рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ОСНОВЫ РАСЧЕТА ДЕТАЛЕЙ МЕХАНИЗМОВ

ОСНОВЫ РАСЧЕТА ДЕТАЛЕЙ МЕХАНИЗМОВ - раздел Образование, Основы Расчета Деталей Механизмов На Прочность, Жесткость И Устойчив...

ОСНОВЫ РАСЧЕТА ДЕТАЛЕЙ МЕХАНИЗМОВ

НА ПРОЧНОСТЬ, ЖЕСТКОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ

 

1. Основные положения

 

1.1. Введение

При проектировании и исследовании механизмов возникает определенный круг задач, например, по кинематике, динамике. Решение таких задач может быть осуществлено без учета деформируемости деталей, которые рассматриваются как абсолютно твердые тела.

Однако в реальных механизмах составляющие их звенья под воздействием внешних нагрузок деформируются, что при определенных условиях может привести к выходу механизма из строя (потеря прочности, жесткости или устойчивости). Одной из инженерных дисциплин, с помощью которых решаются задачи исследования прочности и деформируемости деталей, поперечные размеры которых значительно меньше длины, является “Сопротивление материалов”. На базе этой дисциплины, с учетом некоторых допущений и дополнений, изучаются общие методы расчетов деталей на прочность, жесткость и устойчивость, обеспечение минимальной массы и габаритов разрабатываемых авиационных механизмов. Рассмотрим эти методы.

 

1.2. Допущения

С целью упрощения расчетов примем некоторые допущения относительно свойств материала, нагрузок и характера взаимодействия деталей и нагрузок.

1-е допущение. Материалы тел предполагаются совершенно упругими, т.е. перемещения, являющиеся результатом деформации тела, линейно зависят от действующих сил и обращаются в ноль при снятии нагрузки.

2-е допущение. Материал тела сплошной, однородный, т.е. обладает во всех точках одинаковыми свойствами.

3-е допущение. Материалы деталей изотропны, т.е. обладают одинаковыми свойствами во всех направлениях.

4-е допущение. В материале детали до приложения нагрузки нет внутренних (начальных) усилий.

5-е допущение, или принцип независимости действия сил. Результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых к телу последовательно и в любом порядке. При этом перемещения при деформации считаются малыми по сравнению с размерами тела и подчиняются закону Гука: “До тех пор, пока величины внешних нагрузок не превысят определенных значений, между ними и перемещением любой точки тела по любому направлению существует линейная зависимость”.

6-е допущение, или принцип Сен-Венана. В точках тела, достаточно удаленных от мест приложения нагрузок, внутренние силы весьма мало зависят от конкретного способа приложения этих нагрузок.

Существует также ряд других частных допущений и гипотез, о которых будет сказано в соответствующих местах курса.

 

1.3. Нагрузки

Нагрузки, действующие на детали механизмов (или вызываемые взаимодействием деталей друг на друга) представляют собой силы или моменты сил. Они могут быть сосредоточенными (действующими практически в точке) и распределенными (действующими по длине, площади или объему детали). Согласно принципу Сен-Венана распределенную нагрузку при необходимости можно привести к сосредоточенной. В технической механике принято обозначать силу F в Ньютонах, Н; момент М — в Ньютон миллиметрах, Н×мм; длину l — в мм, площадь А — в мм2.

Сосредоточенные и распределенные нагрузки могут быть статическими и динамическими.

Статическими называются нагрузки, которые изменяют свою величину, точку приложения или направление с очень небольшой скоростью, что позволяет пренебречь влиянием сил инерции на прочность.

Динамическими называются нагрузки, изменяющиеся со значительной скоростью и по определенному закону от времени, что влияет на прочностные характеристики материала деталей.

 

1.4. Деформации

Деформацией тела называется всякое изменение его первоначальных размеров или формы, возникающее под воздействием внешних нагрузок. Деформация есть результат изменения межатомных расстояний в материале тела, она сопровождается изменением сил межатомного взаимодействия, которые далее мы будем называть внутренними силами.

Изменение линейных размеров тела называется линейной, а изменение угловых размеров — угловой деформациями.

Деформации, практически полностью исчезающие после снятия нагрузки называются упругими, а свойство тел принимать после разгрузки свою первоначальную форму — упругостью.

Если же после снятия нагрузки исчезает не вся деформация, то оставшаяся её часть называется остаточной, а деформация — пластичной.

В данном разделе будем рассматривать только упругую деформацию.

 

1.5. Метод сечений

Если тело находится в равновесии, то в пространстве это условие записывается шестью уравнениями статического равновесия сил (рис. 1. 1),

 

 

F3
z

F2 M n


O

x

       
   
 

 


F1 n

y

Рис. 1.1

S X = 0 S Mx = 0

S Y = 0 S My = 0

S Z = 0 S Mz = 0,

 

а на плоскости (например xOz) – тремя: S X = 0, S Z = 0, S My = 0.

Читается это так: проекции всех внешних сил на оси координат и моментов относительно осей координат равны нулю.

Задачей сопротивления материалов является определение внутренних силовых факторов. Для этого применяется метод сечений:

Если тело, находящееся в статическом равновесии под воздействием внешних сил и моментов мысленно рассечь поперечной плоскостью и отбросить какую либо часть, то оставшаяся часть также будет находится в состоянии равновесия под воздействием внутренних сил и моментов, действующих на оставшуюся часть.

Как было сказано выше, в данном разделе курса исследуются тела, длина которых много больше размеров их поперечного сечения. Рассмотрим случай пространственного нагружения тела, расположив его продольную ось вдоль оси Ox (рис.1.1). Согласно вышеизложенному методу мысленно рассечем тело поперечной плоскостью n-n и отбросим, например, правую часть. В центре тяжести сечения O левой части расположим оси координат (рис.1.2).

z

Mz

M

F2 Qz

 

O N

B x

Qy s Mx

       
   
 
 


F1 t p

DA DR

My

y Рис. 1. 2

Действие правой отброшенной части заменим следующими внутренними силовыми факторами.

N — нормальная (продольная) сила, направлена по нормали к сечению вдоль продольной оси тела (совпадает с осью Ox). Она стремится оторвать одну часть тела от другой;

Qy, Qz — поперечные (перерезывающие) силы, они расположены в плоскости рассматриваемого сечения и стремятся сдвинуть одну часть тела относительно другой;

Mx º T (Torsion – кручение) – крутящий момент, он возникает при закручивании тела вокруг продольной оси;

My, Mz – изгибающие моменты в плоскостях xOz и xOy, они стремятся изогнуть продольную ось рассматриваемого тела.

Для определения этих шести внутренних силовых факторов необходимо использовать шесть уравнений равновесия, приравняв нулю суммы проекций сил, приложенных к отсеченной части на три оси координат и приравнять нулю суммы моментов сил относительно трех осей, имеющих начало в центре тяжести сечения (рис.1.2).

Для решения конкретной задачи количество уравнений статики берется ровно столько, сколько неизвестных внутренних сил и моментов требуется определить. “Лишние” уравнения могут быть использованы для дополнительной проверки правильности выполненных расчетов. Задача при этом считается статически определимой. Если число неизвестных внутренних усилий больше, чем уравнений статики, задача является статически неопределимой и для ее решения необходимы дополнительные уравнения деформации тела.

 

1.6. Виды деформаций. Понятие о напряжениях

1. Если в поперечном сечении рассмотренного тела (рис.1.2) возникает только нормальная сила N, а остальные факторы отсутствуют, то на этом участке в зависимости от направления N имеет место деформация растяжения или сжатия.

2. При деформации сжатия в месте приложения нагрузки наблюдается деформация смятия.

3. При наличии только поперечных сил происходит сдвиг.

4. Если действует только крутящий момент Mx, тело подвергается деформации кручения.

5. Если имеются только изгибающие моменты, искривляющие продольную ось, деформация называется изгибом.

Перечисленные пять видов деформаций называются простыми. Сочетание нескольких простых деформаций называют сложной деформацией.

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, вводят понятие напряжения. Как же измерить интенсивность внутренних сил в любой точке какого либо сечения? Например, в сечении тела, изображенного на рис. 1. 2, выделим вокруг точки В бесконечно малую площадку DА. Равнодействующую внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим DR. Тогда напряжение в данной точке В будет равно:

 

p=limDR/DA=dR/dA (1.1)

DA®0

Напряжение — физический параметр, характеризующий интенсивность внутренних сил в определенной точке данного сечения и численно равный отношению элементарной внутренней силы к площади сечения, на которой она действует.

За единицу напряжения в “Технической механике” принят МПа (мегапаскаль)=Н/мм2. Полное напряжение р можно разложить на две составляющие (рис.1.2):

s — нормальное напряжение (составляющая, нормальная к плоскости сечения);

t — касательное напряжение (составляющая, лежащая в плоскости сечения). В зависимости от действующих сил касательное напряжение может иметь любое направление в плоскости сечения.

Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определенный физический смысл. Нормальное напряжение возникает, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения.

 

1.7. Типовые детали механизмов

При изучении деформаций и напряжений многообразие форм деталей независимо от их функционального назначения сводятся к следующим простейшим типам в зависимости от характерных геометрических признаков и воспринимаемых нагрузок:

1 — брус — тело, длина которого значительно (на порядок) больше размеров поперечного сечения;

2 — стержень — прямой брус (с прямолинейной осью), подвергающийся деформации растяжения или сжатия;

3 — балка — брус, подвергающийся изгибу, или изгибу совместно с растяжением;

4 — вал — брус, подвергающийся деформации кручения (или сложной деформации — кручению совместно с изгибом и растяжением);

5 — оболочка — тело, имеющее один размер значительно меньше двух других;

6 — массив — тело, все три измерения которого одного порядка.

 

 

2. Растяжение и сжатие

2.1. Деформация и напряжение при осевом растяжении

Осевым растяжением (сжатием) стержня называется деформация его силами F, линия действия которых совпадает с продольной осью стержня (рис.2.1.).

n
Db/2

 
 


F F

b0 b1

 
 

 


l0 D l

l1

Рис. 2. 1

Деформация растяжения проявляется в изменении длины и поперечных размеров стержня.

