Теорема 2. Число розміщень з повтореннями з n елементів по m елементів обчислюють за формулою

= nm , (3)

де m і n - натуральні числа.

Доведення. Перш за все відмітимо, що розміщення з повторен­нями з n елементів по m елементів можна одержати з розміщень по (m-1) елементу приєднанням ще одного елемента. Оскільки до кож­ного розміщення по (m-1) елементів можна приєднати будь-який з n елементів, то кожне розміщення по (m-1) елементу породжує n різ­них розміщень по m елементів, тобто

. (4)

Тепер доведення формули (3) проведемо методом математичної ін­дукції по m.

1) При m=1 число розміщень дорівнює n:

2) Припустимо, що формула (3) вірна для деякого m=k, тобто, що

3) Доведемо, що при цьому формула (3) вірна також і для m=k+1,

тобто, що

.


Дійсно, користуючись формулою (4), знайдемо:

.

4) Вимоги математичної індукції виконуються, тому формула (3) вірна для будь-якого натурального значення m.

Наслідок. Число підмножин n-елементної множини дорівнює 2n. Дійсно, нехай маємо множину М=(а1,а2,…,аn), елементи якої пе­ренумеровані. Кожну підмножину множини М можна подати у вигляді упорядкованої n- елементної множини, елементами якої є нулі і одиниці, причому одиницю ставимо на тому місці, на якому знахо­диться певний елемент множини М, а нуль тоді, коли елемент мно­жини М не входить у підмножину. Наприклад, якщо М=(а1,а2,a3,а4), то набір (0;1;1;0) показує, що маємо підмножину (а2,a3), набір (0;0;0;0) - порожня множина, а набір (1;1;1;1) - це вся множина М.

Звідси випливає, що знайти число підмножин n-елементної множини М - це все одно, що знайти число перестановок з n елементів з повтореннями, 2-елементної множини (0;1). За формулою (1) число таких перестановок дорівнює 2n.

 

Приклад 2. До шестицифрових номерів телефонів входять цифри від О до 9. Скільки абонентів може обслуговувати телефонна станція?

Розв'язання. Оскільки цифри в номерах можуть повторюватись, то кількість шестицифрових номерів телефонів дорівнює числу роз­міщень з 10 елементів по 6 з повторенням, тобто

Відповідь. 1000000 абонентів.

Приклад 3. У селі проживає не менше 1000 жителів. Довести, що принаймні двоє з них мають однакові ініціали.

Розв’язання. В українському алфавіті 29 букв, які можуть бути ініціалами людини. Кількість всіх можливих різних пар ініціалів дорівнює числу розміщень з 29 букв з повтореннями, тобто

Відповідь. 841 різних пар ініціалів.