Навчально-методичний посібник з розділу курсу „Опір матеріалів” для студентів машинобудівних спеціальностей

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

„ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

Конкін В.М.

Киркач Б.М.

Погорілов С.Ю.

Кравцова Н.В.

  Навчально-методичний посібник з розділу курсу „Опір матеріалів” для студентів машинобудівних спеціальностей

Класифікація згинання та типи опор

Класифікація згинання.Згинання підрозділяється на поперечне – зовнішнє навантаження діє в напрямку, перпендикулярному осі стержня, подовжнє –… Поперечне згинання підрозділяється на плоске, при якому згинальні сили лежать… Плоске згинання підрозділяється на пряме та косе. У випадку прямого згинання площина дії згинальних навантажень…

Поперечна сила та згинальний момент , як внутрішні силові фактори при згинанні.

Розглянемо консольний стержень з затисненим правим торцем та навантажений силами F1 і F2 (рис 1.4). Нехай F1> F2 .  

Поперечна сила в даному перерізі – (z) чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на нормаль (вісь Y) до осі стержня всіх сил, розташованих по одну сторону від перерізу (всіх однобічних сил), та утворює заміну дії відкинутої частини на залишену. Правило знаків. Поперечна сила вважається позитивною (додатною), якщо обертає розглянуту відсічену частину балки відносно центра ваги перерізу за годинниковою стрілкою, та негативною (від’ємною) - якщо проти годинникової стрілки.

Згинальний момент в даному перерізі – (z) чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів щодо центра ваги перерізу всіх сил, розташованих по одну сторону від перерізу (всіх однобічних сил), та утворює заміну дії відкинутої частини на залишену. Правило знаків. Згинальний момент вважається позитивним (додатним), якщо відсічена частина згинається опуклістю вниз (стиснуте волокно вгорі, розтягнуте внизу), та негативним (від’ємним)- якщо навпаки.Таким чином, епюра згинальних моментів будується з боку стиснутого волокна.

Схематично прийняті правила знаків виглядають так:

Рис. 1.5.

 

Диференціальні залежності при згинанні

  Рис. 1.6.

Приклад 1.

Þ ;. Далі обчислюємо значення і Рис. 1.7.

Приклад 2.

Рис. 1.8.

 

1. Визначаємо опорні реакції.

, , відкіля: .

, , відкіля: .

Перевірка: , .

 

З огляду на симетрію задачі реакції однакові та рівні половині зовнішнього навантаження.

Þ ; . Далі обчислюємо значення і :

Приклад 3.

Рис. 1.9.   1. У зв’язку з симетрією задачі

Приклад 4.

Рис. 1.10.   1. Опорні реакції.

Напруження при поперечному згинанні.

При прямому поперечному згинанні в перерізі виникають поперечна сила ,що викликає деформацію зсуву, та згинальний момент , що викликає деформацію згинання.

Нормальні напруження при чистому згинанні.

Покажемо стержень до деформації (рис.2.1а) та після (рис.2.1б) навантаження згинальними моментами . Рис 2.1.

Дотичні напруження при поперечному згинанні.

, (2.10) де - поперечна сила, що діє в перерізі; - осьовий момент інерції перерізу щодо… (2.11)

Розподіл дотичних напружень для прямокутного перерізу.

Рис.2.6.  

Розподіл дотичних напружень для двотаврового перерізу.

. В перерізі діють згинальний М_х момент та поперечна сила, спрямовані, як показано на рис.2.7.

Рис.2.7.

 

Використовуючи вираз (2.10) для дотичних напружень, визначимо їхні значення в характерних точках.

Точка 1: , тому що (вище рівня 1 відсічена площа відсутня).

Точки 2,3. Ці точки мають однакову координату y, але належать полиці та стінці одночасно , тобто різній ширині b2=b; b3=d. Тому в місці переходу полки в стінку виникає скачок дотичних напружень.

Точка 2 (приналежна полиці): ;

Точка 3 (приналежна стінці): ;

Точка 4: .

- статичний момент щодо центральної осі половини площі перерізу, для стандартних профілів приведений у таблицях сортаменту. Зразковий графік розподілу дотичних напружень приведений на рис 2.7. Дійсний розподіл дотичних напружень трохи відрізняється від отриманого, тому що полиці мають ухили, а перехід від полиці до стінки здійснюється по радіусу кривини.

 

Порядок виконання проектувального розрахунку при згинанні.

2.Перевіряємо переріз по дотичним напруженням. Якщо , то розрахунок закінчений. Якщо (перевищення більш 5%), то розміри перерізу визначаються з… Приклад 1. Для даної схеми навантаження балки (рис.2.8) визначити розміри… Визначаємо реакції:

Рис.2.9.

2. З умови міцності по нормальним напруженням осьовий момент опору:

м³ = 400 см³; см³,

відкіля: см, см, см²

3. Максимальне дотичне напруження для прямокутного перерізу: Н/м² = 4,22 МПа > [t]=2,5Мпа , умова міцності не виконується.

Визначаємо розміри поперечного перерізу з умови міцності по дотичним напруженням: , відкіля знаходимо площу поперечного перерізу:м²=240см² Площасм², відкіля ширина перерізу: см, а висота см.

 

З умови міцності по дотичним напруженням розміри поперечного перерізу більше, ніж з умови міцності по нормальним напруженням.

 

Потенційна енергія деформації при згинанні.

Чисте згинання (). Потенційна енергія деформації при чистому згинанні визначається роботою внутрішніх згинальних моментів на кутовому переміщенні перерізу.

Рис. 2.10.

Розглянемо стержень при чистому згинанні (рис.2.10а). Виділимо елемент стержня довжиною (рис.2.10б). При статичному навантаженні нейтральна вісь викривляється по радіусу ρ кола, крайні перерізи повертаються на кут . У межах виконання закону Гука залежність між моментом та кутом повороту при статичному навантаженні лінійна (рис.2.10в). Елементарна робота внутрішніх зусиль визначається площею трикутника, тобто . Але робота чисельно дорівнює потенційної енергії деформації , тобто . З рис.2.10б випливає, що , таким чином, . Кривизна нейтральної осі , тоді . Повна потенційна енергія стержня є інтеграл по довжині стержня:

(2.12)

Поперечне згинання (). Як показують розрахунки для стержнів, у яких відношення довжини до висоти перерізу більше , потенційна енергія деформації від поперечної сили складає від потенційної енергії деформації згинаючого моменту . Тому при визначенні потенційної енергії деформації при згинанні враховується тільки потенційна енергія деформації від згинального моменту , що визначається виразом (2.12).

Переміщення при прямому згинанні. Розрахунки на жорсТкість при згинанні.

Одержимодиференціальне рівняння вигнутої осі при прямому згинанні (площина дії навантажень збігається з однією з головних осей інерції).… Рис.3.1.

Інтеграл Максвелла-Мора.

1. Перший стан. У точці 1 прикладемо зосереджену силу F. Прогин у точці 1 дорівнює , у точці 2 - . У перерізах балки виникає згинальний момент від… 2. Другий стан. У точці 2 статично прикладемо одиничну силу, що, згинаючи…  

Результат обчислень позитивний, якщо напрямок одиничного навантаження, що прикладається, збігається з напрямком дійсного переміщення, і негативний, якщо напрямок одиничного навантаження, що прикладається, не збігається з напрямком дійсного переміщення.

Приклад 2.Консольна балка постійного поперечного перерізу (ЕI_x=const) довжиною навантажена на кінці зосередженою силою (рис.3.4а). Визначити прогин та кут повороту на кінці консолі.

 

Рис. 3.4.

1. Запишемо функцію (рис.3.4а).

2. У точці прикладаємо одиничну силу (рис.3.4б) та записуємо функцію .

3. Підставляючи й в інтеграл, одержимо: (див. приклад 1 на рис. 3.2).

4. Для визначення кутового переміщення у точці прикладаємо одиничний момент (рис.3.4в) та записуємо функцію .

5. Підставляючи й в інтеграл, одержимо:.

Результат обчислення прогину позитивний, тому що прикладена одинична сила збігається з напрямком дійсного переміщення. Результат обчислення кута повороту негативний, тому що прикладений одиничний момент по напрямку не збігається з дійсним напрямком кута повороту перерізу в точці .

Геометричний спосіб обчислення інтеграла Максвела-Мора. Спосіб перемножування епюр.

Рис. 3.5.  

Правило знаків: якщо ординати, що перемножуються, одного знака (лежать по одну сторону), одержуваний добуток позитивний, якщо знаки ординат різні - добуток негативний.

Правило Симпсона - Карнаухова (для лінійних епюр і епюр, описуваних квадратною параболою-рис.3.6б). Результат добутку наступний:

 

.

 

Тут - крайні ординати вантажної епюри (нелінійної) на ділянці; - крайні ординати одиничної епюри (лінійної) на ділянці; і - середні ординати епюр на ділянці. Правило знаків при перемножуванні ординат аналогічно правилу трапеції.

Приклад 3. Для консольної балки, навантаженої зовнішніми силами, як показано на рис.3.7, визначити прогин та кут повороту на кінці консолі в перерізі .

1.Визначаємо опорні реакції.

; .

; .

Перевірка: .

2.Записуємо вирази і , будуємо відповідні епюри.

: ; .

: . Поперечна сила змінює знак при .

.

Рис.3.7.

 

;.

: ; .

3.У точці прикладаємо одиничну силу, будуємо епюру , визначаючи ординати на границях кожної ділянки.

4.Перемножуючи епюри і , визначаємо шуканий прогин:

 

Тут на першій ділянці перемножування епюр виконано за правилом Верещагіна; на другій - Симпсона, на третій - трапеції. Знак мінус указує на те, що під дією зовнішнього навантаження переріз переміщується угору.

5.У точці прикладаємо одиничний момент, будуємо епюру . Перемножуючи її по ділянках з вантажною епюрою, визначаємо кут повороту перерізу .

Тут на першій ділянці перемножування виконане за правилом Верещагіна, на другій - Симпсона, на третій - трапеції. Результат обчислень позитивний, отже, напрямок кута повороту перерізу збігається з напрямком одиничного моменту.

 

 

3 4. ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ ПО ВИКОНАННЮ РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНИХ РОБІТ

І ВИМОГИ ДО ЇХНЬОГО ОФОРМЛЕННЯ

Опір матеріалів займає найважливіше місце серед фундаментальних дисциплін у циклі загальноінженерної підготовки студентів.

Задача курсу – придбання майбутніми інженерами практичних навичок розрахунків на міцність.

Приступаючи до виконання роботи, студент повинний:

вивчити за конспектом і додатковою навчальною літературою теоретичний матеріал відповідного розділу курсу;

проробити приклади і задачі, які були розв’язані на лекціях і практичних заняттях;

проаналізувати вихідні дані і постановку задачі і намітити план її виконання;

зробити вихідні викладення: намалювати схему балки, записати необхідні для рішення задачі формули і рівняння (рівняння статичної рівноваги і т.д.).

оформити задачу в чернетці і, у разі потреби, проконсультуватися у викладача.

Розрахунки необхідно робити в загальному виді з проміжними викладеннями в звичайних чи десяткових дробах, зберігаючи усюди три значущі цифри.

Для побудови епюр внутрішніх силових факторів, напружень і переміщень необхідно правильно вибрати масштаб по координатних осях, проставити позначення відповідного параметра і його розмірність, а потім по необхідному числу крапок побудувати графік.

Завдання підлягає заліку при виконанні наступних умов:

здано чистовий варіант розрахунково-проектувального завдання і дані правильні відповіді на контрольні питання;

вирішено контрольні задачі на консультаціях.

Завдання в чистовому варіанті оформляється на аркушах папера формату А4.

Вихідні дані:

q схеми навантаження чотирьох балок /табл.1/;

q величини зовнішніх сил та геометричні розміри балок, межа текучості матеріалу балки s_Т для сталі та чавуну, коефіцієнт запасу міцності n_T /табл.2/;

q конфігурація складного поперечного перерізу балки /табл.3/

Порядок виконання завдання.

1. Побудувати епюри внутрішніх поперечних сил і згинальних моментів до усіх балок.

2. Підібрати згідно з умовою міцності за нормальними напруженнями ряд простих перерізів балки, що позначена викладачем, та зробити порівняльний аналіз ступеня їх раціональності.

3. Визначити запас міцності n_T⁰ тієї ж балки, якщо її переріз має складну конфігурацію /табл.3/.

4. Визначити допустиме значення зовнішніх сил для одного прикладу балки з табл. 1.

План розв¢язання

2) Для кожної балки визначити опорні реакції (чисельно або в загальному вигляді), скласти вирази і підрахувати внутрішні зусилля QY і MX на усіх… 3) Для кожної балки знайти небезпечний переріз з погляду міцності за… 4) Обчислити допустиме напруження.

Послідовність виконання завдання

Умова міцності за нормальними напруженнями повинна виконуватись у найбільш небезпечній точці небезпечного перерізу   (4.1)

ЛІТЕРАТУРА

1. Писаренко Г.С., Квітка О.Л., Уманський Е.С. Опір матеріалів: Підручник. –

К.: Вища школа, 1993.-655с.: іл.

2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986.-512с.

 

Зміст

Згинання прямолінійних стержнів

1.1 Класифікація згинання та типи опор

1.2 Поперечна сила Q_X та згинальний момент M_X, як внутрішні силові фактори при згинанні

1.3 Диференціальні залежності при згинанні

Напруження при поперечному згинанні

Нормальні напруження при чистому згинанні

2.2 Дотичні напруження при поперечному згинанні

2.3 Розподіл дотичних напружень для прямокутного перерізу

2.4 Розподіл дотичних напружень для двотаврового перерізу

2.5 Порядок виконання проектувального розрахунку при згинанні

2.6 Потенційна енергія деформації при згинанні

Переміщення при прямому згинанні. Розрахунки на жорсткість при згинанні

3.1 Диференціальне рівняння вигнутої осі

3.2 Енергетичні методи визначення переміщень

3.2.1 Інтеграл Максвела-Мора

3.2.2 Геометричний спосіб обчислення інтеграла Максвелла- Мора

Загальні вказівки по виконанню розрахунково-проектувальних робіт і вимоги до їхнього оформлення

Додаток 1 – зразок виконання завдання

Додаток 2 – сортамент стандартних профілів

Література

Навчальне видання

 

 

КОНКІН Валерій Миколайович

КИРКАЧ Борис Миколайович

ПОГОРІЛОВ Сергій Юрійович

КРАВЦОВА Наталія Вікторівна

 

РОЗРАХУНКИ НА ЗГИН.

Навчально-методичний посібник з розділу курсу „Опір матеріалів”

для студентів машинобудівних спеціальностей.

 

 

Роботу до друку рекомендував С.К.Шелковий

 

Відповідальний за випуск В.В.Бортовой

 

В авторській редакції

 

План 2003, поз. ...

Підп. до друку . .2003 р. Формат 60х84 1/16. Папір Morpa.

Друк – ризографія. Гарнітура Таймс. Умов. друк. арк. 4,0.

Облік.-вид. арк. 4,2. Наклад прим. Зам. № . Ціна договірна.

 

Видавничий центр НТУ „ХПІ”. Свідоцтво ДК №116 від 10.07.2000 р.

61002, Харків, вул. Фрунзе, 21.

Друкарня НТУ „ХПІ”