Для количественной характеристики деформации растяжения используются следующие величины (см. рис.2.1.): l0 — первоначальная длина стержня, l1 — длина после деформации, Dl = l1 - l0 — абсолютное удлинение; b0 — первоначальный, b1 — конечный размер поперечного сечения стержня, Db= b1-b0— абсолютное изменение поперечных размеров; e = Dl/l0 — относительное удлинение, e1 = Db/b0 = (b1 - b0 )/ b0 — относительная поперечная деформация.

Для различных материалов e1 = -me, где m — коэффициент Пуассона, он определяется экспериментально и равен: для сталей m = 0,25…0,33 (обычно в среднем берут m = 0,3), для бронз — 0,32…0,35, для алюминиевых сплавов — 0,3…0,36 и т. д. Коэффициент m положителен, а знак "-" в формуле указывает, что при растяжении стержня его поперечное сечение уменьшается, а при сжатии — наоборот.

Для определения напряжений, действующих в поперечных сечениях стержня (сечение всегда нормально продольной оси), применим метод сечения и гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), согласно которой поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации.

n s

F N

A

 
 


n

 

Рис. 2.2

 

Отсечем левую часть стержня (рис.2.1.) по сечению n-n, отбросив правую часть (рис.2.2.). Поскольку сечение n-n “нормально” оси стержня и внешней силе F, то в нем будут присутствовать только нормальные напряжения s , равные во всех точках сечения А. Внутренняя сила N будет ровна равнодействующей элементарных сил dN = sdA,т.е. N = òAsdA = sòAdA = sА . Отсюда:

 
 


s = N/A (2.1.)

 

При растяжении внутренняя сила N и напряжение s считаются положительными, при сжатии — отрицательными.

2.2. Диаграмма растяжения и ее характерные точки

В расчетах на прочность и жесткость при растяжении, сжатии, сдвиге, кручении и изгибе необходимо знать механические свойства материалов. Эти свойства выявляются при испытаниях опытных образцов (обычно круглого сечения) с длиной рабочей части l0 = (5…10)d. Испытания проводят на универсальных испытательных машинах, а для количественного выражения механических характеристик материала испытуемого образца используют условную диаграмму "напряжение — деформация", изображенную в координатах s = N/A0 и e = Dl/l0 , где N = F — прилагаемая сила, A0 и l0 — первоначальная площадь сечения и длина рабочей части образца, Dl — абсолютная, e — относительная деформации (см. рис.2.3.).

 

D
s s

sв

D
K
sв

С
В
sт

А
sпр

0 e 0 e

а) б)

Рис. 2. 3

 

Рассмотрим диаграмму растяжения пластичного материала (рис.2.3,а), отметив на ней характерные точки A, B, C, D и K.На участке ОА между s и e существует строго пропорциональная зависимость, здесь свойства материала подчиняются закону Гука. Напряжение sпр , соответствующее точке А, называется пределом пропорциональности. На участке АВ диаграмма становится криволинейной, пропорциональность нарушается, однако деформация еще остается упругой (при снятии нагрузки остаточная деформация не превосходит некоторую весьма малую величину eост =(0,002…0,005)%.

На участке ВС деформация растет быстрее нагрузки и в точке С материал начинает "течь". Это вызывается сдвигами в кристаллической решетке. Участок BC – зона текучести, когда удлинение образца Dl происходит без увеличения силы F. Напряжение, соответствующее точке B диаграммы, называется пределом текучестиsт.

В случае полной разгрузки образца из пластичного материала, прошедшего зону текучести, в нем наблюдается остаточная деформация eост. При повторном нагружении предел пропорциональности значительно возрастет. Это явление называется наклёп или нагартовка и учитывается при конструировании (может улучшить или ухудшить прочность конструкции).

На участке CD внутренняя структура материала значительно изменяется, благодаря чему с увеличением нагрузки деформация вновь растет, причем более интенсивно, чем в зоне упругости. В точке D напряжение достигает максимального значения, которое может выдержать образец. Это напряжение sв называют пределом прочности или временным сопротивлением.

За точкой D в образце возникает суженная зона (шейка), поэтому дальнейшая деформация протекает при уменьшении нагрузки F. В точке K происходит разрыв образца.

Диаграмма растяжения хрупких материалов имеет только одну характерную точку D (рис.2.3,б) в которой и наступает разрушение. Точке К соответствует напряжение sв.

Некоторые хрупкие материалы (бронзы, дюралюминий, специальные стали и др.) имеют так называемый условный предел текучести s0,2 — это такое напряжение, при котором остаточная деформация равна 0,2 %. Например, у стали 37XН3А s0,2 = 1000 МПа, у бронзы БрАЖ9-4 — 250 МПа.

Для большинства конструкционных материалов их прочностные характеристики при растяжении и сжатии можно считать одинаковыми, хотя предел прочности некоторых хрупких материалов (например, чугуна) при сжатии может быть значительно выше, чем при растяжении.

 

2.3. Закон Гука

При осевом растяжении стержня напряжение пропорционально деформации:

 
 


s = E·e (2.2)

 

где E — коэффициент пропорциональности (модуль Юнга, модуль упругости первого рода). Учитывая, что s = N/A0 , а e = Dl/l0, получим:

 

Dl = Nl0/EA0 (2.3)

 

Зависимости (2.2) и (2.3) принято называть законом Гука при растяжении или сжатии.

Из рис.2.3,а видно, что закон Гука справедлив на участке OA, где в любой точке диаграммы s = Ee. Модуль Юнга геометрически пропорционален тангенсу угла наклона диаграммы tga. Очень важна физическая интерпретация модуля упругости. Если условно представить, что Dl = l0 (т.е. образец удлинился в 2 раза), то e = 1 и тогда Е = s, МПа. Таким образом, модуль Е численно равен напряжению, которое могло бы возникнуть в опытном образце при его удлинении в два раза. Модуль E определяется экспериментально и приводится в таблицах в числе механических характеристик материалов. Например, для стали E = (2...2,2)·105, для бронз — (0,9…1,15)·105, алюминиевые сплавы — 0,7·105, капрон — 103 МПа.

 

2.4. Твердость

Твердостью называется свойство материала оказывать сопротивление механическому проникновению в его поверхностные слои некоторого стандартного, достаточно твердого тела.

Для определения твердости существует несколько методов, наиболее распространенными из которых являются методы Бринелля (НВ) и Роквелла (НRC). В первом случае в поверхность детали исследуемого материала вдавливается стальной закалённый шарик, во втором — алмазный конус. Число твердости определяется отношением силы F, вдавливающей шарик или конус, к площади лунки A; т.е. измеряется в МПа. Рекомендуется шкалой НВ пользоваться до твердости не выше 350 МПа, а далее HRC. Для сравнения между собой приближенно можно считать, что НВ @ 10 HRC. Например, для термообработанной стали 45А НВ = 514, HRC = 52. В технической документации пишут: твердость 514НВ. Или : твердость 52HRC.

 

2.5. Механические характеристики некоторых материалов

Для решения задач, которые будут рассматриваться ниже, приведём механические характеристики некоторых материалов. Например конструкционная качественная сталь 45А имеет sв = 590 МПа , sт = 315 МПа, твердость = 180 МПа при нормальных условиях эксплуатации (температура +20°C, нормальное давление и т.д.) и термообработке, которая называется “нормализация”. При термоулучшении sв = 690, sт = 490, твердость = 220 МПа, а при поверхностной закалке токами высокой частоты (п.з. ТВЧ) и низком отпуске (н.о.) sв = 880, sт = 635, а твердость повышается до 514HB (52HRC) МПа. У легированных сталей прочность и твердость значительно выше. Например, у стали 40ХН2МА при термоулучшении sв = 980, sт = 835, НВ = 300 МПа, а при п.з. ТВЧ, н.о. — sв = 1080, sт = 930, НВ = 512 (HRC = 52) МПа. У латуни ЛС59-1 sв = 196, sт = 146, НВ = 83 МПа. У бронзы Бр0Ф6,5-0,15 sв = 340…440, sт = 195…245, НВ = 68…88 МПа. У алюминиевого сплава Д16Т sв = 292…422, s0,2 = 275…294 МПа. Магниевый сплав МА1 имеет sв = 196, sт = 98, НВ = 39 МПа.

Следует заметить, что хотя многие параметры и даны однозначно, реальные механические характеристики sв, sт, НВ и др. при испытаниях подвержены большим рассеиваниям, хотя образцы идентичны и материал даже из одной плавки. Например, предел прочности стандартных образцов из стали 38ХА составляет sв = 950...1200 МПа. Причинами рассеивания являются различия в микроструктуре, степень дефектности материала, неточность измерения. А для совокупности всех плавок металла это рассеивание становится еще больше.

Таким образом, даже в нормальных условиях механические характеристики материалов являются случайными величинами, определяемыми с некоторой вероятностью.

Кроме этого, на механические характеристики материала влияют такие факторы, как изменение температуры, скорость изменения нагрузки и другие.

 

2.6. Основы расчета на прочность и жесткость при растяжении и сжатии

 

Прочность, т. е. способность сопротивляться разрушению, является важным свойством конструкции. Наибольшее распространение

получили методы расчета по допускаемому напряжению и по запасам прочности.

Условие прочности при растяжении по допускаемому напряжению имеет вид:

 

sрмах = N/A £ [sр] (2.4)

 

где sрмах — наибольшее расчетное напряжение детали, [sр] — допускаемое напряжение материала детали при растяжении, N — расчетная внутренняя сила в сечении А.

Допускаемым называется такое наибольшее напряжение, при котором обеспечивается заданная надежность работы детали в течение заданного срока эксплуатации.

