свою… «Верно ли, что космонавты побывали на Луне?» — простой безусловный вопрос.

Предпосылки вопросов

Вопросы делятся на логически корректные (правильно постав­ленные), т. е. такие, предпосылки (базисы) которых являются истинными суждениями, и на… Например, вопрос: «В каком году Р. Амундсен первым до­стиг Северного полюса?»… Примерами провокационных вопросов являются следующие: «Как построить «вечный двигатель»?», «Перестал ли ты бить своего…

Правила постановки простых и сложных вопросов

2. Предусмотренные альтернативы ответа («да» или «нет») на уточняющие вопросы. Например: «Шел ли вчера в центре Моск­вы дождь?», «Признает ли Ломов… 3. Краткость и ясность формулировки вопроса. Длинные, запутанные, нечеткие… 4. Простота вопроса. Если вопрос сложный, то его лучше разбить на несколько простых. Например: «Где, когда, в какой…

Логическая структура и виды ответов

Ответ на простой вопрос второго вида (восполняющий, не­прямой, «к»-вопрос) требует привлечения точной, исчерпыва­ющей информации (о времени, месте,… 2. Ответы на сложные вопросы. Ответ на сложный конъюнк­тивный (соединительный)… При ответе же на сложный дизъюнктивный (разделительный) вопрос часто достаточно дать ответ лишь на один или несколько…

Постановка вопросов в процессе проблемного обучения

В младших классах проблемные ситуации возникают при формулировании загадок, задач на сообразительность и смекал­ку, шарад. Такие проблемные ситуации… В начальных классах перед учащимися можно ставить пробле­мы, направленные на… Это деление задач несколько условно, так как в зависимости от уровня знаний и методической подготовки человека она…

К. Д. УШИНСКИЙ И В. А. СУХОМЛИНСКИЙ О РОЛИ ЛОГИКИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Большое значение в процессе обучения придавал логике чешс­кий педагог Я. А. Коменский. Он предлагал знакомить учащихся с краткими правилами… Эти взгляды получили дальнейшее развитие в работах К. Д. Ушинского… В качестве приема развития логического мышления младших школьников К. Д. Ушинский широко применял сравнение, счи­тая…

РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

В процессе обучения оперированию понятиями отводится ведущая роль. В третьем классе начальной школы на уроках природоведения учащимся даются… Учащимся начальных классов не просто даются готовые опре­деления понятий; они… Большинство из этих понятий уже в начальных классах до­стигают более или менее высокой степени сформированности15. В…

РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ В СРЕДНИХ И СТАРШИХ КЛАССАХ НА УРОКАХ ЛИТЕРАТУРЫ, МАТЕМАТИКИ, ИСТОРИИ И ДРУГИХ ПРЕДМЕТОВ

Разносторонние возможности для развития логического мыш­ления учащихся предоставляет преподавание литературы, раз­вивающее специфические стороны мышления. Учащиеся начина­ют с понятий «художественный образ», «литературный тип», «литературная форма», затем подходят к изучению более общих понятий — «критический реализм», «натурализм», «романтизм», «принцип историзма»; при этом понятия берутся в их системе, а не изолированно. Психологическая наука пытается дать клас­сификацию типов мышления на основе того или иного сущест­венного признака. «В одних случаях подчеркивается целенаправ­ленный характер мышления; из типов мышления наглядно-дейст­венное и наглядно-образное названы исходными, а на их основе развивается теоретическое мышление... В других — подчеркива­ется проблемность мышления, его направленность на решение какой-либо задачи. Особо отмечено, что из основных видов мышления — практического (действенного), конкретно-образно­го и теоретического (словесно-понятийного) — образный тип мышления не является более низким по сравнению с теоретичес­ким»¹⁹. Какой же тип мышления формируется на уроках литера­туры? «В процессе изучения литературы, — пишет О. Ю. Бог­данова, — развиваются взаимосвязанные компоненты мышле­ния учащихся: конкретно-образные, обобщенно-образные, теоре­тические и действенные»²⁰. При анализе произведения художест­венной литературы учащиеся должны использовать как научные (теоретические), так и образные обобщения, самостоятельно при­менять всю систему знаний и понятий.

Большое значение для развития мышления учащихся имеет использование различных типов самостоятельных работ по лите­ратуре: самостоятельные работы по образцу, реконструктивные, вариативные самостоятельные работы на применение понятий науки, творческие самостоятельные работы, постановка самими учащимися проблемы и нахождение путей ее решения²¹.

Осветить подробно этот эксперимент не представляется воз­можным, поэтому мы остановимся лишь на некоторых аспектах работы, иллюстрируя их соответствующими примерами.

В преподавании литературы, как и других школьных предме­тов, иногда вместо определения понятия применяется метод срав­нения. Сравнение широко используется для сопоставления лите­ратурных фактов и явлений, в частности для сопоставления сюже­та повести с ее первоначальным планом. Учащимся предлагается вопрос проблемного характера: «С какой целью Пушкин изменил первоначальный план повести «Станционный смотритель»?»

