Оценка различия двух выборок
Чтобы убедиться, что две выборки действительно различны с точки зрения значений одной и той же СВ, можно использовать три критерия:
· Крамера-Уэлча, если элементы этих выборок не связаны между собой,
· Вилкоксона-Манна-Уитни, если есть возможность попарно сравнивать между собой элементы этих выборок,
· «хи-квадрат», если СВ измеряется не в непрерывной, а в порядковой шкале (например, балльной)
При этом объемы выборок должны быть не менее 10.
Проверка по критерию Крамера-Уэлча.
1. Для выборок 
и 
с объемами 
и 
вычисляются математические ожидания и средние квадратичные отклонения 
/
2. Вычисляется значение коэффициента 
по формуле
.
3. Задаются значением доверительной вероятности 
и по рисунку 5 находят значение коэффициента Стьюдента 
при 
.
4. Если 
, то делается вывод, «выборки и различны с доверительной вероятностью ».
Проверка по критерию Вилкоксона-Манна-Уитни.
1. Для каждого элемента первой выборки подсчитывается коэффициент, равный количеству элементов второй выборки, у которых значение СВ больше, чем у данного элемента первой выборки. К этому коэффициенту добавляется число, равное половинному количеству элементов второй выборки, у которых значение СВ совпадает со значением СВ для данного элемента первой выборки. Рассчитанные таким образом коэффициенты для всех элементов первой выборки суммируются. Их сумму обозначим через 
.
2. Рассчитывается коэффициент 
по формуле
.
3. Задаются значением доверительной вероятности и по рисунку 5 находят значение коэффициента Стьюдента при .
4. Если 
, то делается вывод, «выборки и различны с доверительной вероятностью ».
Проверка по критерию «хи-квадрат».
Пусть СВ измеряется в порядковой шкале с 
различными баллами. Количества объектов в выборках и , значения СВ для которых равны 
-му баллу, обозначим через 
соответственно. Требуется, чтобы было 
и 
. Тогда
1. Вычисляется коэффициент 
по формуле
.
5. Задаются значением доверительной вероятности и по таблице 3 находят значение коэффициента 
.
6. Если 
, то делается вывод, «выборки и различны с доверительной вероятностью 
».
Таблица 3 – Критические значения критерия «хи-квадрат»
| L | Доверительная вероятность
| ||||||||||||
| 0,5% | 1% | 2,50% | 5% | 10% | 25% | 50% | 75% | 90% | 95% | 97,5% | 99% | 99,5% | |
| 0,00004 | 0,00016 | 0,00098 | 0,00393 | 0,02 | 0,10 | 0,45 | 1,32 | 2,71 | 3,84 | 5,02 | 6,63 | 7,88 | |
| 0,01003 | 0,0201 | 0,05064 | 0,10259 | 0,21 | 0,58 | 1,39 | 2,77 | 4,61 | 5,99 | 7,38 | 9,21 | 10,60 | |
| 0,07172 | 0,11483 | 0,2158 | 0,35185 | 0,58 | 1,21 | 2,37 | 4,11 | 6,25 | 7,81 | 9,35 | 11,34 | 12,84 | |
| 0,20699 | 0,29711 | 0,48442 | 0,71072 | 1,06 | 1,92 | 3,36 | 5,39 | 7,78 | 9,49 | 11,14 | 13,28 | 14,86 | |
| 6,00 | 0,41 | 0,55 | 0,83 | 1,15 | 1,61 | 2,67 | 4,35 | 6,63 | 9,24 | 11,07 | 12,83 | 15,09 | 16,75 |
| 7,00 | 0,68 | 0,87 | 1,24 | 1,64 | 2,20 | 3,45 | 5,35 | 7,84 | 10,64 | 12,59 | 14,45 | 16,81 | 18,55 |