Ориентировочно допускаемое напряжение может быть определено по формуле:

 

[sр] = sоп/[n], (2.5)

 

где sоп — опасное или предельное напряжение, в качестве которого для пластичных материалов принимается предел текучести sт, для хрупких — предел прочности sв; [n] — допускаемый (нормативный) запас прочности, зависящий от ряда факторов, основными из которых являются:

1 — неточность определения расчетных напряжений за счет отклонения условий работы системы от принятых в расчете;

2 — некоторый разброс характеристик материала;

3 — неточность определения значения внешних факторов;

4 — эксплуатационное назначение системы и связанная с ним серьезность последствий при возникновении опасных состояний;

5 — срок эксплуатации системы, определяющий снижение предельных параметров.

Выбор значений допускаемых запасов прочности и допускаемых напряжений в авиационных конструкциях основываются на опыте предшествующего проектирования и эксплуатации подобных конструкций и приводится в справочниках, заводских нормалях и др. В авиационной технике принимают [n] = 1,5..2. При меньших значениях [n] деталь может разрушиться преждевременно, при больших — иметь лишний вес и габариты.

Условие прочности (2.4) используется в основном при предварительном проектировании для решения следующих задач:

а) по заданной силе N и допускаемому напряжению [sр] определить минимальную площадь сечения детали Amin:

 

Amin ³ N/[sр] (2.6)

 

б) по заданной площади A и допускаемому напряжению [sр] определить максимально возможную нагрузку Nmax:

 

Nmax £ A·[sр] (2.7)

 

При проверочных расчетах проверку на прочность удобнее проводить по расчетному запасу прочности n:

 

n = sоп/sрмах ³ [n] (2.8)

 

Работоспособность подвергающихся растяжению или сжатию деталей определяется не только прочностью, но и жесткостью. Условие достаточной жесткости представляет собой неравенство, вытекающее из закона Гука (2.3):

n

DlS = SNi·li/(E·Ai)£ [Dl] (2.9)

i=1

где [Dl] — допускаемое абсолютное удлинение, DlS — суммарное расчетное удлинение всех участков стержня, i = 1,2,…,n — номера участков.

 

2.7. Построение эпюр N, sр, Dl

Эпюра — диаграмма, выражающая изменение какого-либо параметра по длине бруса. При построении эпюр нормальных сил N, напряжений sр и перемещений Dl используют рассмотренный выше метод сечений.

Рассмотрим построение эпюр N, sр и Dl, а также проверим выполнение условий прочности и жесткости для стального двухступенчатого стержня (рис. 2.4) имеющего следующие исходные параметры: F = 100H, A = 1мм2, а = 20мм, Е = 2·105МПа, sт = 490МПа (сталь 45А), [n] = 1,5, [Dl] = 0,05мм.

Решение

1. Определяем реакцию RA в заделке А на основании уравнения статического равновесия SХ = 0, направим реакцию влево. Тогда:

- RA - 4F + 2F + F = 0 Þ RA = - F.

 

   
 
 
 


2A

RA
A

F
А 4F B C D 2F E

               
   
X
   
 
   
 
 

 


a a a a

I II III IV

+300

0 +100

N, H

-100

+300

 

+150 +100

0 s, МПа

-50

+40 +50

+10

0

Dl·10-3,мм

-10

Рис. 2. 4

 

Знак “-” указывает на то, что истинное направление реакции RA направлено в другую сторону. Зачеркиваем первоначальное направление и направляем RA вправо. Теперь RA = F = 100 Н.

2. Строим эпюру распределения нормальных сил N, используя метод сечений, который в данном случае будет читаться так: “Если стержень, находящийся в равновесии под воздействием внешних сил, действующих вдоль оси, мысленно рассечь поперечной плоскостью и отбросить какую-либо часть, то оставшаяся часть также будет находиться в равновесии под воздействием внутренней нормальной силы N, действующей на нее со стороны отброшенной части; при этом N численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на оставшуюся часть:

n m

N = S Fi - S Fk,

i=1 k=1

где Fi — силы, растягивающие рассматриваемый участок, Fk — сжимающие его, n и m – количество растягивающих и сжимающих сил”.

Разобьем стержень на 4 участка: I – AB, II – BC, III – CD, IV – DE. Начнем построения слева, с первого участка.

I
а) Рассекаем первый участок поперечной плоскостью, левую часть оставляем, правую - отбрасываем:

 

RA A NI

 

 

NI = - RA = - 100 Н. Знак “–” показывает, что участок АВ сжимается.

II
б) Рассечем второй участок, оставив левую часть:.

 

 

RA 4F NII

 

NII = - RA + 4F = - F + 4F = 3F = 300 Н. (участок II растягивается).

в) На участке III внутренние силы такие же, как и на участке II, т. к. в сечении С изменяется только площадь.

VI
г) Рассечем участок VI , оставив правую часть :

 

 

NIV F

 

NIV = + F = 100 H, участок растягивается. Строим эпюры N согласно расчетам.

3. Вычисляем по участкам и строим эпюру напряжений.

sI = NI/AI = -100/2 = -50 МПа; sII = NII/AII = 300/2 = 150 МПа;

sIII = NIII/AIII = 300/1 = 300 МПа; sIV = NIV/AIV = 100/1 = 100 МПа.

Из эпюры напряжений видно, что наиболее нагруженным является участок CD, где spmax = 300 МПа. По условию прочности (2.4) получим:

spmax = 300 < [sp ] = sT/[n] = 496/1,5 = 326 МПа, т. е. условие прочности выполняется.

4. Строим эпюру перемещений. Строить начинают обычно от заделки, а если ее нет, то от любого свободного конца стержня. Согласно закону Гука (2.3) на первом участке в сечении, отстоящем от заделки на расстоянии х, абсолютное удлинение равно:

Dlх = NI·х/(Е·AI )= -100·х/(2·105·2) = -0,25·10-3х мм, где 0 £ х £ а. Уравнение наклонной прямой с отрицательным уклоном. При х = а получим DlВ = DlАВ = -0,25·10-3·20 = -5·10-3 мм.

Далее используем “метод припасовывания”: перемещение точки С относительно заделки А равно перемещению точки В плюс абсолютное удлинение участка ВС:

DlС =DlВ + DlВС = -5·10-3 + NII·lII/(Е·AII)= -5·10-3 + 300·20/(2·105·2) =(-5+15)·10-3 = 10·10-3 мм. В точке D: DlD = DlC + DlСD = 10·10-3 + NIII·lIII/(Е·AIII) = 10·10-3 + 300·20/(2·105·1) = (10+30) ·10-3 = 40·10-3 мм.

В точке Е: DlЕ = DlD + DlDE = 40·10-3 + NIV·lIV/(Е·AIV) =40·10-3 + 100·20/(2·105·1) = 50·10-3 мм. Строим эпюру Dl на рис. 2.4.

Проверяем условие жесткости:

Dlmax = DlE = 50·10-3 =0,05мм = [Dl] = 0,05 мм, т.е. условие выполняется.

Если хотя бы одно из условий не выполнялось, необходимо было бы принять дополнительные меры: снизить нагрузку, увеличить площадь сечения или взять более прочный материал.

5. Определяем расчетный запас прочности согласно (2.8):

n = sоп / sр max = sТ / sр max = 490 / 300 = 1,63.

Поскольку n =1,63 > [n] = 1,5, условие прочности выполняется.

 

2.8. Статически неопределимые системы

Имеется много конструкций, в элементах которых усилия не могут быть определены только из уравнений статического равновесия. Такие конструкции (системы) называются статически неопределимыми.

Рассмотрим две простейшие задачи статически неопределимых систем и методы их решения.

1. Стержень (рис. 2.5, а) зажат между двумя заделками так, что нагрузка F воспринимается как левой, так и правой заделками.

A1 A2 Dto A

RА
B
x
RB
RA
A
C
RC
F
B
A

                   
 
   
 
 
 
   
     
   
 
 
 
 

 


l1 l2 l

       
   


а) б)

 

Рис. 2. 5

 

Для определения реакций RA и RС можно использовать только одно уравнение статики åХ = 0, из которого получаем: RA + RС = F. Так как неизвестных два, а уравнение одно, необходимо еще одно дополнительное уравнение — уравнение деформации стержня. Такая система будет называться один раз статически неопределимой.Если система требует двух уравнений перемещений, она называется дважды статически неопределимойи т. д.

Используя метод сечений, определяют внутренние силы N1 = RA и N2 = - RС на первом и втором участках, откуда на основании закона Гука находят суммарную деформацию стержня:

DlAC = DlAB + DlBC =(N1 · l1 ) / (E · A1) + (N2 · l2 ) / (E · A2). Поскольку стержень зажат с двух сторон и DlAC = 0, получим:

(RA · l1 ) / (E · A1)+ ( - RC · l2 ) / (E · A2) = 0.

Исходя из того, что из уравнения статики RC = F - RA , приняв, например, l1 = l2 , А1=2А2 , получим: RA = 2F / 3, RC = F / 3. Далее, при необходимости, осуществляется построение эпюр сил, напряжений, перемещений, производится анализ прочности и т. д.

2. Пусть металлический стержень длиной l зажат между двумя жесткими опорами А и В. При повышении температуры на Dt стержень должен удлиниться на Dlt = a · l · Dt, или et = Dlt / l = a · Dt, где a – температурный коэффициент линейного расширения (для стали a = 12 · 10-6 оС-1). Так как стержень зажат и не может удлиниться, в нем возникнет напряжение сжатия, значение которого определится по закону Гука:

 

sсж = E·et = Е · a · Dt (2.10)

 

Например, если стальной вал жестко зажат между опорами, то независимо от его длины и размеров поперечного сечения при увеличении температуры напряжение в нем будет увеличиваться на

sст = 2 · 105 ·12 · 10-6 · Dt = 2,4 · Dt, т. е. на 2,4 МПа на один градус.

При Dt = 100о sсж = 240 МПа, что практически сделает вал неработоспособным. Реакции в опорах при этом будут равны RА = RВ = N = s · А. При диаметре вала, например, равном d = 10мм получим RА = 240 · 78,5 = 18840 Н. Это очень большая величина!

В более сложных случаях расчет статически неопределимых систем способом сравнения деформаций может приводить к ошибочным результатам, поэтому рекомендуется применять более строгие методы: метод сил или энергетический метод.