Преподавание литературы предполагает использование разнообразных вопросов проблемного характера, на которых мы остновимся подробнее. Эти вопросы представляют собой позна­вательные поисковые задачи. Приведем примеры вопросов по повести А. С. Пушкина «Пиковая дама», которые предлагаются учащимся перед уроком: 1. Какую моральную оценку дает Пуш­кин своему герою? 2. Чем мотивируется поведение Германна (в социальном или психологическом плане)? 3. Как раскрыта в пове­сти тема «личность и общество»? Что лежит в основе конфликта между героем и окружающими людьми? 4. С какой целью введе­ны в повесть фантастические элементы? 5. Как относится Пушкин к наступлению буржуазного века? 6. Какова идея повести?²²

Работа в классе строится с опорой на самостоятельные выска­зывания учащихся по этим вопросам. Вопросы проблемно-прове­рочного характера ставятся и с иной целью: для выяснения особенностей мышления учащихся. Например, после изучения творчества Лермонтова учащимся были предложены вопросы: 1. Что такое литературный тип? Показать на конкретном приме­ре. 2. Что я узнал о русской действительности прошлого столе­тия из произведений Пушкина и Лермонтова? 3. Каковы основ­ные особенности реализма Пушкина и Лермонтова? В чем вы видите сходство и в чем различие? Показать на конкретном примере. 4. Каков нравственный идеал Лермонтова? Что в этом идеале мне близко и понятно, а что нет? Здесь обращают на себя внимание вопросы, основанные на сопоставительном анализе, на обобщениях.

В ходе последующей работы вопросы проблемного характера усложняются. При изучении романа Достоевского «Преступление и наказание» учащимся предлагались следующие вопросы: 1. Ка­кие события предшествуют преступлению и как они влияют на Раскольникова? 2. Сопоставьте Петербург Пушкина, Некрасова и Достоевского. 3. Сопоставьте ответы Чернышевского и Досто­евского на вопрос «Что делать?». 4. Как и в каких сценах осужда­ется теория Раскольникова? 5. В чем заключается новаторство реалистической манеры Достоевского? 6. В чем состоит противо­речивость художественного мира Достоевского? И другие.

Целенаправленная работа, идущая от формирования первона­чальных обобщений о литературных фактах к концептуальному подходу в изучении литературы и использованию системы зна­ний по истории и теории литературы, — таков магистральный путь развития мышления старшеклассников.

 

Развитое логического мышления на уроках математики

 

Требование полноты и выдержанности классификации

При построении классификаций необходимо соблюдать пра­вила деления понятий: классификация должна проводиться по одному существенному основанию, члены классификации долж­ны исключать друг друга, классификация должна быть полной. На уроках математики воспитывается потребность осуществлять правильные классификации.

Математический стиль мышления, по характеристике А. Я. Хинчина, определяется следующими особенностями: 1) до­веденное до предела доминирование логической схемы рассужде­ния; 2) лаконизм, сознательное стремление всегда находить крат­чайший из ведущих к данной цели логический путь; 3) четкая разбивка хода рассуждений на случаи и под случаи; 4) скрупулез­ная точность символики. Указанные черты стиля математичес­кого мышления способствуют поднятию общей культуры мыш­ления школьников, развитию их интеллектуального потенциала. На уроках математики учащиеся оперируют всеми формами мышления: понятиями, суждениями, умозаключениями. Чаще всего учащиеся пользуются такими видами дедуктивного умозак­лючения, как категорический силлогизм, энтимема, условно-кате­горические и разделительно-категорические умозаключения, по­лисиллогизмы, сориты, непосредственные умозаключения (пре­вращение, обращение, противопоставление предикату), дилеммы.

 

Развитие логического мышления на уроках истории

Учащиеся учатся составлять план рассказа, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи явлений. Они хоро­шо усваивают единичные… В средних и старших классах история преподается как отдель­ный предмет. Место… Перед учащимися ставятся проблемные вопросы, в том числе вопросы, предполагающие сравнение событий или явлений: 1. Чем…

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ КЛАССИЧЕСКОЙ И НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИК

Первоначально логика зародилась и развивалась в недрах философии — единой нерасчлененной науки, которая объединяла всю совокупность знаний об объективном мире и о самом челове­ке и его мышлении. На этом этапе исторического развития логика имела преимущественно онтологический характер, т. е. отождествляла законы мышления с законами бытия.

Вначале законы и формы правильного мышления изучались в рамках ораторского искусства — одного из средств воздействия на умы людей, убеждения их в целесообразности того или иного поведения. Так было в Древней Греции, Древней Индии, Древнем Китае, Древнем Риме, средневековой России. Но в ис­кусстве красноречия логический момент выступает еще как под­чиненный, поскольку логические приемы служат не столько цеди достижения истины, сколько цели убеждения аудитории.