| 8,00 | 0,99 | 1,24 | 1,69 | 2,17 | 2,83 | 4,25 | 6,35 | 9,04 | 12,02 | 14,07 | 16,01 | 18,48 | 20,28 |
| 9,00 | 1,34 | 1,65 | 2,18 | 2,73 | 3,49 | 5,07 | 7,34 | 10,22 | 13,36 | 15,51 | 17,53 | 20,09 | 21,95 |
| 10,00 | 1,73 | 2,09 | 2,70 | 3,33 | 4,17 | 5,90 | 8,34 | 11,39 | 14,68 | 16,92 | 19,02 | 21,67 | 23,59 |
| 11,00 | 2,16 | 2,56 | 3,25 | 3,94 | 4,87 | 6,74 | 9,34 | 12,55 | 15,99 | 18,31 | 20,48 | 23,21 | 25,19 |
| 12,00 | 2,60 | 3,05 | 3,82 | 4,57 | 5,58 | 7,58 | 10,34 | 13,70 | 17,28 | 19,68 | 21,92 | 24,72 | 26,76 |
| 13,00 | 3,07 | 3,57 | 4,40 | 5,23 | 6,30 | 8,44 | 11,34 | 14,85 | 18,55 | 21,03 | 23,34 | 26,22 | 28,30 |
| 14,00 | 3,57 | 4,11 | 5,01 | 5,89 | 7,04 | 9,30 | 12,34 | 15,98 | 19,81 | 22,36 | 24,74 | 27,69 | 29,82 |
| 15,00 | 4,07 | 4,66 | 5,63 | 6,57 | 7,79 | 10,17 | 13,34 | 17,12 | 21,06 | 23,68 | 26,12 | 29,14 | 31,32 |
| 16,00 | 4,60 | 5,23 | 6,26 | 7,26 | 8,55 | 11,04 | 14,34 | 18,25 | 22,31 | 25,00 | 27,49 | 30,58 | 32,80 |
| 17,00 | 5,14 | 5,81 | 6,91 | 7,96 | 9,31 | 11,91 | 15,34 | 19,37 | 23,54 | 26,30 | 28,85 | 32,00 | 34,27 |
| 18,00 | 5,70 | 6,41 | 7,56 | 8,67 | 10,09 | 12,79 | 16,34 | 20,49 | 24,77 | 27,59 | 30,19 | 33,41 | 35,72 |
| 19,00 | 6,26 | 7,01 | 8,23 | 9,39 | 10,86 | 13,68 | 17,34 | 21,60 | 25,99 | 28,87 | 31,53 | 34,81 | 37,16 |
| 20,00 | 6,84 | 7,63 | 8,91 | 10,12 | 11,65 | 14,56 | 18,34 | 22,72 | 27,20 | 30,14 | 32,85 | 36,19 | 38,58 |
| 21,00 | 7,43 | 8,26 | 9,59 | 10,85 | 12,44 | 15,45 | 19,34 | 23,83 | 28,41 | 31,41 | 34,17 | 37,57 | 40,00 |
| 22,00 | 8,03 | 8,90 | 10,28 | 11,59 | 13,24 | 16,34 | 20,34 | 24,93 | 29,62 | 32,67 | 35,48 | 38,93 | 41,40 |
| 23,00 | 8,64 | 9,54 | 10,98 | 12,34 | 14,04 | 17,24 | 21,34 | 26,04 | 30,81 | 33,92 | 36,78 | 40,29 | 42,80 |
| 24,00 | 9,26 | 10,20 | 11,69 | 13,09 | 14,85 | 18,14 | 22,34 | 27,14 | 32,01 | 35,17 | 38,08 | 41,64 | 44,18 |
| 25,00 | 9,89 | 10,86 | 12,40 | 13,85 | 15,66 | 19,04 | 23,34 | 28,24 | 33,20 | 36,42 | 39,36 | 42,98 | 45,56 |
| 26,00 | 10,52 | 11,52 | 13,12 | 14,61 | 16,47 | 19,94 | 24,34 | 29,34 | 34,38 | 37,65 | 40,65 | 44,31 | 46,93 |
| 27,00 | 11,16 | 12,20 | 13,84 | 15,38 | 17,29 | 20,84 | 25,34 | 30,43 | 35,56 | 38,89 | 41,92 | 45,64 | 48,29 |
| 28,00 | 11,81 | 12,88 | 14,57 | 16,15 | 18,11 | 21,75 | 26,34 | 31,53 | 36,74 | 40,11 | 43,19 | 46,96 | 49,64 |
| 29,00 | 12,46 | 13,56 | 15,31 | 16,93 | 18,94 | 22,66 | 27,34 | 32,62 | 37,92 | 41,34 | 44,46 | 48,28 | 50,99 |
| 30,00 | 13,12 | 14,26 | 16,05 | 17,71 | 19,77 | 23,57 | 28,34 | 33,71 | 39,09 | 42,56 | 45,72 | 49,59 | 52,34 |
Проверка по критерию Фишера (для двухуровневых шкал).
Критерий применяется в случаях, когда выборки анализируются на предмет наличия в их элементах некоторого признака. Обозначим через 
количество элементов, обладающих этим признаком, и общее количество элементов в каждой из сравниваемых выборок.
1. Вычисляется коэффициент Фишера по формуле
.
2. Если 
, делается вывод, что выборки различны с доверительной вероятностью 0,95.