 

3. Сдвиг, смятие

 

3.1. Деформация и напряжение при сдвиге и срезе

Деформацией сдвига называют такую деформацию, при которой на брус действуют две равные по модулю, противоположные по направлению, весьма близко расположенные друг к другу и перпендикулярные продольной оси бруса силы (рис. 3.1, а).

 

z F

b
a
зона деформации t

Dz

х b/

       
 
   
 


левая часть правая часть A

d с

брус g

c/

F Dх


а) б)

Рис. 3. 1

 

Выделенный в зоне деформации элемент (рис. 3.1, б) иллюстрирует относительное смещение его граней. Характерным для сдвига является перекашивание прямых углов в зоне деформации, в результате чего прямоугольник abcd превращается в параллелограмм ab'c'd. Количественными характеристиками при сдвиге являются: Dz— абсолютный или линейный сдвиг; Dz / Dх — относительный (угловой) сдвиг.

При деформации в пределах упругости значение Dz / Dх мало и его можно выразить через угол сдвига:

 

Dz / Dх = tgg » g (3.1)

 

При сдвиге на гранях сечения А элемента ab'c'd возникают внутренние силы взаимодействия с интенсивностью t, где t — касательное напряжение. Из опытов следует, что t распределяется по сечению А равномерно, поэтому его значение может быть найдено из условия, что равнодействующая внутренних перерезывающих сил Q уравновешивает внешнюю нагрузку F: Q = t · A = F, откуда

t = F / A (3.2)

При достижении касательным напряжением некоторого предельного значения, левая часть бруса (рис.3.1,а) может отделиться от правой , т.е. произойдет срез. В общем случае условие прочности детали на срез определяется выражением

 

tср = F/ Аср £ [tср], (3.3)

 

где [tср] – допустимое напряжение на срез.

В технической механике на срез проверяют в основном такие элементы конструкций, как штифты, шпонки, заклепки. Для элементов из углеродистых сталей принимают [tср] = 70…80 МПа, при ударных нагрузках его снижают до [tср] = 35…40 МПа (например для сталей 45, 50, А12 и др.).

 

3.2. Закон Гука при сдвиге

При деформации опытных образцов на сдвиг в пределах упругости установлено, что касательное напряжение t пропорционально значению относительного сдвига g:

t = G · g, (3.4)

где G – коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости при сдвиге (модуль сдвига) или модулем упругости второго рода.

Между модулями упругости Е и G существует зависимость:

G = E / 2 · (1 + m) » 0,4 · E (3.5)

Например, для сталей G = 0,8 · 105 МПа, для бронз » 0,2 · 105 , для алюминиевых сплавов » 0,14 · 105 МПа.

Пример.

Для передачи вращающего момента Т = 1000 Нмм с полого вала 1 (рис.3.2) на вал 2 диаметром d = 10 мм использовали штифт 3 диаметром dшт £ 0.25d = 2,5 мм, изготовленный из стали 45. Поскольку нагрузка реверсивно-ударная, принимается [tср] = 40 МПа. Провести проверку соединения на прочность и при необходимости внести коррективы в начальные условия.

A A-A

2 3 Aср Т

       
 
   
 


Fср

                   
 
     
       
       
 
 
 
 


d Т

Fср

Т

1

dшт

 
 


A Рис. 3. 2

 

Решение.

Штифт срезается по двум сечениям, в которых площадь среза Аср= 2 · p · dшт2 / 4 = 2 · 3,14 · 2,52 / 4 = 9,8 мм2 . Срезающая сила Fср = 2Т / / d = 2 · 1000 / 10 = 200 H. Из условия прочности получим: tср = Fср / Аср = 200 / 9,8 = 20 МПа < [tср] = 40 МПа. Поскольку расчетное напряжение получилось меньше допустимого в два раза, можно либо оставить все как есть, либо увеличить в 2 раза вращающий момент, либо уменьшить диаметр штифта из условия Аср ³ Fср / [tср], откуда dшт ³ 1,78 мм. По ГОСТ 3128-70 выбираем стандартный штифт диаметром dшт = 1,8 мм .

 

3.3. Смятие

Особенностью деформации смятия является действие сжимающей силы на сравнительно небольшой площади. Например, головка стального стержня 1 давит на более мягкую пластину 2 силой F, (рис. 3.3, а), при этом поверхность пластины под головкой будет сжиматься, вдавливаясь внутрь.

D 1 Dш

Асм 3

2

d

         
 
   
 
   


F
F

a) б)

Рис. 3. 3

В этих местах появится местноесжатие, напряжение от которого быстро убывает по мере удаления в стороны и вглубь материала пластины 2 и определяется по формуле:

 

sсм = Fсм / Асм , (3.6)

 

где Fсм = F и при этом сминается как головка стержня, так и пластина. Если соприкасающиеся тела сделаны из разных материалов (как в данном примере), проверка на смятие проводится для более мягкого материала, т. е. в данном случае для пластины. Условие прочности при смятии имеет вид

 

sсм = Fсм / Асм £ [sсм ], (3.7)

 

где [sсм ] — допускаемое напряжение более мягкого материала — пластины (например, литейный сплав АЛ7, s0,2 = 150 МПа).

При статической нагрузке ориентировочно можно брать [sсм ] = 0,8sТ , при пульсирующей — 0,5sТ, при знакопеременной — 0,4sТ (или s0,2 ).

В данном примере при статическом нагружении силой F = 6000 H, d = 5 мм, D = 8 мм получим:

sсм = F / Acм = F / 0,8 (D2 – d2 ) = 6000/ 0,8 (64 – 25) = 192 МПа. Поскольку [sсм ] = 0,8sТ = 0,8 · 150 = 120 МПа, sсм > [sсм ], условие прочности на смятие не выполняется. Для удовлетворительного функционирования узла необходимо под головку стержня подложить стальную шайбу 3 (рис. 3.3, б), диаметр Dш которой определяется из условия прочности (3.7): Dш ³ 9,35 мм. Принимаем Dш = 10 мм. При этом согласно (3.7) и рис.3.3, sсм = Fсмсм = Fсм / 0,8(Д2м – d2) = 6000 / 0,8(102-52) = 100 МПа < [sсм ] = 120МПа, т.е. условие прочности на смятие выполняется.

В авиационных механизмах проверке на смятие подвергаются в основном штифтовые, шпоночные, шлицевые и др. соединения. Например, призматическая шпонка 2 (рис. 3.4), служащая для передачи крутящего момента Т с вала 3 на колесо 1 имеет высоту h, ширину b и длину l (выбирается по таблицам стандартов в зависимости от диаметра вала d). Площадь смятия Асм = l· (h / 2), сила смятия Fсм = Т / (d / 2) = 2Т / d.

 

T

1

2

sсм

3 h

b

d l T

       
 
   
 

 


Рис. 3. 4

Проверку на смятие проводят по формуле 3.7, получаем sсм = 4Т / (d · l · h) £ [sсм ]. При необходимости можно провести также и проверку на срез по формуле (3.3), где Аср = l · b, Fcр = Fcм.

 

 

4. Геометрические характеристики плоских сечений

 

4.1. Общие положения

До сих пор при рассмотрении деформаций растяжения, сдвига или смятия площадь поперечного сечения элемента конструкции была единственной характеристикой, достаточной для рассмотрения на прочность и жесткость. При кручении и изгибе, как будет показано ниже, площадь сечения уже не может характеризовать меру сопротивляемости элемента внешним нагрузкам.

Например, при равных площадях сечений А = b · h и силе F сопротивляемость балки в положении рис. 4.1,а значительно выше, чем в положении рис. 4.1, б. То есть на величину напряжений в соответствующих сечениях балки при изгибе будет влиять не только величина площади А, но и ее конфигурация и ориентация относительно осей y и z.

 

z z

       
   
 


y

y F F b

l

h

l x h x

b

а) б)

Рис. 4. 1

 

Рассмотрим некоторые геометрические характеристики сечений, используемые в теории изгиба и кручения.

Изобразим сечение балки произвольной конфигурации в произвольной системе координат yOz (рис. 4.2, а).

 
 
dA


z z1 z

A
y
dA

y A b

z
y

r z y 0

0 a

y1

01

 

а) б)

 

Рис. 4. 2

 

1) Статические моменты сечения относительно координатных осей определяются по формулам:

 

Sy = òA zdA; Sz = òA ydA (4.1)

 

Отсюда при известных статических моментах центр тяжести сечения находится по формуле

 

y = Sz / A, z = Sy / A. (4.2)

 

2) Осевые моменты инерции сечения представляют интегральную сумму произведений элементарных площадей dA сечения на квадрат расстояния их до соответствующих осей:

 

Iy = òA z2 dA; Iz = òA y2 dA (4.3)

 

3) Полярный момент инерции

 

Ip = òA r2 dA, (4.4)

где r — радиус вектор элемента dA.

Приняв во внимание, что r2 = y2 + z2, используя (4.3) и (4.4) получим:

Iр = Iy + Iz (4.5)

 

4) Центробежный момент инерции сечения

 

Iyz = òA yz dA (4.6)

 

Оси y и z сечения А можно расположить так, что центробежный момент инерции относительно этих осей обратится в ноль. Такие оси называются главными осями инерции сечения. Iy и Iz относительно этих осей имеют экстремальные значения. Если начало главных осей совмещено с центром тяжести сечения, оси называются главными центральными осями инерции сечения. Если сечение имеет оси симметрии, то главные центральные оси совпадают с ними.

5) Если деталь сложного сечения, ее суммарный осевой момент инерции можно найти как сумму простых моментов инерции сечений, используя параллельный перенос осей координат (рис. 4.2, б):

 

Iy1 = òA (z + a)2 dA = Iy + a2 A (4.7)

Iz1 = òA (y + b)2 dA = Iz + b2 A

 

Определим некоторые геометрические характеристики относительно главных центральных осей инерции наиболее часто встречающихся сечений — прямоугольника, круга и кольца.