Развитие науки логики на протяжении ряда столетий протека­ло по двум направлениям. Одно из них начиналось с древнегре­ческой логики (в особенности с логики Аристотеля), на основе которой развивалась логика в Древнем Риме, затем в Византии, Грузии, Армении, арабоязычных странах Ближнего Востока, в Западной Европе и России. Другое направление имело своим истоком индийскую логику, на основе которой развивалась логи­ка в Китае, Тибете, Монголии, Корее, Японии, Индонезии, на Цейлоне¹.

 

Логика в Древней Индии

Индийский ученый Мадхава в своем сочинении «Обзор всех систем» (1350) насчитывает 16 школ древнеиндийской филосо­фии. На первом месте стоит… Были в Древней Индии и идеалистические философские си­стемы, утверждающие… Диспуты между представителями различных философских школ способствовали развитию теории познания и логики. Но логика…

Логика в Древней Греции

В древнегреческой философии в середине V в. до н. э. появи­лись так называемые софисты (Протатор, Горгий и др.), которые главным предметом своего… Протагор первым стал применять «сократический способ бе­седы». Этот метод… Против софистов выступил выдающийся материалист Древ­ней Греции Демокрит (460—370 до н. э.), создавший всеобъем­лющую…

Логика в средние века

Сформулируем основные проблемы, которые разрабатыва­лись в средневековой логике: проблемы модальной логики, ана­лиз выделяющих и исключающих… Теоретические источники средневековой арабоязычной логики следует искать в… Аль-Фараби выделяет в логике две ступени: первая охватыва­ет представления и понятия, вторая — теорию суждений,…

РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Немецкий математик и логик Готтлоб Фреге (1848—1925) предпринял попытку свести математику к логике. С этой целью в первой своей работе по… Если Лейбниц только наметил программу сведения математи­ки к логике, то Г.… в истории обоснования математики в первой половине XX в. В этом произведении Фреге писал: «В моих «Основаниях…

МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ

конъюнкция — через Кху илинестрогая дизъюнкция —через Аху илиматериальная импликация — через Сху илиЗначения функции от аргумента а будем… Развитие многозначных логик, по нашему мнению, подтверждает мысль, что истина… Трехзначная система Лукасевича29

Трехзначная система Рейтинга

1 (табл. 15, 16). Таблица 15 Отрицание Гейтинга х Nх ½

Бесконечнозначная логика как обобщение многозначной системы Поста

и в формегде к — целочисленный показатель.   Это числа: 1, ½, ¼, ¾, 1/8, 7/8, 1/16, 15/16, …,

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

Интуиционистская логика построена в связи с развитием ин­туиционистской математики. Интуиционистская школа основана в 1907 г. голландским… Интуиционизм — философское направление в математике и логике, отказывающееся… Математическое содержание интуиционизма изложено в ряде работ математиков. Ведущие представители отечественной шко­лы…

КОНСТРУКТИВНЫЕ ЛОГИКИ

Конструктивная логика, отличная от логики классической, своим рождением обязана конструктивной математике. Конст­руктивная математика может быть… Конструктивное направление (в математике и логике) ограни­чивает исследование… Между идеями конструктивной логики советских исследова­телей и некоторыми идеями интуиционистской логики (напри­мер, в…

Конструктивные исчисления высказываний В. И. Гливенко и А. Н. Колмогорова

С помощью введения понятий «псевдоистинность» (двойное отрицание суждения) и «псевдоматематика» («математика псев­доистинности») Колмогоров доказал,… Колмогоров различает две логики суждений —общую и част­ную. Различие между… Какова же область применения частной логики суждений? Все ее формулы верны для суждений типа А', в том числе для всех…

Конструктивная логика А. А. Маркова

определенным правилам в виде формул; в нем имеется определе­ние смысла выражения этого языка, т. е. семантика. Правила вывода позволяют, исходя из… В конструктивной математике формулируются теоремы суще­ствования,… Новое понимание логических связок требует новой логики. Мы считаем утверждение А. А. Маркова о неединственности логики…

МОДАЛЬНЫЕ ЛОГИКИ

В классической двузначной логике рассматривались простые и сложные ассерторические суждения, т. е. такие, в которых не установлен характер связи… Модальными являются суждения, которые включают модаль­ные операторы (модальные… Изучение модальных суждений имеет длительную и много­гранную историю. Мы отметим лишь некоторые из ее аспектов.…

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЛОГИКИ

Положительные логики — это логики, построенные без опе­рации отрицания. Их можно разделить на два вида: 1) положительные логики в широком смысле… Ряд квазипозитивных логик основан на двух операциях. Поло­жительными логиками в узком смысле, основанными на одной…

ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ЛОГИКА

Эта логика представляет одно из направлений современной неклассической математической логики. Объективными основа­ми появления паранепротиворечивых… Закон непротиворечия утверждает, что два противоположных суждения не могут… Вследствие неопределенности интервалов и неопределенности состояний изменяющегося предмета предполагается временная…