Ознайомитись та засвоїти методики розв'язування диференціальних рівнянь та їх систем з допомогою вбудованих функцій.
8.2 Теоретичні відомості
Інженеру чи науковцю часто доводиться зіштовхуватись з диференційними рівняннями і системами диференційних рівнянь при розробці нових виробів чи технологічних процесів, так, як більша частина законів фізики формалізується саме у вигляді диференційних рівнянь. Будь-яка задача проектування, яка зв’язана з розрахунком потоків енергії чи руху тіл, в кінцевому рахунку зводиться до розв’язку диференційних рівнянь. Нажаль, лише дуже малу частину з них можливо вирішити без допомоги обчислювальних машин. Тому чисельні методи розв’язку диференційних рівнянь відіграють важливу роль у практиці інженерних розрахунків.
Рівняння, у якому невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала, називається диференціальним рівнянням.
Якщо невідома функція, що входить у диференціальне рівняння, залежить тільки від однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним.
Якщо ж невідома функція, що входить у диференціальне рівняння, є функцією двох чи більшого числа незалежних змінних, то таке рівняння називається диференціальним рівнянням у частинних похідних.
Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної (чи диференціала), що входить у рівняння.
Розв'язком (чи інтегралом) диференціального рівняння називається будь-яка диференціюєма функція, що задовольняє цьому рівнянню, тобто така, після підстановки якої у рівняння воно перетворюється в тотожність.
Графік розв’язку звичайного диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння.
Розв’язок диференціального рівняння, що містить стільки незалежних довільних (постійних) параметрів, який його порядок, називається загальним розв'язком (чи загальним інтегралом) цього рівняння.
Геометрично загальний розв’язок диференціального рівняння являє собою сімейство інтегральних кривих цього рівняння.
Частинним розв'язком диференціального рівняння називається будь-який розв’язок, що може бути отриманий з загального при визначених числових значеннях довільних постійних. Довільні постійні, що входять в загальний розв’язок, визначаються з початкових або крайових умов.