 

4.2. Осевые и полярные моменты инерции прямоугольника, круга и кольца

r
z A z z

           
 
     
 


dA

z dz r

h y 0 y d0 y

               
   
   
       
 
 
 


dr

b d

       
   


а) б) в)

Рис. 4. 3

1. Рассмотрим прямоугольник с основанием b и высотой h (рис. 4.3, а). Проведем главные центральные оси инерции y и z, совместив их с осями симметрии, выделим элемент dA = b · dz, отстоящий на расстоянии z от оси y. Согласно формуле (4.3) получим:

+0.5h

Iy = òA z2 dA = òA z2 b dz = b · h3 / 12 (4.8)

-0.5h

Аналогично Iz = h · b3 / 12.

Размерность – мм4 .

2. Рассмотрим сплошное круглое сечение радиусом r (диаметром d = 2r) (рис. 4.3, б). Выделим в сечении круга элементарное кольцо радиусом r, толщиной dr, площадью dA = 2prdr. Полярный момент инерции определим по формуле (4.4):

r

Ip = òA r2 dA = ò r2 2prdr = (pr4 / 2) = (pd4 / 32) (4.9)

0

Поскольку осевые моменты инерции круглого сечения за счет симметрии равны между собой, то с учетом (4.5) получим:

 

Iy = Iz = Ip /2 = pd4 / 64 (4.10)

 

3. Моменты инерции кольца с внешним диаметром d и внутренним d0 (рис. 4.3, в) находятся как разность моментов инерции внешнего и внутреннего кругов:

Iy = Iz = pd4 / 64 - pd04 / 64 = (pd4 / 64) (1 – c4 ) (4.11)

Ip = (pd4 / 32) (1 – c4),

где с = d0 / d.

4. Определим осевые моменты инерции Iy и Iz сложного сечения (рис. 4.4), состоящего из прямоугольника со сторонами b = 40 мм и h = 20 мм с двумя равными отверстиями диаметром d = 10 мм, расположенными симметрично относительно главной центральной оси OZ на расстоянии а = 10 мм.

z1 z z2

 
 

 


h d d y, y1, y2

0

       
   
 


a a

b

Рис. 4. 4

 

Проведем главные центральные оси yOz, которые будут совпадать с осями симметрии прямоугольника. Оси y1 и y2 отверстий совпадут с осью y, а оси z1 и z2 отстоят от оси z на равные расстояния а = 10 мм. Получаем:

Iy = Iÿy - 2I°y = (bh3 / 12) - 2(pd4 / 64) = (40 · 203 / 12) - 2 · (3.14 · 104 / 64) = 26666 - 980 = 25686 мм4.

Iz = Iÿz - 2 (I°z + a2 A°) = (hb3 / 12) - 2 · (pd4/64 + 102·pd2/4) =(20·403/12) – 2 · (490 + 7850) = 106700 – 16680 = 90020 мм4.

 

5. Кручение

 

5.1. Общие сведения

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях внутренние усилия приводятся только к крутящему моменту. Такое кручение называют свободным или чистым. К деталям авиационных механизмов, подвергающихся деформации кручения, прежде всего относятся валы различных типов и конструкций, служащие для поддержания вращающихся деталей с целью передачи между ними крутящих моментов. При деформации кручения происходит чистый сдвиг. Представим вал в виде круглого цилиндра, состоящего из концентрически расположенных слоев-трубок (рис. 5.1).

 

z

 
 

 


T Эпюра сдвига

 
 


x

Dj

 

 

y

l


Рис. 5. 1

 

При действии на вал внешнего крутящего момента Т каждый из этих слоев поворачивается относительно соседних, т. е. отдельные элементы подвергаются деформации чистого сдвига. Мерой деформации кручения принято считать:

Dj - абсолютный угол закручивания концевого сечения вала относительно сечения , отстоящего от него на расстояние 1 (рис.5.1);

q = dj / dx – относительный угол закручивания или интенсивность закручивания (при однородном закручивании q = Dj / l).

При дальнейших расчетах и исследованиях наряду с допущениями, изложенными в параграфе 1.2, добавим следующие гипотезы:

1 — поперечные сечения вала (плоские и перпендикулярные продольной оси вала до деформации) остаются таковыми и после деформации;

2 — радиусы сечений не искривляются;

3 — расстояния между поперечными сечениями вала в процессе деформации не изменяются;

4 — при деформации кручения в пределах упругости можно использовать закон Гука при сдвиге.

 

 

5.2. Определение деформаций и напряжений при кручении вала

Для рассмотрения напряженного состояния вала, изображенного на рис. 5.1, выделим из элемента вала длиной dx часть, ограниченную цилиндрической поверхностью радиуса r (рис. 5.2, а).

 

z z

A dA

 

T b/ Мкр tr

dj r

gr
0 x y dF = trdA

c b r 0 r

 

 

y

dx


а) б)

 

Рис. 5. 2

 

Поскольку на длине dx произошел абсолютный сдвиг bb', то относительный сдвиг согласно (3.1) будет равен gr = bb' /dx. Однако из D0bb' bb' = rdj, откуда получаем gr = rdj / dx. Учитывая, что dj / dx = q (относительный угол закручивания), получим

 

gr = r q. (5.1)

 

Учитывая, что при чистом сдвиге возникает касательное напряжение, его значение согласно допущению (4) может быть найдено на основании закона Гука: tr= G × gr , или с учетом (5.1)

 

tr= G q r. (5.2)

 

Относительный угол закручивания или интенсивность закручивания q и напряжение tr в сечении элемента вала зависят от внешнего момента Т. Поскольку внешний момент согласно методу сечений уравновешивается внутренним крутящим моментом Мкр, уравнение равновесия согласно рис. 5.2, б имеет вид:

 

Мкр = òА dM = òA r dF = òA r(tr dA).

 

Принимая во внимание уравнение (5.2), получаем

 

Мкр = òА Gqr2 dA = Gq òA r2 dA, с учетом (4.4)

 

Mкр = GqIp , (5.3)

 

откуда определяется интенсивность закручивания

 

q = Мкр / ( GIp ) (5.4)

 

Для однородного вала с учетом, что q = Dj / l получим абсолютный угол закручивания:

 

Dj = Мкр l / ( GIp ) (5.5)

 

Подставив значение q из (5.4) в формулу (5.2) получим

 

tr= G r q = G r Мкр / ( GIp ) = Мкр r/ Ip (5.6)

 

Формулы (5.4) - (5.6) дают точное решение для вала круглого сечения, для сечения другой формы эти зависимости являются приближенными.

Рассмотрение напряженного состояния вала дает основание сделать следующие выводы:

1 — при деформации кручения в поперечных сечениях вала возникают касательные напряжения t, значения которых изменяются вдоль радиуса сечения (рис. 5.2, б);

2 — наибольшие касательные напряжения tmax действуют у поверхности вала при r = rmax = r, при этом согласно (5.6) получим:

tmax = tкр = Мкр / Wp, (5.7)

 

где Wp, = Ip / r – полярный момент сопротивления.

Для круглого сечения с учетом (4.9):

 

Wp = pr4 / (2r) = pr3 / 2 = pd3 / 16 » 0,2d3 ; (5.8)

 

Для кольца с учетом (4.11) получим

 

Wp = pd4 (1 – с4 ) / (32d / 2) » 0,2d3 (1 – c4 ); (5.9)

3 — условие прочности вала в опасном сечении при кручении выражается зависимостью

 

tкр = Мкр / Wp = Мкр / 0,2d3 £ [tкр], (5.10)

 

где [tкр] — допускаемое напряжение при кручении. При действии статических нагрузок принимают [tкр] = (0,5…0,6)[ sp ].

Обычно формулу (5.10) используют при проектном расчете вала, когда незнание его длины и других возможных силовых факторов (например, изгибающего момента) компенсируют понижением допускаемого напряжения [tкр] до = 12…25 МПа; при этом получаем:

d ³ 3 T / 0,2 [tкр] , (5.11)

 

где Т – действующий в расчетном сечении вала вращающий момент;

4 — условие достаточной жесткости вала при действии в сечении крутящего момента с учетом (5.4) и (5.5) имеет вид:

q = Мкр / (GIp ) £ [q], Dj = Мкр l / (GIp) £ [Dj] (5.12)

 

5.3. Построение эпюр крутящих моментов

При построении эпюр крутящих моментов используется метод сечений, согласно которому крутящий момент в любом сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних вращающих моментов, расположенных по одну сторону этого сечения:

n

Мкр = å Тi , (5.13)

i=1

Примем внешней вращающий момент Ti при этом брать со знаком “плюс” , если при взгляде со стороны сечения он вращает отсеченную часть против часовой стрелки (и наоборот). Значение крутящих моментов откладывается в виде ординат от оси вала.

Например, рассмотрим вал АМ, расположенный в подшипниках С и Е и находящийся в равновесии под воздействием вращающих моментов ТВ = 300 Нмм, ТД = 500 Нмм и ТК = 200 Нмм (рис. 5.3).

Сделав сечение на участке АВ и рассмотрев равновесие левой оставшейся части видим, что Мкр = 0. В сечении участка BD из условия равновесия левой части получим Мкр = -ТВ = -300 Нмм (момент ТВ направлен по часовой стрелке, мы его взяли со знаком минус). Участок DK: Мкр = -300 + 500 = 200 Нмм. Получившаяся эпюра имеет форму двух прямоугольников, в местах приложения внешних моментов ординаты эпюры изменяются скачкообразно на величину этих моментов. Участки АВ и КМ не деформируются.

 

               
     
TК
 
     
 
 


А В С D Е К М

 
 

 


200

 

Э Мкр, Нмм

 

 

-300

Рис. 5. 3

 

5.4. Определение вращающего момента двигателя

При расчетах ряда механизмов , имеющих на входе электродвигатель, необходимо знать его номинальный вращающий момент MДВ, а в паспортных данных обычно указывают номинальную мощность P, Вт и частоту вращения выходного вала n, мин-1.

