Теорема 5. Для довільних натуральних n i m (m£n) має місце формула

= (1)

Доведення. Спочатку утворимо всі можливі неупорядковані m-елементні підмножини n-елементної множини, їх число дорівнює . Потім з кожної одержаної m-елементної підмножини перестанов­кою її елементів одержимо всі упорядковані m-елементні підмножи­ни, яких буде у m! раз більше, бо кожну m-елементну підмножину можна упорядкувати m! способами. Отже, дістанемо

=m!,

а звідси =

Цю теорему можна довести іншими способами, зокрема методом мате­матичної індукції.

Формулу (1) для числа комбінацій можна записати в іншому вигляді. Якщо чисельник і знаменник її помножити на (n-m)!, то дістанемо:

(2)

Число має ряд цікавих i важливих у практичних застосу­ваннях властивостей, які подамо у вигляді теорем.