Мета роботи

Навчитися розв'язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь з допомогою вбудованих функцій програми MathCAD та з допомогою математичних методів.

 

6.2 Теоретичні відомості

Системою лінійних рівнянь називають два або більше рівнянь, які розв'язуються спільно. Це означає, що розв’язком системи будуть ті розв'язки її рівнянь, які задовільняють всі рівняння системи (перетин розв'язків рівнянь системи).

В загальному вигляді система лінійних рівнянь має вигляд:

Розв'язати систему рівнянь – означає знайти всі її розв'язки або довести, що розв’язків немає.

Якщо система має скінченне число розв’язків, то вона називається визначеною.

Якщо система має нескінченну множину розв’язків, то система називається невизначеною.

Дві системи називаються рівносильними, якщо вони мають однакову множину розв’язків.

 

6.3 Порядок проведення розрахунків

 

Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими:

Розв’яжемо таку систему рівнянь різними способами. Найзручнішим є метод простої ітерації. Він потребує вказати початкові наближення невідомих змінних:

х₁=х_1поч; х₂=х_2поч; х_n=х_nпоч.

При введенні системи рівнянь використовують знак логічної рівності.

Given

Шуканий розв’язок знаходимо за допомогою функції find.

.

Цю ж систему можна розв’язати за допомогою методу найменших відхилень, використовуючи функцію minerr.

.

Для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь можна застосовувати також внутрішню функцію Mathcad lsolve.

;

.

Також систему лінійних алгебраїчних рівнянь у випадку m=n можна розв’язати матричним методом:

;

.

Аналогічно система у випадку m=n розв’язується за допомогою методу Крамера:

;

;

;

.

Тоді невідомі величини знаходять як:

;

;

.

6.4 Варіанти завдань

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

 

6.5 Контрольні запитання

6.5.1. Які методи розв'язування систем рівнянь ви знаєте?

6.5.2. В чому полягає метод Крамера?

6.5.3. В чому полягає матричний метод?

6.5.4. Чи можна розв'язати систему з 4-х рівнянь з 5-ма невідомими?

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ ПРИ МОДЕЛЮВАННІ БАГАТОФАЗНОЇ ФІЛЬТРАЦІІ ФЛЮЇДУ В ПОРИСТОМУ СЕРЕДОВИЩІ