Учитывая, что Р = wМ, Нм / с; w = 2pn / 60, 1/c; M = P / w = 60P / (2pn) = 9,554 P/n, Нм. Поскольку в технической механике вращающий момент принято измерять в Нмм, округлив , окончательно получим:

Мдв = 9554 P/n, Нмм. (5.14)

 

6. Изгиб

 

6.1. Виды изгиба и их особенности

Изгибом называется деформация, при которой искривляется продольная ось балки. Плоскость, в которой действуют внешние нагрузки (силы и моменты), называется силовой плоскостью, плоскость расположения изогнутой оси называется плоскостью изгиба. Если плоскость изгиба совпадает с силовой плоскостью, то такой вид деформации называется плоским поперечным изгибом, если не совпадает — косым. Если силовые нагрузки действуют на балку в различных плоскостях, может происходить пространственный изгиб.

Нагрузки, вызывающие поперечный изгиб балки, делятся на три группы (рис. 6.1).

Рис. 6.1, а) — сосредоточенные силы F1 , F2, Н; б) — сосредоточенные моменты пар сил М1 , М2, Нмм; в) — распределенная по длине балки нагрузка интенсивностью q, H/мм, q1 = const — равномерно распределенная, q2 = q2 (x) — неравномерно распределенная.

 

q1 q2

F1 F2 M1 M2

           
 
   
     
 
 

 

 


а) б) в)

 

Рис. 6. 1

 

При плоском поперечном изгибе в любом поперечном сечении балки возникают внутренние силы взаимодействия, статическим эквивалентом которых являются поперечная сила Q и изгибающий момент МИ. Если на каком-то участке деформации внутренняя поперечная сила отсутствует, т. е. Q = 0, изгиб называется "чистым".

 

6.2. Опоры и опорные реакции балок

Опоры — это элементы конструкции механизмов, служащие для передачи нагрузок с балок на корпус или другую деталь. Опоры балок, рассматриваемые как плоские системы, бывают трех основных типов: шарнирно подвижная, шарнирно неподвижная опора и жесткая заделка (защемление) (рис. 6.2).

 

 

RAz RAz RAz

z

A A MАy А 0 x

.RAx RAx y

 
 

 


а) б) в)

 

Рис. 6. 2

 

1. Шарнирно подвижная опора (рис. 6.2, а) не препятствует некоторому повороту балки относительно шарнира А и линейному перемещению вдоль опорной поверхности. Внешняя нагрузка может восприниматься этой опорой только по нормали к опорной поверхности. Реакция в опоре — RAz , реакция RAx и реактивный момент MAy равны нулю (одно неизвестное).

2. Шарнирно неподвижная опора (рис. 6.2, б) допускает только некоторый поворот балки, поэтому MAy = 0, а реакция этой опоры слагается из двух составляющих — RAz и RAx (два неизвестных).

3. Жесткая заделка (рис. 6.2, в) не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения, в ней могут возникать как реакции RAz и RAx, так и реактивный момент MAy (три неизвестных).

Балка с одним заделанным концом называется консольной балкой.

В инженерной практике при конструировании балок, в том числе валов авиационных механизмов, их опоры обычно выполняют так, что общее число возникающих опорных реакций не превышает возможное число уравнений статического равновесия. Такие балки считаются статически определимыми. Например, для рассмотренной плоской системы сил можно составить три уравнения статики: åX = 0, åZ = 0 и åMy = 0. Следовательно и число неизвестных реакций в этом случае не должно превышать трех. Этому условию удовлетворяют лишь балки двух типов: а) с одной шарнирно подвижной и одной шарнирно неподвижной опорами, б) консольные балки.

Если указанные условия не соблюдаются, число неизвестных реакций может быть больше числа уравнений статики, балки будут считаться статически неопределимыми и для их решения необходимо дополнительно составлять уравнения перемещений, учитывающие деформацию балок.

 

6.3. Определение опорных реакций и внутренних силовых факторов

при плоском поперечном изгибе

Прежде чем перейти к вопросам расчетов на прочность и жесткость, необходимо определить реакции в опорах и два внутренних силовых фактора — поперечную силу Q и изгибающий момент МИ .

Для определения реакций в опорах используются уравнения статики (более подробно см. ниже примеры 6.1-6.3).

Для определения поперечных сил и изгибающих моментов на различных участках балки используется метод сечений: если балку, находящуюся в состоянии статического равновесия под воздействием внешних сил и моментов, мысленнорассечь какой-либо плоскостью и отбросить какую-либо часть, то оставшаяся часть также будет находиться в состоянии равновесия под воздействием внутренней поперечной силы Q и изгибающего момента МИ, действующих на нее со стороны отброшенной части. При этом поперечная сила будет равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих на оставшуюся часть балки, включая реакции в опорах:

 

Q = åFi + åRj (6.1)

 

Значение изгибающего момента в каком-либо сечении балки равно алгебраической сумме моментов всех нагрузок, приложенных по одну сторону этого сечения и взятых относительно центра тяжести сечения:

 

МИ = åFi xi + åRj xj + åMк , (6.2)

где Fi — внешние силы, Rj — реакции в опорах, Mк — внешние моменты, xi, xj — расстояния соответствующих сил от плоскости сечения.

 

6.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

При расчете на прочность какой-либо детали, которую можно рассматривать как балку, прежде всего бывает необходимо определить поперечные силы и изгибающие моменты в наиболее опасных сечениях. Наиболее опасными сечениями балки будут считаться такие, где предположительно могут быть наибольшие напряжения. Эта задача решается с помощью эпюр Q и МИ вдоль оси балки х.

При построении эпюры поперечных сил Q ее значение Q = Q(х) в любом сечении определяется по формуле (6.1), причем внешняя сила берется со знаком "плюс", если она вращает оставшуюся часть балки по часовой стрелке относительно рассматриваемого сечения (и наоборот). Например: Q1 = F1 - F2 ; Q2 = RA - F3 (рис. 6.3, а).

При построении эпюр изгибающих моментов их значение определяется по формуле (6.2), а знаки моментов принимаются следующими: положительный, если балка обращена выпуклостью вниз (нижние волокна растянуты) и отрицательный, если выпуклость балки направлена вверх (рис. 6.3, б).

М

F1 F2 Mи > 0 F M

Q1

Mи x

       
   
 
 


RA Mи < 0 в)

Q2

F3


а) б)

 

Рис. 6. 3

 

Например: Ми = - Fx + M (рис. 6.3, в).

При построении эпюр для проверки правильности их построения важную роль играет теорема Журавского: производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна поперечной силе:

 

Q = dMи / dx (6.3)

 

Взяв производную от обеих частей равенства (6.3), получим:

 

dQ / dx = d2Mи / dx2 = q, (6.4)

 

т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

Рассмотрим несколько примеров построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Пример 6.1.

Пусть на балку (рис. 6.4) действуют внешняя сила F = 60 H и изгибающий момент Ми = 600 Нмм. Требуется определить реакции в опорах А и D и построить эпюры внутренних поперечных сил Q и изгибающих моментов МИ (а = с = 20мм, b = 10мм).

 

RA F M RД z

x

A B C D y

 
 


a b c


24

Q, H

 

-36

720

480

120

Mи, Hмм

 

Рис. 6. 4

 

 

Решение.

Поскольку нагрузки по горизонтальной оси х нет, то R= 0 и реакции в опорах А и Д обозначим просто RA и RД .

1. Определяем реакции в опорах. Для этого используем уравнение статики åMy = 0 относительно какого-либо сечения. Рекомендуется выбирать сечение, через которое проходит одна из неизвестных реакций, чтобы получить одно уравнение с одним неизвестным. Например:

åMА = 0. Получаем: - F × a – M + RД (a + b + c) = 0, откуда

F × a + M 60 × 20 + 600

RД = ————— = —————— = 36 Н.

a + b + c 20 + 10 + 20

Из åMД = 0 получаем: - RA (a + b + c) + F (b + c) – M = 0,

 

F (b + c) - M 60 × 30 - 600

RA = —————— = —————— = 24 Н.

a + b + c 50

 

Третье, неиспользованное уравнение åZ = 0 для таких балок рекомендуется использовать для проверки: RA - F + RД = 24 – 60 + 36 º 0, т. е. реакции в опорах определены верно, их направление соответствует истинным.

2. При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора — поперечная сила Q и изгибающий момент МИ . Для их определения используется метод сечений.

а) В интересующем нас месте, например, на участке АВ на расстоянии х от левой опоры А рассечем балку поперечной плоскостью и отбросим правую часть (рис. 6.5, а).

 

z

RA Mи RA F Mи RA F M Mи

x

A A B Q А B C Q

x Q a x a b x

           
     

 


а) б) в)

 

Рис. 6. 5

Получим: Q = RA = 24 H, MИ = + RA × x (плюс взят потому, что RA изгибает отсеченную часть балки выпуклостью вниз). Параметр х — переменный, 0 £ х £ а. При х = 0 в сечении А MИА = 0; при х = а (сечение В) MИВ = RA × а = 24 × 20 = 480 Нмм. Строим эпюру Q и MИ на рис. 6.4.

б) Далее рассмотрим участок ВС (рис. 6.5, б). Здесь Q = RA - F = 24 - 60 = = - 36 H; MИ= RA (a + x) - F × x, 0 £ x £ b;

При х = 0 момент в сечении В равен 480 Нмм, т. е. такой же, как и на рис. 6.5, а. При х = b получим: МИС = 24 (20 +10) - 60 × 10 = 120 Нмм.

в) Рассмотрим участок СД.

Поперечная сила не изменится и останется такой же, как и на предыдущем участке, т. к. момент М на силу не влияет; изгибающий момент будет равен:

МИ = RA (a + b + x) - F (b + x) + M; 0 £ x £ c.

При х = 0 получим: МИС = 720 Нмм,

х = с = 20 мм МИД = 0.

Строим эпюры на рис. 6.4. В принципе, на участке СД при построении эпюры МИ можно (и нужно было) отбросить левую часть балки, а правую часть, где всего одна сила — реакция опоры RД — оставить:

 

 

RA

Mи

x

 

Тогда получим: МИ = + RД × x, c ³ x ³ 0. Здесь х изменяется справа налево. При х = 0 МД = 0; при х = с МС = 36 × 20 = 720 Нмм, т. е. результат тот же, но решение более легкое.

