МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ По курсу МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

 

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ

По курсу

«МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ»

Для студентов заочного отделения

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО

ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

 

Дорошева Е.И., Ермаченко Ю.Г., Кондратьев В.С.,

Кондратьева И.В., Дорофеев В.Ю.

    Методические указания составлены в соответствии с учебной программой курса «Методы оптимальных решений» и…

Вопросы для повторения теории.

  1. Примеры производственных задач, сводящихся к задачам линейного… 2. Общая задача линейного программирования.

Варианты контрольных работ .

Задачи 1.1-10.1 необходимо решить графическим способом.

 

Задачи 1.2-10.2 необходимо решить симплексным методом.

 

Задачи 1.3-10.3 имеют следующее условие.

В m пунктах отправления (ПО) имеется однородный груз в количествах . Этот груз нужно перевести в n пунктов назначения (ПН), потребности которых равны . Стоимость перевозки единицы груза из i – го ПО в j – ый ПН равна .

Требуется составить план перевозки грузов из ПО в ПН, при котором суммарные расходы на перевозку будут минимальными.

 

В задачах 1.4-10.4 необходимо найти цену игры и указать оптимальную стратегию для заданной платёжной матрицы.

Вариант №1.

 

1.1. Найти максимум целевой функции L =2x+3y при следующих ограничениях:

1.2.

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-3y при тех же ограничениях.

 

1.2. Для изготовления изделий А и В предприятие использует три вида сырья. На производство одного вида изделия А требуется 12 кг сырья первого вида, 10 кг – второго и 3 кг – третьего, а на производство одного изделия В соответственно 3 кг, 5 кг и

6 кг. Производство обеспечено сырьем в количестве 684 кг, вто

рого – 690 кг, третьего – 558 кг. Одно предприятие А дает предприятию 6 млн. руб прибыли, а изделие В 2 млн. руб прибыли. Составить план производства изделий А и В, максимизирующий общую прибыль предприятия.

 

1.3.

ПоПн	=20	=40	=40
=25
=30
=45

 

1.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 2.

2.1. Найти максимум целевой функции L =2x+3y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-y при тех же ограничениях.

2.2. Завод ремонтирует тракторы двух типов: первого - мощностью 300 л.с. и второго – мощностью 200 л.с.. За месяц завод может отремонтировать не более 15о тракторов. За ремонт трактора 1 типа завод получает чистой прибыли 1 млн. рублей, а за ремонт 2 типа 2 млн. рублей. Составить месячный план ремонта тракторов, при котором завод получит не менее 240 млню рублей прибыли и суммарная мощность отремонтированных тракторов будет наибольшей, если надо отремонтировать не менее 50 тракторов 1 типа.

2.3.

ПоПн	=25	=15	=20	=30
=20
=30
=15
=25

 

2.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 3.

 

3.1. Найти максимум целевой функции L =4x+3y при следующих ограничениях:

 

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=2x-3y при тех же ограничениях

 

3.2. Предприятие производит изделия А и В и использует сырье трех видов. На производство одного изделия А требуется 3 т сырья первого вида, 2 т – второго и 2 т – третьего вида, а на производство одного изделия В соответственно 4 т, 2 т и 3 т. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 120 т, второго 60 т. Условия поставки и хранения сырья третьего вида таковы, что его расход должен быть не менее 30 т. Одно изделие А дает предприятию 2 млн. руб прибыли, а изделие В – 3 млн. руб прибыли. Составить план производства изделий А и В, максимизирующий общую прибыль предприятия.

 

3.3.

ПоПн	=2	=5	=4
=6
=3
=2

 

3.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 4.

4.1. Найти максимум целевой функции L =x+2y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=3x-2y при тех же ограничениях

4.2. Изготавливается продукция двух видов и . Для изго-

товления этой продукции требуется четыре вида сырья. Для одного изделия продукции требуется 2 ед. сырья первого вида, 2 ед. – второго и 3 ед. – четвертого, а для одного изделия продукции соответственно 2 ед. – первого, 1 ед. – второго и 3 ед. – третьего. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 19 ед., второго – 13 ед., третьего – 15 ед. и четвертого – 18 ед. Одно изделие дает предприятию доход 7 у.е., а - 5 у.е. Требуется составить такой план выпуска продукции и , при котором доход предприятия от реализации всей продукции оказался бы максимальным.

4.3.

ПоПн	=5	=7	=3
=2
=6
=7

 

4.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 5.

5.1. Найти максимум целевой функции L =4x+y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x+y при тех же ограничениях

5.2. Автозавод выпускает грузовики грузоподъемностью 3т и 2т. Общая грузоподъемность автомобилей, выпущенных заводом за неделю, должна быть не менее 600 т. На производство одного трехтонного грузовика затрачивается 400 человеко-часов рабочего времени и 9 млн. рублей на закупку сырья, а на производство одного двухтонного – 500 человеко-часов и 26 млн. рублей соответственно. Предприятие располагает в неделю 400000 человеко-часов рабочего времени и может закупить сырья на сумму 5400 млн. рублей. Найти недельный план выпуска автомобилей, максимизирующий суммарную прибыль завода, если продажа трехтонного грузовика приносит прибыль в 10 млн. рублей, а двухтонного (повышенной проходимости) 30 млн. рублей.

5.3.

ПоПн	=20	=20	=43
=40
=23
=20

 

5.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 6.

