= (1)
Доведення. Спочатку утворимо всі можливі неупорядковані m-елементні підмножини n-елементної множини, їх число дорівнює . Потім з кожної одержаної m-елементної підмножини перестановкою її елементів одержимо всі упорядковані m-елементні підмножини, яких буде у m! раз більше, бо кожну m-елементну підмножину можна упорядкувати m! способами. Отже, дістанемо
=m!,
а звідси =
Цю теорему можна довести іншими способами, зокрема методом математичної індукції.
Формулу (1) для числа комбінацій можна записати в іншому вигляді. Якщо чисельник і знаменник її помножити на (n-m)!, то дістанемо:
(2)
Число має ряд цікавих i важливих у практичних застосуваннях властивостей, які подамо у вигляді теорем.