г) Проверим правильность построения эпюры МИ по Журавскому: на участке АВ: dM / dx = DM / Dx = (480 – 0) / (20 – 0) = 24 = QAB;

BC: DM / Dx = (120 – 480) / 10 = - 36 = QBC

CД: DM / Dx = (0 – 720) / 20 = - 36 = QСД , т. е. результат верный.

д) Заметим, что на эпюре Q скачок в месте приложения внешних сил на величину этих сил, на эпюре МИ скачок в месте приложения момента М = 600 Нмм.

е) Наиболее опасным можно считать сечение С, где МИmax = 720 Нмм.

Пример 6.2.

Рассмотрим консольную балку, на которую действует сила F = 60 Н. Длина балки l = 100 мм (рис. 6.6).

 

z

RA F

 
 


MA A B

l

60

Q, H

Mи, Нмм

 

 

-6000

 

Рис. 6. 6

 

Решение

1. Определяем реакции в опоре А. Направим реакцию RA вверх, а реактивный момент МА — против часовой стрелки (интуитивно). Из условия статического равновесия åZ = 0, åMA = 0, имеем:

RA - F = 0 Þ RA = F = 60 H.

MA - F · l = 0 Þ MA = F · l = 6000 Нмм.

Для реакции и момента получили положительный знак; это указывает на то, что на схеме они были направлены верно.

2. Строим эпюру поперечных сил Q. Если отсечь правую часть балки,

 

F

Q

 

то получим: Q = + F = 60 H (плюс потому, что F вращает оставшуюся часть по часовой стрелке). Для построения эпюры Q откладываем в масштабе отрезок 60 Н и проводим горизонтальную линию (рис. 6.6).

3. Строим эпюру изгибающих моментов . Рассмотрим два варианта . Вначале отсечем от консоли правую часть на расстоянии x от силы F :

 

F

Mи

x


Изгибающий момент будет равен: МИ = - F · x, l ³ x ³ 0. При х = 0 МВ = 0, при х = l МА = - 6000 Нмм.

По второму варианту можно отсечь левую часть

RA

x
MA Mи

 

 

Получим: МИ = - МА + RA x = - 6000 + 60x;

0 £ x £ l; x = 0 MИ = МА = -6000 Нмм

x = l MИ = МВ = 0. Результат тот же.

Из рис. 6.6 видно, что опасное сечение балки MИ = МИmax = 6000 Hмм находится у заделки А.

Пример 6.3.

На балку действует распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 Н/мм, l = 40 мм. Построить эпюры Q и МИ , определить опасное сечение (рис. 6.7).

 

Решение

1. Используя уравнения равновесия, определяем RA = RB = q · l / 2 = 40 H.

2. Отсечем левую часть на расстоянии х, получим:

Q = RA – qx, 0 £ x £ l. x = 0, QA = RA = 40 H.

x = l, QB = -40 H, уравнение — прямая.

МИ = RA · x – qx2 / 2, уравнение — параболы. При х = 0 МА = 0; x = l, МB = 0.

Очевидно экстремум функции будет в точке С при Q = dM / dx = 0, т. е. при х = RA / q = 20 мм: МИс = 400 Нмм. Строим эпюру МИ.

 

 

RA qx q RB

 
 


A B

C

x

 

l / 2

l

+40

 

 
 


Q, H

 

400 -40

 
 


 

 

Ми, Нмм

 

 

Рис. 6. 7

 

6.5 Напряжения при изгибе

 

Рассмотрим чистый изгиб балки моментами пар сил М, расположенными в продольной плоскости симметрии балки (рис. 6.8,а).

da
z

-sиmax

r
M M

A¤  
A
1 А A A

O¤
O
dx
x
О 2 О o

C
C¤
z
4 3 C dA sиz

B¤
B
5 y z B

B B dN sиmax

а) б) в)

Рис. 6.8.

 

Под действием этих моментов балка деформируется: её верхние слои (1, 2) сжимаются, нижние (4, 5) – растягиваются. Длина волокон 3, лежащих в плоскости, перпендикулярной плоскости самого изгиба и проходящей через продольную ось балки ОО ¤, при деформации изгиба не изменяется. Совокупность этих волокон по ширине балки образует нейтральный слой, не испытывающий при изгибе ни растяжения, ни сжатия.

Чтобы установить закон распределения напряжений в поперечных сечениях балки, используют уравнения деформации балки, а также некоторые дополнительные допущения:

1) поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются плоскими и нормальными по отношению к продольной оси балки и в самом процессе деформации;

2) балку условно можно представить в виде совокупности продольных материальных слоев, которые подвергаются деформации простого растяжения или сжатия, для их характеристики справедлив закон Гука;

3) все волокна какого либо слоя, равноудаленного от нейтрального, деформируются одинаково.

Для определения величины напряжения в любой точке поперечного сечения балки AB (рис. 6.8, а) выделим элемент длиной dx = OO¤ и рассмотрим его деформацию (рис. 6.8, б). Обозначим r - радиус кривизны элемента dx, z – расстояние слоя CC¤ от нейтрального слоя dx.

Определим абсолютное удлинение слоя CC¤ : Dl = CC¤ - dx (до деформации длины всех слоев были равны dx). Относительное удлинение ez = Dl / dx. С учетом того, что dx = r·da, CC¤ = (r+z)da, получим:

 

ez = = (6.5)

 

Поскольку слой CC¤ удлинился, в нем возникнут нормальные напряжения sиz , которые согласно закону Гука с учетом (6.5) будут равны:

 

sиz = Е·ez = , (6.6)

где Е – модуль упругости материала балки при растяжении.

Из выражения (6.6) следует, что напряжение sиz распределяется по сечению АВ неравномерно: если по ширине сечения sиz=const, то по высоте оно изменяется пропорционально расстоянию z от нейтрального слоя ОО¤, достигая максимальных значений на поверхностных слоях балки А и В (рис.6.8, в).

Зависимость напряжения sиz в вертикальной плоскости xOz от изгибающего момента М может быть определена следующим образом. Момент М согласно условию статического равновесия и методу сечения должен быть уравновешен моментом Ми внутренних сил взаимодействия в данном сечении балки:

Ми =

Подставив значение sиz из формулы (6.6), получим:

Ми = ,

где Iу = - осевой момент инерции поперечного сечения А относительно оси y. Отсюда можно определить, что

Подставив это выражение в формулу (6.6), получим:

sиz = (6.7)

Таким образом, из формулы (6.7) следует, что:

1) в любом сечении балки возникают нормальные напряжения sиz, значения которых изменяются по высоте сечения пропорционально расстоянию z от нейтрального слоя;

2) вблизи нейтрального слоя при z=0 напряжения равны нулю, а в поверхностных слоях балки при z=zmax они достигают максимальных значений. Например, на рис. 6.8, в вверху – сжимающих (-sиmax ), внизу - растягивающих (+sиmax).

Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям с учетом вышесказанного будет иметь вид:

sиmax = sиz = , (6.8)

где Wy = - осевой момент сопротивления поперечного сечения или момент сопротивления при изгибе относительно оси y. Момент сопротивления является геометрической характеристикой поперечного сечения балки, определяющей ее прочность при изгибе.

Если изгиб происходит в горизонтальной плоскости, уравнение прочности имеет вид

sиy = (6.9)

Определим значения Wy и Wz для простейших сечений, осевые моменты инерции которых были рассмотрены выше.

Для прямоугольника:

Wy = ; Wz = ; (6.10)

 

Для круга:

Wy = Wz = ; (6.11)

 

Для кругового кольца:

Wy = Wz = ; (6.12)

 

 

Примечание. При плоском поперечном изгибе кроме нормальных напряжений, вызванных изгибающим моментом, в поперечных сечениях балки могут возникать и касательные напряжения, вызванные поперечной силой Q. Определение этих напряжений приводится в соответствующих разделах курса «Сопротивление материалов». Для балок простых сечений, приведенных выше, касательные напряжения незначительны по сравнению с нормальными и их можно не учитывать.

 

 

7. Устойчивость сжатых стержней

 

7.1. Продольный изгиб. Формула Эйлера

 

Как указывалось выше, кроме расчетов на прочность и жесткость третьей задачей сопротивления материалов является расчет конструкции на устойчивость. На устойчивость необходимо проверять длинные стержни, работающие на сжатие.

Рассмотрим стержень, укрепленный в двух шарнирных опорах: подвижной А и неподвижной В (рис.7.1,а)

 

 

До тех пор , пока продольная сжимающая сила F сравнительно ма­ла, стержень сохраняет свою первоначальную прямолинейную форму . Даже если ось стержня изогнуть какой-либо внешней поперечной силой, а затем отпустить, стержень снова станет прямолинейным. Такое со­стояние сжатого стержня называется устойчивым.

Если силу F увеличивать, то при определенном ее значении F = Fкр (рис.7.1,6) любое, даже самое малое отклонение стержня у на расстоянии х от опоры А не исчезнет, он останется искривленным. С точки зрения прямолинейной формы равновесия сжатого стержня такая форма будет считаться неустойчивой. Вместо нее возникнет новая устойчивая форма - искривленная, а соответствующий этой форме вид деформации назы­вают продольный изгиб.

Если деформация происходит в пределах упругости (а в данном разделе курса мы рассматриваем только такие задачи), то дифференци­альное уравнение изогнутой продольной оси стержня для малых от­клонений y будет иметь вид

где Ми = Fкру - изгибающий момент в сечении на расстоянии х от опо­ры А.

Решив эту формулу, академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер в 1744 году вывел формулу для определения критической силы:

(7.1)

где Е - модуль упругости при сжатии, Imin - минимальный момент инерции сечения стержня (потеря устойчивости будет происходить именно в плоскости наименьшей жесткости).

Экспериментальные исследования показали, что при прочих равных условиях значение критической силы зависит от способа закрепления концов стержня. Ось стержня (рис. 7.1,б) при потере устойчивости при­обретает вид полуволны синусоиды. При других случаях закрепления расчетная длина l заменяется ее приведенным значением lпр =m l, где m - коэффициент приведения длины. На рис.7.2 изображены не­сколько случаев закрепления стержня и указаны соответствующие ко­эффициенты приведения .