6.1. Найти максимум целевой функции L =2x+3y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-2y при тех же ограничениях

6.2. Изготавливается продукция двух видов и . Для изготовления этой продукции требуется три вида сырья. Для одного изделия продукции требуется 2 ед. сырья первого вида и 3 ед. – второго, а для одного изделия продукции соответственно 4 ед. – первого, 5 ед. – третьего. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 8 ед., второго – 6 ед. и третьего – 5 ед. Одно изделие дает предприятию доход 1у.е., а - 2у.е. Требуется составить такой план выпуска продукции и , при котором доход предприятия от реализации всей продукции оказался бы максимальным.

6.3.

ПоПн	=17	=21	=41
=25
=32
=40
=20

6.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 7.

7.1. Найти максимум целевой функции L =3x+4y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x+y при тех же ограничениях

7.2.Для изготовления изделия А и В предприятие использует три вида сырья. На производство одного изделия А требуется 8 т сырья первого вида, 26 т – второго, а на производство одного изделия В соответственно 13 т и 16 т. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве104 т, второго 208 т. Кроме того, служба сбыта предприятия, проведя маркетинговые исследования установила, что конъюнктура рынка требует, чтобы изделий А производилось не менее 6 штук, а изделий В – не более 7 штук. Производство одного изделия А дает предприятию 6 млн. руб. прибыли, а изделие В – 2 млн.руб. прибыли. Составить план производства изделий А и В, максимизирующий общую прибыль предприятия.

7.3.

ПоПн	=100	=30	=70
=50
=120
=30

 

7.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 8.

8.1. Найти максимум целевой функции L =4x+2y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=2x+3y при тех же ограничениях

8.2.Предприятие строит дома двух проектов А и В и использует три вида основных стройматериалов. На строительство дома по проекту А требуется 5 куб. м кирпича, 10 куб. м - пиломатериалов и 1 т – цемента, а по проекту В соответственно 6 куб. м – кирпича, 7 куб. м – пиломатериалов и 2 т – цемента. На плановый период предприятие обеспечено кирпичем в количестве 30 куб.м, пиломатериалами в количестве 49 куб.м. Из-за трудностей с хранением и большими запасами цемента, его расход не должен быть менее 6 т. Строительство одного дома по проекту А дает предприятию 4 млн. руб прибыли, а – по проекту В – 3 млн. руб прибыли.

Составить план работы предприятия по строительству домов, максимизирующий его общую прибыль, если оно может само выбирать, сколько и по каким проектам строить домов, и незавершенное строительство подлежит оплате пропорциональной выполненным работам.

8.3.

ПоПн	=20	=25	=15	=10
=40
=20
=10

8.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант 9.

9.1. Найти максимум целевой функции L =6x+y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-y при тех же ограничениях

9.2.Швейная мастерская изготавливает простые и утепленные куртки и использует три вида ткани. На производство одной утепленной куртки требуется ткани первого вида на 11000 руб, второго на 13000 руб и третьего на 3000 руб, а на производство простой куртки – соответственно на 9000 руб, 8000 руб и 4000 руб. На плановый период закуплено ткани первого вида на 99000 руб, второго вида – 104000 руб. При производстве изделий, из соображений рентабельности всего производства, необходимо ткани третьего вида не менее чем на 12000 руб. Реализация одной утепленной куртки дает предприятию 50000 руб прибыли, а реализация простой куртки – 40000 руб прибыли. Составить план производства курток, максимизирующий общую прибыль предприятия при полной реализации произведенной продукции.

9.3.

ПоПн	=20	=40	=40
=30
=20
=20
=30

9.4. Платёжная матрица имеет вид:

Вариант10.

10.1. Найти максимум целевой функции L =5x+4y при следующих ограничениях:

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-2y при тех же ограничениях

10.2. Изготавливается продукция двух видов и . Для изготовления этой продукции требуется использовать два вида сырья. Для одного изделия продукции требуется 19 ед. сырья первого вида и 22 ед. – второго, а для одного изделия продукции соответственно 11 ед. – первого, 38 ед. – второго. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 209 ед., второго – 418 ед. . Одно изделие дает предприятию доход 5 у.е., а - 4 у.е.. Требуется составить такой план выпуска продукции и , при котором доход предприятия от реализации всей продукции оказался бы максимальным.

10.3.

ПоПн	=30	=20	=50	=40
=40
=60
=20
=25

1.4. Платёжная матрица имеет вид:

Правила выполнения и оформления

Контрольных работ.

1.Контрольную работу следует выполнять в тетради, отдельной для каждой работы, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний… 2.На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы,… 3.В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы,…

Указания к решению контрольных заданий.

Задача 1. Найти максимум целевой функции L =-x+2y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

Литература

 

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.

2. Ашманов С. А. Линейное программирование. – М.: Наука, 1981.

3. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 1984.

4. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988.

5. Идельсон А. В., Кондратьев В. С.,Заварзина И. А. Методичес-кие указания по курсу “Математическое программирование” для студентов вечернего и заочного факультетов. – Издат.: СПбУЭФ, 1992.

6. Карманов В. Г. Математическое программирование. – М.: Наука, 1986.

7. Ковбаса С. И., Кондратьев В. С., Кондратьева И. В., Савинов Г. В. Методические указания и курсовое задание по курсу “Математическое программирование” для студентов вечерне-заочного факультета. – Издат. СПбУЭФ, 1998.

8.Дмитриев В. Г., Дорошева Е. Н., Савинов Г. Н., Сорокина О. А. Основы линейного программирования – Издат.: СПбГУЭФ, 2006.

9. Шикин Е. В. От игр к играм. Математическое введение. Москва, изд. УРСС, 2003.