Мета роботи

Ознайомитись з поняттям фільтрації флюїду в пористому середовищі та основними нелінійними рівняннями, які описують цей процес. Набути навиків розв'язування таких алгебраїчних рівнянь при моделюванні фільтрації флюїдів з допомогою програми MathCAD.

7.2 Теоретичні відомості

Інженеру часто доводиться вирішувати алгебраїчні та трансцендентні рівняння, що може представляти собою самостійну задачу чи є частиною більш складних задач. В обох випадках практична цінність чисельного методу в значній мірі визначається швидкістю та ефективністю отримання розв’язку. Вибір необхідного алгоритму для розв’язку рівнянь залежить від характеру задачі, яка розглядається.

Функція називається алгебраїчною, якщо для отримання значення функції на заданої множині Х потрібно здійснити арифметичні операції та піднесення в степінь з раціональним або ірраціональним показником. Рівняння, які містять алгебраїчні функції називаються нелінійними алгебраїчними рівняннями.

В реальному житті надзвичайно багато процесів та явищ описуються саме нелінійними законами на рівняннями. Зокрема рух нафти в пласті являється дуже складним процесом, який залежить від багатьох факторів і описується нелінійними законами фільтрації. Це пояснюється, зокрема, тим, що в пласті рухається багатофазна система, а не тільки нафта.

Фільтрацією називають рух рідини та газу в пористих середовищах під дією перепаду тиску.

Багатофазна (гетерогенна) система складається з кількох фаз, кожна з яких є однорідною (гомогенною) і відокремленою від інших фаз чіткими межами. Прикладом багатофазної системи є суміш нафти, газу та води. Підкреслимо, що нафта й газ є багатокомпонентними (складаються їх суміші з різних вуглеводнів, що взаємодіють на молекулярному рівні), причому може мати місце перехід компонентів з одної фази в іншу (наприклад, із рідини в газ).

Фільтрація багатофазних систем описується багатьма моделями, основними з яких є:

· модель Баклея-Леверетта;

· модель Раппопорта-Ліса;

· модель Маскета-Мереса.

Задача двофазної фільтрації без урахування капілярних сил відома як задача (модель) Баклея – Леверетта.

Вперше цю модель запропонували С.Баклей і М.Леверетт 1942 року для одновимірного витіснення нафти водою без урахування сил гравітації.

Модель двофазної фільтрації з урахуванням капілярних сил називають моделлю Раппопорта – Ліса, для одновимірного витіснення нафти водою без урахування сили гравітації. Таку модель запропонували Л.Раппопорт і В.Ліс 1953 року (рівняння Раппопорта – Ліса).

Якщо в моделі Баклея – Леверетта капілярні сили побічно враховуються через коефіцієнти фазових проникностей, то в моделі Раппопорта – Ліса стрибок капілярного тиску задається у вигляді експериментальної функції насиченості (функції Леверетта).

Модель Баклея – Леверетта, враховуючи фазові проникності для нафти і води, які певним чином залежать від капілярних сил, все-таки не дає змоги описати процеси фільтрації незмішуваних рідин, коли сам рух рідин зумовлюється дією капілярних сил.

М.Маскет і М.Мерес запропонували свою модель у 1936 року. Вона описує одновимірну сумісну фільтрацію трьох фаз – нафти, газу та води.

Модель подано системою рівнянь, яка охоплює три рівняння руху, три рівняння нерозривності, рівняння балансу насиченості, а також залежності, що описують фазові переходи та зміну фізичних властивостей флюїдів від тиску. У цій моделі не враховуються капілярні сили.

Вуглеводнева багатокомпонентна суміш у цій моделі містить дві фази – рідинну (нафту) й газову. У процесі фільтрації внаслідок зниження тиску з нафти та води виділяється розчинений газ.

Модель Маскета – Мереса лежить в основі сучасних методик проектування розробки нафтових і нафтогазоконденсатних родовищ.

7.3 Порядок проведення розрахунків

Нелінійні алгебраїчні рівняння в пакеті MathСad розв’язуються з використанням вбудованої функції (expr, var).

Розв’яжемо задачу про знаходження величини стрибка насиченості в моделі Баклея-Леверетта.

Розрахунки проводимо по наступній схемі:

- обчислюємо відносні фазові проникності по нафті і воді:

; (7.1)