 

 
 

 


Таким образом , общее выражение критической силы при любом способе закрепления концов стержня имеет вид :

(7.2)

Соответствующее этой силе критическое напряжение в поперечном се­чении стержня будет равно

(7.3)

обозначим - минимальный радиус инерции стержня (мм),

l = m l / imin - гибкость стержня , тогда получим:

(7.4)

Таким образом при расчете тонких стержней на устойчивость важную роль играет безразмерная величина l, называемая гибкостью стержня. Она характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости, не зависит от материала стержня, а определяется его длиной, формой и размерами сечения :

 

(7.5)

 

7.2. Меры повышения устойчивости сжатых стержней

 

Для повышения устойчивости необходимо, чтобы l, была как можно меньше. Для этого форма стержня должна быть такой, чтобы при заданной площади A осевой момент инерции сечения Imin был как можно большим. В справочниках приводятся удельные радиусы инерции:. Например, для прямоугольного сечения с отношением сторон h=2b, rmin = 0,204, для квадрата – 0,289, для круга – 0,36, для кольца, у которого с = 0,7 … 0,9, rmin = 0, 86 … 1,53.

 

7.3. Расчет сжатых стержней на устойчивость

 

Основной смысл расчета на устойчивость сжатого стержня за­ключается в следующем: сначала определяется критическое напряжение sкр по формуле Эйлера (7.4). Если напряжение sкр окажется меньше предела текучести sт (для пластичных материалов) или предела прочности sв (для хрупких), проводится расчет на устойчивость по формулам (2.4, 2.5, 2.8,), где в качестве опасного напряжения принимается sкр:

(7.6)
(7.7)

Поскольку в авиационных механизмах не допускается работа де­талей при рабочих напряжениях, больших предела текучести, расчет на устойчивость по эмпирическим зависимостям Ясинского для sкр>sт проводить не обязательно, проводится только расчет на прочность по формулам (2.4, 2.5, 2.8)

Пример 7.1.

Рассчитать предельные значения сжимающих сил F , действующих на тяги привода длиной l = 80 мм, способ заделки которых соответству­ет (рис 7.2,д) (µ=0.5). Материал обоих тяг - сталь 45А, термоулучшение (sт= 490 МПа, Е= 2×105 МПа). Сечение первой тяги – прямоугольник b х h = 10 ´ 0,5 мм, вторая тяга сделана из той же пластины b ´ h, од­нако имеет профиль, изображенный на рис.7.3. В обоих случаях [n]= 1,5.

 

 

Решение

Сечение второй тяги состоит из трех частей – двух одинаковых прямо­угольников 1 (2,645 ´ 0,5) и половины кольца 2 диаметром d =3мм : I(min)2= 2I1+I2= 2 · 2,645 · 0,53/12 + 0,5 p(3)4/64 = 0,055+1,98 = 2,04 мм4… 2. Определяем критические напряжения по формуле (7.4):

Любой цикл может быть охарактеризован также средним напряжением

амплитудой переменного напряжения σа=(σmax - σmin)/2 , (10.2) а также коэффициентом асимметрии цикла (его называют чаще “характеристика цикла”)

 

10.2. Кривая выносливости. Предел выносливости

 

Чтобы исключить влияние различных конструктивных факторов и выявить усталостные характеристики самого материала, испытания на усталостную прочность проводят на образцах, имеющих одинаковые размеры, форму и чистоту обработки поверхности, например, отполированный вал диаметром 6...10 мм. Испытания проводятся на испытательных машинах, которые позволяют создавать в сечении образца циклически изменяющиеся напряжения с заданной характеристикой R. Испытания первого образца проводят при напряжении σmax=0.7σВ, он разрушается при числе циклов примерно 103...104. Затем испытывают второй образец, третий и т.д. (обычно около 10), снижая σmax. Количество циклов нагружения, необходимых для разрушения образцов, при этом растёт. По результатам испытаний строится график зависимости σmax от N, который называется кривой выносливости, или кривой усталостной прочности (рис.10.3).

 
 

 

 


Как показывает опыт, при снижении максимального напряжения для остальных образцов кривая выносливости асимптотически приближается к некоторой горизонтали и, начиная с определённого напряжения, образец не разрушается, сколь велико не было бы число циклов нагружения. Это напряжение обозначается σR и называется пределом выносливости (рис.10.3).

Предел выносливости σR – это такое максимальное напряжение, которое с заданной вероятностью неразрушения материал опытного образца может выдержать практически неограниченное число циклов нагружения (образец стальной).

Число циклов нагружения N0, соответствующее пределу выносливости, называется базовым.

Эксперименты показывают, что если образец из среднеуглеродистой стали выдержал N0=107 циклов нагружения, он не разрушится и при значительно большем количестве циклов.

У высокоуглеродистых закалённых сталей и цветных металлов предела выносливости не существует, у этих металлов кривая выносливости может стать асимптотой оси N. Для этих материалов вводится понятие условный предел выносливости: напряжение разрушения, значение которого определяется при базовом числе циклов нагружения N0=10

Материал имеет не один предел выносливости, а несколько, в зависимости от значения коэффициента асимметрии цикла R. Наиболее часто в справочниках приводятся значения пределов выносливости при отнулевом (R=0) и симметричном (R= -1) циклах напряжений при изгибе: σ0 и σ-1 .На основании испытаний установлены приближённые зависимости между пределом выносливости при изгибе s-1 и пределами выносливости для других видов деформации, например:

σ-1р= 0,8σ-1; (10.4)

τ-1=0,6σ-1 . (10.5)

где σ-1р – предел выносливости при симметричном цикле растяжения – сжатия; τ-1 – предел выносливости при кручении в условиях симметричного цикла.

Кроме того, ориентировочно пределы выносливости при различных видах деформации среднеуглеродистых сталей могут быть определены по пределу прочности по следующим эмпирическим зависимостям:

Вид деформации отнулевой цикл симметричный цикл

Растяжение: σ=0,52 σВ, s-1р=0,36 σВ

Изгиб: σ0=0,6 σВ, s-1=0,43 σВ

Кручение: τ0=0,32 σВ, τ-1=0,26 σВ

Нагружение образцов по законам, отличающимся от синусоидальных, показали, что пределы выносливости практически не зависят от формы цикла, а определяются только значениями σmin и σmax. Поэтому для всех циклов 1,2,3, показанных на рис.10.4 пределы выносливости одинаковые.

Не влияет на σR и частота нагружения, если она не превосходит 5…6 тысяч циклов в минуту.

10.3. Предел ограниченной выносливости   При расчете детали (например, вала) на прочность расчётное число циклов нагружения NE может оказаться либо больше,…

– Конец работы –

Используемые теги: основы, расчета, деталей, механизмов0.06

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ОСНОВЫ РАСЧЕТА ДЕТАЛЕЙ МЕХАНИЗМОВ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Основы планирования. Теоретические основы управления проектами. Основы планирования. Планирование проекта в MS Project 7
Использованная литература В В Богданов Управление проектами в Microsoft Project Учебный курс Санкт Петербург Питер г...

Детали машин и основы конструирования расчет привода с цилиндрическим редуктором
Российской федерации... ФГОУ ВПО... РязанскИЙ Государственный АГРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени П А Костычева...

Курс лекций по деталям машин Детали машин являются первым из расчетно-конструкторских курсов, в котором изучаются основы проектирования машин и механизмов
Детали машин являются первым из расчетно конструкторских курсов в котором... Машина устройство выполняющее преобразование движения энергии материалов и информации В зависимости от функций...

Немецкий патент и актуальные проблемы его перевода. Перевод как основа функционирования механизма билингвизма
В самом общем виде это решение в следующем: поскольку способность мыслить на ИЯ в условиях школы не доказана, и учащийся думает на родном, а говорит… Среди большого количества разновидностей межкультурной коммуникации важнейшим… Если эта коммуникация осуществляется на разных языках, возникает ситуация межъязыковой межкультурной…

Концепция разделения властей как основа устройства государственного механизма
Все, что происходило в различных государствах, во многом зависело не только от экономических и производственных причин, но и от деятельности… Что было в древние времена, остается и по сей день, времена меняются, а… Проблема разделения властей в государственном механизме были изучены многими историками и правоведами, к некоторым из…

Закладные изделия. Закладные детали. Закладные типовые. Закладные металлоизделия. Изготовление закладных деталей. Закладные монтажные
При правильном подборе закладных деталей по альбомам и типовым проектам вы обеспечите надежное крепление. Точное позиционирование крепление любых… При строительстве быстровозводимого здания для монтажа нужны закладные детали… Закладные детали плиты анкерные ,закладные конструкции , данные конструкции изготавливаются из пластин толщиной от 2…

Основы теории механизмов
Структурный анализ механизмов Кинематические пары Звенья механизма...

Феодальное государство (экономическая основа, сущность, механизм, функции и формы)
Еще в первой половине и даже середине XIX в. среди буржуазных историков Европы существовало мнение, что феодализм понимаемый ими к тому же главным… Даже в отношении русской истории и истории западнославянских стран… Если истории древнего мира в основном соответствуют первобытнообщинная и рабовладельческая формации, если содержанием…

Анализ хозяйственной деятельности предприятия на основе статистических расчетов
IV. Оборотные средства. Себестоимость. 13. Расчет влияния факторов на фондоотдачу 14. Анализ структуры оборотных средств 15. Анализ влияния объема…

Модуль 1. ПРИРОДНИЧОНАУКОВІ ОСНОВИ УЯВЛЕНЬ ПРО НАВКОЛИШНЮ ДІЙСНІСТЬ Тема 1. Основи концепцій представлення детермінованої фізичної картини макросвіту
Тема Основи концепцій представлення детермінованої фізичної картини макросвіту... Лабораторная работа... Дослідження моделей геометричних і динамічних уявлень про об єкти...

0.035
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам